2.9-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P293] A级　基础过关 1．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则(　　) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析　因为函数f(x)的图象在(－1，3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)＜0，但方程f(x)＝0在(－1，3)上可能无实数解． 答案　D 2．设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0所在的区间是(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) 解析　易知f(x)在R上单调递增且f(x)的图象是连续不断的曲线， f(－2)＝－<0，f(－1)＝－>0，所以x0∈(－2，－1). 答案　B 3．已知函数f(x)＝ln |x－2|＋x2与g(x)＝4x，则两函数图象所有交点的横坐标之和为(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 解析　原问题可以转化为求方程ln |x－2|＝4x－x2的所有根之和，易知y＝ln |x－2|和y＝4x－x2的图象均关于直线x＝2对称，且两个函数的图象有2个交点，故两个交点的横坐标之和为4. 答案　D 4．已知e是自然对数的底数，关于x的方程e|x-2|＝x有两个不同的解x1，x2(x1＜x2)，则(　　) A．x1＜1，x2＞3 B．x1＞1，x2＜3 C．x1＞1，x2＞3 D．x1＜1，x2＜3 解析　令f(x)＝e|x-2|－x，则函数f(x)的图象在R上连续．∵f(1)＝e－1＞0，f(2)＝1－2＝－1＜0，f(3)＝e－3＜0，f(4)＝e2－4＞0，∴f(1)f(2)＜0，f(3)f(4)＜0，∴函数f(x)在区间(1，2)，(3，4)上各有一个零点，即1＜x1＜2，3＜x2＜4，故选C. 答案　C 5．(多选)设函数f(x)＝则以下结论正确的是(　　) A．f(x)为R上的增函数 B．f(x)有唯一零点x0，且1＜x0＜2 C．若f(m)＝5，则m＝33 D．f(x)的值域为R 解析　作出函数f(x)的图象如图所示．由图可知A错误；对于B，由图象可知，f(x)有唯一零点x0，f(x)在(－∞，2]上单调递增，且f(1)＜0，f(2)＞0，B正确；对于C，当x≤2时，2x－3≤1，故log2(m－1)＝5，解得m＝33，C正确；对于D，f(x)的值域为(0，＋∞)∪(－3，1]，即(－3，＋∞)，D错误．故选BC. 答案　BC 6．已知a＞0，若函数f(x)＝有两个不同的零点，则a的取值范围为________． 解析　令x＋a＝0，x＝－a＜a，则x＝－a是函数f(x)的一个零点；令ln x＋2＝0，解得x＝，要使得f(x)有两个不同的零点，则a∈. 答案　 7．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________． 解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，∴b＜0，∴f(x)＝x3－x满足题意． 答案　x3－x(答案不唯一) 8．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1，2)，(2，4)内，则实数m的取值范围为________． 解析　∵2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根， ∴∴∴f(x)＝x2－5x＋6. ∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6， 依题意解得－＜m＜0， 故实数m的取值范围是. 答案　 B级　能力提升 9．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)在[－3，3]上的零点个数至少为(　　) A．6 B．7 C．12 D．13 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(x＋1)＝f(x)得f(x)的周期为1，所以f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝0.又f＝f，f＝－f，因此f＝f＝0，则f＝f＝f＝f＝f＝f＝0，故f(x)在[－3，3]上至少有13个零点，故选D. 答案　D 10．已知函数f(x)＝若f(x)有两个零点x1，x2(x1＞x2)，则x1－x2的最小值是(　　) A．1 B．2 C． D． 解析　根据题意可得－t＝0，解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，解得x2＝t－1(t＜2)，则x1－x2＝t2－t＋1＝＋(0≤t＜2)，当t＝时，x1－x2取得最小值. 答案　D 11．(2025·保定模拟)已知x>0，函数f(x)＝2x＋x－5，g(x)＝x2＋x－4，h(x)＝log2x＋x－3的零点分别为a，b，c，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a 解析　因为f(x)＝2x＋x－5单调递增， 且f(1.6)＝21.6－3.4＝－＝－<0， f(2)＝4＋2－5＝1>0， 由函数零点存在定理可知，f(x)有唯一零点a，且1.6<a<2； 因为g(x)＝x2＋x－4在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－2<0， g(1.6)＝1.62－2.4＝2.56－2.4>0， 由函数零点存在定理可知，g(x)有唯一零点b，且1<b<1.6； 因为h(x)＝log2x＋x－3在(0，＋∞)上单调递增，且h(2)＝1＋2－3＝0， 则h(x)有唯一零点c＝2， 所以b<a<c.故选C. 答案　C 12．(2024·杭州段测)定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝f(x＋2)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x3－x2＋x，则方程4f(x)－x＋2＝0所有的根之和为(　　) A．6 B．12 C．14 D．10 解析　因为f(－x)＋f(x)＝0，x∈R， 所以f(x)为奇函数． 又因为f(－x)＝f(x＋2)， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称． 所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的一个周期为4. 又因为x∈[0，1]时， f′(x)＝3x2－2x＋1＝3＋>0， 所以f(x)在[0，1]上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝1. 由题意可得下图， 可得直线y＝(x－2)与y＝f(x)的交点的横坐标为方程4f(x)－x＋2＝0的根， 可得在(－2，2)与(2，6)上均有两个交点，且关于(2，0)对称，加上(2，0)点，共5个交点， 所以这5个交点的横坐标之和为2×2×2＋2＝10.故选D. 答案　D 13．(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的一个周期为4 B．直线x＝－4是函数f(x)图象的一条对称轴 C．函数f(x)在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－1)上单调递减 D．函数f(x)在[0，100]内有25个零点 解析　令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.由于函数f(x)为偶函数，故f(2)＝f(－2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)是以4为周期的函数，故A正确；因为f(－4＋x)＝f(4－x)＝f(4－8－x)＝f(－4－x)，所以直线x＝－4是函数图象的一条对称轴，故B正确；结合函数在区间[0，2]上是增函数，画出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可知，函数在[－6，－4)上单调递减，故C错误；根据图象可知，f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(98)＝0，故共有25个零点．故D正确． 答案　ABD 14．已知函数f(x)＝那么f(f(4))＝________，若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a的个数是________． 解析　由f(4)＝－2，得f(f(4))＝f(－2)＝1. 设f(a)＝t，由f(a)＝f(f(a))，得t＝f(t)， 即图象与y＝x有交点，可得t＝1或t＝－1， 由图象可知， 当t＝1时，即f(a)＝1，可得a＝1或a＝－2， 当t＝－1时，即f(a)＝－1，可得a＝3或a＝0或a＝－1. 综上，存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，且a的个数是5. 答案　1　5 C级　拓广探索 15．(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2＝________，(x3－3)·(x4－3)的取值范围是________． 解析　作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，x1＜x2＜x3＜x4. 所以由图可知，－log3x1＝log3x2， ＝9，且3＜x3＜6，即x1x2＝1， 所以(x3－3)(x4－3)＝x3x4－3(x3＋x4)＋9＝x3(18－x3)－45＝－x＋18x3－45， 因为y＝－x＋18x3－45在(3，6)上单调递增，所以0＜y＜27， 即(x3－3)(x4－3)的取值范围是(0，27). 答案　1　(0，27) 16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|<n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”．若f(x)＝32-x－1与g(x)＝x2－aex互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为________． 解析　由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减， 所以函数f(x)只有一个零点2， 由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”， 得|2－β|<1. 由|2－β|<1，得1<β<3， 所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1，3)上存在零点． 由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝. 令h(x)＝，则h′(x)＝＝， 所以h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减， 且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>， 要使函数g(x)在区间(1，3)上存在零点，只需a∈. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$