2.7-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P289] A级　基础过关 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x B． C．logx D．2x-2 解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x. 答案　A 2．已知函数f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 解析　∵a＝＝|－lg 4|＝lg 4，b＝＝|－lg 2|＝lg 2，c＝|lg 3|＝lg 3，且f(x)＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，∴lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选C. 答案　C 3．函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为(　　) A．－ B．－2 C．－ D．0 解析　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝2－≥－.当x＝时，函数取得最小值．故选A． 答案　A 4．(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a＞1 B．0＜c＜1 C．0＜a＜1 D．c＞1 解析　由图象可知0＜a＜1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1， ∴0＜c＜1. 答案　BC 5．(多选)已知函数f(x)＝log2(1－|x|)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于y轴对称 C．f(x)的最大值为0 D．f(x)在区间(－1，1)上单调递增 解析　函数f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，由f(－x)＝log2(1－|－x|)＝log2(1－|x|)＝f(x)，得f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以A错误，B正确；根据f(x)的图象(图略)可知D错误；因为1－|x|≤1，所以f(x)≤log21＝0，故C正确． 答案　BC 6．计算：________． 答案　10 7．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝lg (3x＋1)－1，则不等式f(x)＞0的解集为________． 解析　当x≥0时，由f(x)＝lg (3x＋1)－1＞0，得x＞3.又因为函数f(x)为偶函数，所以不等式f(x)＞0的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞). 答案　(－∞，－3)∪(3，＋∞) 8．已知函数f(x)满足：①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；②值域为R；③f(－x)＝f(x)，则一个满足上述条件的函数f(x)＝________． 解析　f(x)＝ln |x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，且f(－x)＝ln |－x|＝ln |x|＝f(x)，因此f(x)＝ln |x|符合题意． 答案　ln |x|(答案不唯一) 9．已知f(x)＝logax＋loga(4－x)(a＞0，且a≠1)，且f(2)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在上的值域． 解析　(1)由f(2)＝2得，loga2＋loga(4－2)＝2，解得a＝2，所以f(x)＝log2x＋log2(4－x). 由解得0＜x＜4， 故f(x)的定义域为(0，4). (2)由(1)及条件知f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2[x(4－x)]＝log2[－(x－2)2＋4]， 设t(x)＝－(x－2)2＋4，x∈， 则当x＝2时，t(x)max＝4； 当x＝1时，t(x)＝3；当x＝时，t(x)＝， 所以当x∈时，t(x)∈， 所以f(x)max＝log24＝2， f(x)min＝log2＝log27－2， 所以f(x)在上的值域为[log27－2，2]. B级　能力提升 10．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D． 解析　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝－，因为M的单调递增区间为.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞). 答案　A 11．已知正实数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z≠0，则(　　) A．x>y>z B．x<y<z C．x，y，z可能构成等比数列 D．关于x，y，z的方程x＋y＝z有且只有一组解 解析　令log2x＝log3y＝log5z＝t≠0，则x＝2t，y＝3t，z＝5t， 令g(k)＝kt，由幂函数图象的性质可知， 当t>0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递增，故2t<3t<5t，即x<y<z； 当t<0时，g(k)＝kt在(0，＋∞)上单调递减，故2t>3t>5t，即x>y>z，故A，B不一定正确； 假设x，y，z成等比数列，则y2＝xz⇒(3t)2＝2t·5t⇒9t＝10t， 则t＝0，与已知矛盾，故C错误； 因为x＋y＝z，则2t＋3t＝5t，即＋＝1， 令f(t)＝＋－1，由指数函数的性质可知f(t)为减函数， 注意到f(1)＝0，故f(t)只有一个零点，即＋＝1只有一个解t＝1， 所以x＋y＝z只有一组解x＝2，y＝3，z＝5，故D正确． 答案　D 12．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3). (1)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (2)若函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，求实数a的取值范围． 解析　(1)∵函数f(x)的值域为(－∞，－1]， ∴f(x)max＝－1，又f(x)＝log(x2－2ax＋3)， 而函数f(x)的定义域为R，∴u＝x2－2ax＋3的最小值umin＝2. 而u＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2， ∴3－a2＝2，解得a2＝1，即a＝±1， ∴实数a的值为1或－1. (2)∵f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，－1]上为增函数，函数y＝logu在u∈(0，＋∞)上是减函数，∴函数u＝x2－2ax＋3在(－∞，－1]上为减函数且u＞0， ∴解得即a≥－1， 故实数a的取值范围为[－1，＋∞). C级　拓广探索 13．(多选)(2025·广东佛山模拟)对于任意两个正数u，v(u<v)，记曲线y＝与直线x＝u，x＝v，x轴围成的曲边梯形的面积为L(u，v)，并约定L(u，u)＝0和L(u，v)＝－L(v，u)，德国数学家莱布尼茨(Leibniz)最早发现L(1，x)＝ln x．关于L(u，v)，下列说法正确的是(　　) A．L＝L(4，8) B．L(450，3100)＝100L(2，3) C．2L(u，v)<－ D．L(uu，vu)>v－u 解析　由题意得L(1，x)＝－L(x，1)＝ln x， 所以L(x，1)＝－ln x. 当u>1时，L(u，v)＝L(1，v)－L(1，u)＝ln v－ln u； 当v<1时，L(u，v)＝L(u，1)－L(v，1)＝L(1，v)－L(1，u)＝ln v－ln u； 当u<1<v时，L(u，v)＝L(u，1)＋L(1，v)＝L(1，v)－L(1，u)＝ln v－ln u； 当v＝1或u＝1时，L(u，v)＝ln v－ln u也成立． 综上所述，L(u，v)＝ln v－ln u. L＝ln －ln ＝ln 2， L(4，8)＝ln 8－ln 4＝ln 2，所以L＝L(4，8)，A正确； L(450，3100)＝ln 3100－ln 450＝ln 3100－ln 2100＝100(ln 3－ln 2)， 且L(2，3)＝ln 3－ln 2，所以L(450，3100)＝100L(2，3)，B正确； 如图，因为S阴影<S梯形，所以L(u，v)＝ln v－ln u<(v－u)＝·＝， 即2L(u，v)<－，C正确； 取u＝1，v＝2，则L(uu，vu)＝L(1，2)＝ln 2<2－1＝1，D错误． 答案　ABC 14．(2025·南昌二中阶段练习)已知函数f(x)＝，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称． (1)若函数y＝g(x2－2tx＋1)在(1，＋∞)上单调递减，求实数t的取值范围； (2)不等式g(a2x)<2g(x＋2a－6)在x∈[4，9]上恒成立，求实数a的取值范围． 解析　(1)依题意g(x)＝logx， y＝g(x2－2tx＋1)＝log(x2－2tx＋1)在(1，＋∞)上单调递减， 令h(x)＝x2－2tx＋1，则h(x)在(1，＋∞)上单调递增，且h(x)>0对x∈(1，＋∞)恒成立． ∴t≤1且h(1)＝1－2t＋1≥0，∴t≤1.故t的取值范围为(－∞，1]. (2)依题意有4a2>0，且4＋2a－6>0，∴a>1. 不等式log(a2x)<2log(x＋2a－6)在[4，9]上恒成立， 即a2x>(x＋2a－6)2在[4，9]上恒成立， ∴a>x＋2a－6，即(－2)a>x－6在[4，9]上恒成立，当x＝4时不等式成立，当x∈(4，9]时，－2>0，∴a>在(4，9]上恒成立， ∴a>， 令－2＝m，m∈(0，1]， 则＝＝m－＋4， 而y＝m－＋4在(0，1]上单调递增， ∴＝3，∴a>3. 综上，a的取值范围为(3，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$