2.2-（配套练习）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

[对应学生用书P280] A级　基础过关 1．下列函数在R上为增函数的是(　　) A．y＝x2 B．y＝x C．y＝－ D．y＝ 解析　y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误； y＝x在R上为增函数，故选项B正确； y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故选项C错误； y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故选项D错误． 答案　B 2．已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1＜x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，则(　　) A．f(3)＜f(π)＜f(2) B．f(π)＜f(3)＜f(2) C．f(2)＜f(π)＜f(3) D．f(π)＜f(2)＜f(3) 解析　易知f(x)是R上的减函数，又π＞3＞2，故f(π)＜f(3)＜f(2). 答案　B 3．若函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　) A．(－∞，3] B．(2，3) C．(2，3] D．[3，＋∞) 解析　f(x)＝＝2＋，∵x2≥0， ∴x2＋1≥1，∴0＜≤1，2<2＋≤3， ∴f(x)的值域为(2，3]. 答案　C 4．已知函数f(x)＝若f(a)＜f(6－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3) C．(3，＋∞) D．(－∞，3) 解析　显然f(x)在R上为增函数，故f(a)＜f(6－a)可化为a＜6－a，解得a＜3.故选D. 答案　D 5．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论正确的是(　　) A．y＝在R上为减函数 B．y＝|f(x)|在R上为增函数 C．y＝－在R上为增函数 D．y＝－f(x)在R上为减函数 解析　对于A，若f(x)＝x，则y＝＝，在R上不是减函数，错误；对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，错误；对于C，若f(x)＝x，则y＝－＝－，在R上不是增函数，错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1＜x2，必有f(x1)＜f(x2)，对于y＝－f(x)，则有y1－y2＝[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)＞0，则y＝－f(x)在R上为减函数，正确．故选D. 答案　D 6．函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________． 解析　由题意得函数f(x)＝ 当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0，3]； 当x＜0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]， 综上，函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－3]，[0，3]. 答案　(－∞，－3]，[0，3] 7．已知函数f(x)＝且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2时，都有＞0，则a的取值范围是________． 解析　由题意得函数f(x)在R上为增函数， 所以解得－1≤a＜0. 答案　[－1，0) 8．已知函数f(x)＝x|x－4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象； (2)写出函数f(x)的单调递减区间． 解析　(1)f(x)＝x|x－4|＝ 函数图象如图所示． (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4). B级　能力提升 9．(多选)已知函数f(x)满足f＝，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为{x|x≠－1} B．f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2} C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减 D．不等式f(x)＞2的解集为(－1，0) 解析　由于f＝＝，故f(x)＝＝1＋(x≠0且x≠－1)，所以f(x)的定义域为{x|x≠－1，且x≠0}，作出其图象(图象略)，由图象知，f(x)的值域为{y|y≠1，且y≠2}；f(x)在(0，＋∞)上单调递减；f(x)＞2的解集为(－1，0).故选BCD. 答案　BCD 10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)＋x是增函数 B．y＝f(x)＋x是减函数 C．y＝f(x)是增函数 D．y＝f(x)是减函数 解析　不妨令x1＜x2，∴x1－x2＜0， ∵＞－1⇔f(x1)－f(x2)＜－(x1－x2)⇔f(x1)＋x1＜f(x2)＋x2， 令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)＜g(x2)， 又x1＜x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数． 答案　A 11．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)＞f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2] 解析　易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误． 答案　BC 12．已知定义在R上的函数f(x)为增函数，当x1＋x2＝1时，不等式f(x1)＋f(0)＞f(x2)＋f(1)恒成立，则实数x1的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B． C． D．(1，＋∞) 解析　若f(x1)＋f(0)＞f(x2)＋f(1)， 则f(x1)－f(x2)＞f(1)－f(0). 又由x1＋x2＝1， 则有f(x1)－f(1－x1)＞f(1)－f(0).① 令g(x)＝f(x)－f(1－x)，又f(x)为增函数， 所以g(x)为增函数，①式即g(x1)＞g(1)， 所以x1＞1. 答案　D 13．已知函数f(x)＝若f(0)是函数f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________． 解析　当x≤0时，若a＜0，由二次函数的性质可得f(0)不是f(x)的最小值；当a≥0，f(0)＝a2为f(x)在(－∞，0]上的最小值． 当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a＝2＋a，当且仅当x＝1时，等号成立， 所以a2≤a＋2，解得－1≤a≤2， 所以0≤a≤2. 所以实数a的取值范围是[0，2]. 答案　[0，2] 14．已知f(x)＝(x≠a). (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． (1)证明　当a＝－2时，f(x)＝. 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增． (2)解析　任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝. 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. C级　拓广探索 15．(多选)(2025·青岛模拟)对于定义域为D的函数y＝f(x)，若同时满足下列条件：①f(x)在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数，下列结论正确的是(　　) A．函数y＝x2＋1是闭函数 B．函数y＝－x3是闭函数 C．函数y＝是闭函数 D．k＝－2时，函数y＝k＋是闭函数 解析　对于A，因为y＝x2＋1在定义域内不是单调函数，所以函数y＝x2＋1不是闭函数，所以A错误；对于B，函数y＝－x3在定义域内是减函数，设[a，b]⊆R，则解得所以存在区间[－1，1]，使得y＝－x3在[－1，1]上的值域为[－1，1]，所以函数y＝－x3是闭函数，所以B正确；对于C，y＝＝1－在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递增，但在定义域上不单调，所以函数f(x)＝不是闭函数，所以C错误；对于D，y＝－2＋的定义域为[－2，＋∞)，并且在[－2，＋∞)上为增函数，若y＝－2＋是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[－2，＋∞)，使函数的值域为[a，b]，即所以a，b是方程x＝－2＋的两个不相等的实根，整理方程得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1，所以存在区间[－2，－1]⊆[－2，＋∞)，使得函数y＝－2＋的值域为[－2，－1]，所以函数y＝－2＋是闭函数，所以D正确．故选BD. 答案　BD 16．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对于任意的x，y∈(0，＋∞)，总有f(x)＋f(y)＝f(xy)，且当x＞1时，f(x)＜0且f(e)＝－1. (1)求f(1)的值； (2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明； (3)求函数f(x)在上的最大值与最小值． 解析　(1)令x＝y＝1，则f(1)＋f(1)＝f(1)， 所以f(1)＝0. (2)f(x)在(0，＋∞)上单调递减．证明如下： 设x1＞x2＞0，令xy＝x1，x＝x2，则y＝，所以y＞1，f(y)＜0，由题得f(x2)＋f＝f(x1)，即f(x1)－f(x2)＝f＜0， 即对任意x1，x2∈(0，＋∞)，若x1＞x2，则f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (3)因为f(e)＝－1，令x＝y＝e， 则f(e2)＝f(e)＋f(e)＝－2，令x＝e，y＝， 则f(1)＝f(e)＋f＝0，f＝1. 由(2)得，f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f＝1，f(x)min＝f(e2)＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$