17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固练习2024-2025学年沪科版八年级数学下册

沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固 一、数字问题 1.一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（    ） A.24 B.35 C.42 D.53 2.两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（    ） A.25 B.36 C.25或36 D.64 4.一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是        ． 5.有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是         ． 6.已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数. 二、传播问题 1.有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A. B. C. D. 2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 3.某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（    ）人被传染． A.380 B.6859 C.7220 D.6498 4.有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程        ． 5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染        台电脑． 6.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 7.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 三、握手、赠送和比赛问题 1.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A.8 B.9 C.10 3.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 4.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯36次，则参加酒会的人数为 　　人． 5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签了15份合同，共有 　　家公司参加商品交易会． 6.一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： （1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ （2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明； （3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 7.我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级． 四、增长率问题 1.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 2.近年来，随着我国电子商务的快速发展，网购已成为常态化消费方式．某村快递站今年3月份完成寄件数为6万件，4月份增长了1.5万件，5月份比4月份增长了1.14万件．则3﹣5月寄件数据的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.22% 3.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 4.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　． 5.某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 　　． 6.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 7.受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同． （1）求该企业从一月到三月利润的月平均增长率． （2）若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润． 五、销售问题 1.某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（　　） A.10元 B.15元 C.20元 D.25元 2.某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（　　） A.8元 B.10元 C.30元 D.10元或30元 3.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（　　） A.12元 B.10元 C.11元 D.9元 4.香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　　元． 5.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　　元． 6.诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元． （1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明． 7.某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 六、与图形面积有关的问题 1.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 2.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 3.如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3m 4.如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　　m． 5.如图，有一张长30cm，宽20cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 　　． 6.如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm． （1）边BC的长为 　　m，矩形ABCD的面积为 　　m2（均用含x的代数式表示）； （2）矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由． 7.某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．    (1)______； (2)的长度为______m（用含有的代数式表示）； (3)当长方形区域的面积为时，求的长度． 七、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 3.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm时，则点P运动的时间是 　　． 5.如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝　　cm； （2）经过 　　秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动． （1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？ 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 沪科版八年级下册 17.5 一元二次方程的应用 暑假巩固（参考答案） 一、数字问题 1.一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（    ） A.24 B.35 C.42 D.53 【答案】A 【解析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+2， 由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)， 整理得：(x-2)(3x+1)=0， 解得(舍去)， ∴这个两位数为24， 故选：A． 2.两个相邻自然数的积是506.则这两个数中，较大的数是（　　） A.20 B.21 C.22 D.23 【答案】D 【解析】设两个相邻自然数中较大的数为，则另一个数为， 依题意得， 解得(不合题意，舍去)，， ∴这两个数中，较大的数是， 故选：D 3.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（    ） A.25 B.36 C.25或36 D.64 【答案】C 【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为25或36． 故选C． 4.一个两位数，它的十位数字比个位数字大，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小，则这个两位数是        ． 【答案】 【解析】设个位数为x，则十位数为x+1，其中x为非负整数，依题意列方程得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴这个两位数为32， 故答案为：32． 5.有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是         ． 【答案】35或53． 【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是（8-x），由题意得 [10x+（8-x）][10（8-x）+x]=1855． 化简得x2-8x+15=0， 解之得：x1=3，x2=5． 经检验，x1=3，x2=5都符合题意． 答：原两位数是35或53． 6.已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 【答案】解：依题意，设这个数为，列方程， 即， ∴， 解得． ∴这个数为或． 7.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数. 【答案】解：设个位数字为，则十位数字为. 得， ∴这个两位数为36或63. 二、传播问题 1.有两个人患流感，经过两轮传染共有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 由题意可得，， 解得，（不合，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是人， 故选：． 2.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A.9 B.8 C.7 D.6 【答案】C 【解析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 3.某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，假设每轮感染中平均一人感染人数相同，按这样的速度第三轮后共有（    ）人被传染． A.380 B.6859 C.7220 D.6498 【答案】B 【解析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意得： ， 解得：（不合题意，舍去）； 即每轮传染中平均每个人传染了18个人， ， 答：按这样的速度第三轮后共有6859人被传染． 故选：B 4.有一人利用手机发短信，获得他信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经历两轮短信的发送，共有110人的手机获得该条短信．设每人给y人发短信，则可列方程        ． 【答案】 【解析】设每人给y人发短信， 由题意得：， 故答案为：． 5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染        台电脑． 【答案】11 【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意列方程得：， 解得（不符合题意，舍去）， 即每轮感染中平均一台电脑会感染11台电脑． 6.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病．一鸡场3月12日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数是多少？ 【答案】解：设每只病鸡传染健康鸡只，由题意得： ， 整理，得， 解，得，（不符合题意舍去）． 答：每只病鸡传染健康鸡12只． 7.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 ， 解得：，（舍去）， （人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 三、握手、赠送和比赛问题 1.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（　　） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】B 【解析】设这个航空公司共有飞机场共有x个． x（x﹣1）＝15×2， 解得x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 答：这个航空公司共有飞机场共有6个． 故选：B． 2.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有（　　）人参加了选拔赛． A.8 B.9 C.10 【答案】B 【解析】设有x人参加了选拔赛， 由题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， 即有9人参加了选拔赛， 故选：B． 3.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（　　） A.9人 B.10人 C.11人 D.12人 【答案】B 【解析】设该群共有x人， 依题意有x（x﹣1）＝90， 解得：x＝﹣9（舍去）或x＝10， 答：这个群共有10人． 故选：B． 4.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯36次，则参加酒会的人数为 　　人． 【答案】9． 【解析】设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴参加酒会的人数为9人． 故答案为：9． 5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签了15份合同，共有 　　家公司参加商品交易会． 【答案】6． 【解析】设有x家公司参加， 依题意，得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0 解得：x1＝6，x2＝﹣5（舍去）， 答：共有6家公司参加商品交易会． 故答案为：6． 6.一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： （1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ （2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明； （3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 【答案】解：（1）由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理， 理由如下：设有x人报名参赛， 由题意得， 整理得 x2﹣x﹣140＝0，解得，不为整数． ∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理； （3）设有一人比赛了n场后退出比赛，由题意得， ， 整理得 x2﹣3x+2n﹣138＝0， 解得． 当n＝4 时，x＝13，符合题意， ∴共有13名参赛者报名本次比赛． 7.我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级． 【答案】解：设七年级有x个班， ， x2﹣x﹣90＝0， （x﹣10）（x+9）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣9（舍）， 答：七年级有10个班． 四、增长率问题 1.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A.20.3% B.25.2% C.29.3% D.50% 【答案】C 【解析】设每天“遗忘”的百分比为x， ， 解得x1，（不合题意，舍去）， ∵0.293， ∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%． 故选：C． 2.近年来，随着我国电子商务的快速发展，网购已成为常态化消费方式．某村快递站今年3月份完成寄件数为6万件，4月份增长了1.5万件，5月份比4月份增长了1.14万件．则3﹣5月寄件数据的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.22% 【答案】C 【解析】设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x， 根据题意，得：6（1+x）2＝6+1.5+1.14， 解得x＝0.2＝20% 或x＝﹣2.2（舍去）． 故选：C． 3.某药品加工厂两年前生产1tⅠ型药品的成本是6400元，现在生产1tⅠ型药品的成本是3600元．则Ⅰ型药品的年平均下降率为（　　） A.75% B.56.25% C.25% D.20% 【答案】C 【解析】设Ⅰ型药品的年平均下降率为x， 根据题意得：6400（1﹣x）2＝3600， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合题意，舍去）， ∴Ⅰ型药品的年平均下降率为25%． 故选：C． 4.随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　． 【答案】10%． 【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x， 根据题意得：40（1+x）2＝48.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 5.某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是 　　． 【答案】10%． 【解析】设年平均增长率是x， 根据题意得：50（1+x）2＝60.5， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 6.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2＝608． 化简得：4x2+12x﹣7＝0． ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）． 答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： ∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128432＜500． 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 7.受益于国家对高新技术企业的大力扶持，某新材料企业的利润逐月增加．据统计，该企业今年一月的利润为128亿元，到三月末累计利润为608亿元，若该企业利润的月平均增长率相同． （1）求该企业从一月到三月利润的月平均增长率． （2）若该企业四月份保持前两个月利润的月平均增长率，求该企业四月份的利润． 【答案】解：（1）设该企业从一月到三月利润的月平均增长率为x，则该企业今年二月的利润为128（1+x）亿元，三月的利润为128（1+x）2亿元， 根据题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608， 整理得：4x2+12x﹣7＝0， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合题意，舍去）． 答：该企业从一月到三月利润的月平均增长率为50%； （2）根据题意得：128×（1+0.5）3＝432（亿元）． 答：该企业四月份的利润为432亿元． 五、销售问题 1.某商场销售一批衬衣，平均每天售出30件，每件衬衣盈利50元．为了增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣应降价（　　） A.10元 B.15元 C.20元 D.25元 【答案】D 【解析】设每件衬衫应降价x元． 根据题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理，得x2﹣35x+250＝0， 解得x1＝10，x2＝25， ∵题目要求扩大销售量，减少库存， ∴x1＝10应略去， ∴取x2＝25． 故选：D． 2.某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，则每件工艺品应降价（　　） A.8元 B.10元 C.30元 D.10元或30元 【答案】C 【解析】设每件工艺品降价x元，依题意，得： （45﹣x）（20+4x）＝2100， 解得：x1＝10，x2＝30， 经检验：为了尽快减少库存x＝10不符合题意，应取x＝30． ∴每件工艺品应降价30元． 故选：C． 3.某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（　　） A.12元 B.10元 C.11元 D.9元 【答案】B 【解析】设每件降价x元，则每件的销售利润为（65﹣x﹣45）元，每天可售出（30+5x）件， 根据题意得：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800， 整理得：x2﹣14x+40＝0， 解得：x1＝4，x2＝10， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝10， ∴每件应降价10元． 故选：B． 4.香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售120件，每件盈利200元，为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价20元，则每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 　　元． 【答案】80． 【解析】设每件应降价x元，则每件的销售利润为（200﹣x）元，每月可售出12030＝（120+1.5x）件， 根据题意得：（200﹣x）（120+1.5x）＝28800， 整理得：x2﹣120x+3200＝0， 解得：x1＝40，x2＝80， 又∵要尽快减少库存， ∴x＝80， ∴每件应降价80元． 故答案为：80． 5.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 　　元． 【答案】3或4． 【解析】设每箱降价x元，则每箱的销售利润为（12﹣x）元，平均每天可售出（100+20x）箱， 根据题意得：（12﹣x）（100+20x）＝1440， 整理得：x2﹣7x+12＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， ∴每箱应降价3或4元． 故答案为：3或4． 6.诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元． （1）当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？ （2）该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明． 【答案】解：（1）设每篮樱桃的售价为x元，则每天可售出4010＝（140﹣2x）篮， 根据题意得：x（140﹣2x）＝2400， 整理得：x2﹣70x+1200＝0， 解得：x1＝30（不符合题意，舍去），x2＝40． 答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额； （2）该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元，理由如下： 假设该采摘基地每天所获得的销售额能达到2500元，设每篮樱桃的售价为y元，则每天可售出4010＝（140﹣2y）篮， 根据题意得：y（140﹣2y）＝2500， 整理得：y2﹣70y+1250＝0， ∵Δ＝（﹣70）2﹣4×1×1250＝﹣100＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元． 7.某文创店准备以6元的单价购进1200个纪念品进行售卖．如果第一周定价为10元，可以售卖出400个；第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但文创店为了增加销量，决定适当降价销售（根据调查，单价每降低1元，可多售出100个，售价不得低于进价）．第二周按照降低的价格销售后，文创店在第三周对剩余纪念品进行清仓处理，最终以每个4元的价格全部售出．如果这批纪念品共获利2500元，第二周每个纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】解：第二周单价降低x元后，这周销售的销量为（400+100x）件，由题意得出： 400×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1200﹣400）﹣（400+100x）]＝2500， 即1600+（4﹣x）（400+100x）﹣2（400﹣100x）＝2500， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x1＝x2＝1， 则10﹣1＝9（元）． 答：第二周每个纪念品的销售价格为9元． 六、与图形面积有关的问题 1.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为12m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　） A.9m B.8m C.7m D.6m 【答案】D 【解析】设原正方形空地的边长是x m， 由题意得，（x﹣2）（x﹣3）＝12， 解得x＝6或x＝﹣1（舍去）， ∴原正方形空地的边长是6m， 故选：D． 2.如图，某农家乐老板计划在一块长130米，宽60米的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘，它们的面积之和为5750平方米，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为（　　） A.4.5m B.5m C.5.5m D.6m 【答案】B 【解析】设垂钓通道的宽度为x米，则两块垂钓鱼塘可合成长为（130﹣3x）米、宽为（60﹣2x）米的矩形， 根据题意得：（130﹣3x）（60﹣2x）＝5750， 整理得：3x2﹣220x+1025＝0， 解得：x160（舍去），x2＝5． 即垂钓通道的宽度为5米． 故选：B． 3.如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（　　） A.5m或6m B.2.5m或3m C.5m D.3m 【答案】C 【解析】设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 4.如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为 　　m． 【答案】1． 【解析】设道路的宽为x m，则剩余空地可合成长为（30﹣x）m，宽为（20﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（30﹣x）（20﹣2x）＝522， 整理得：x2﹣40x+39＝0， 解得：x1＝1，x2＝39（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为1m． 故答案为：1． 5.如图，有一张长30cm，宽20cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则x的值为 　　． 【答案】5． 【解析】根据题意知：无盖纸盒的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm， ∴（30﹣2x）（20﹣2x）30×20， 解得x＝5或x＝20（不符合题意，舍去）， 答：x的值为5cm； 故答案为：5． 6.如图，用一条长40m的绳子围成矩形ABCD，设边AB的长为xm． （1）边BC的长为 　　m，矩形ABCD的面积为 　　m2（均用含x的代数式表示）； （2）矩形ABCD的面积是否可以是120m2？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由． 【答案】解：（1）根据题意，知边BC的长为：（20﹣x）m， 矩形ABCD的面积为：（20﹣x）x＝（﹣x2+20x）m2； 故答案为：（20﹣x）；（﹣x2+20x）； （2）若矩形ABCD的面积是120m2，则﹣x2+20x＝120． ∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣80＜0， ∴这个方程无解． ∴矩形ABCD的面积不可以是120m2． 7.某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．    (1)______； (2)的长度为______m（用含有的代数式表示）； (3)当长方形区域的面积为时，求的长度． 【答案】（1）设，根据题意， 得四边形，四边形，四边形都是矩形， 设，， 根据题意，得，， ∴, ∴, 解得， 故 故答案为：． （2）根据(1),得，，， ∴， ∴， 故答案为：． （3）根据题意，得， 整理，得， 解得， 答：的长度为． 七、动态几何问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向终点B运动，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点C运动，设点P，Q的运动时间为t秒，连接PQ，当△PBQ的面积为时，t的值为（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】由题意可得AP＝2t，BQ＝t， ∴PB＝6﹣2t， ∴， 当△PBQ的面积为时，可得， 解得， 故选：C． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A出发向终点B以1cm/s的速度移动；同时点Q沿BC边从点B出发向终点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．当△PBQ的面积为12cm2时，点P一运动的时间是（　　） A.2s B.2s或6s C.6s D.6s或8s 【答案】A 【解析】8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）． 当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm， 根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12， 整理得：t2﹣8t＝12， 解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去）， ∴点P的运动时间是2秒． 故选：A． 3.如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（　　）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半， 根据题意，得， 化简得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）， ∴经过2秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半． 故选：A． 4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为9cm时，则点P运动的时间是 　　． 【答案】3秒． 【解析】三角形ABC的面积为8×6＝24（cm2）， ∴△PBQ的面积为24﹣9＝15（cm2）， 设运动时间为t秒，则PB＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm， 依题意，得：2t•（8﹣t）＝15， 解得：t1＝3，t2＝5， ∵2t≤6， ∴t≤3， ∴t＝3． 故答案为：3秒． 5.如图，长方形ABCD中，AB＝5cm，AD＝4cm，动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动，动点Q从点A出发沿A﹣B﹣C向终点C以3cm/s的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示AP，则AP＝　　cm； （2）经过 　　秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 【答案】． 【解析】（1）∵动点P从点D出发，沿DA向终点A以1cm/s的速度移动， ∴经过x秒，DP＝x cm， ∴AP＝AD﹣DP＝（4﹣x）cm． 故答案为：（4﹣x）； （2）4÷1＝4（s），5÷3（s），（5+4）÷3＝3（s）． 当0＜x时，AP＝（4﹣x）cm，AQ＝3x cm， ∴AP•AQ＝2，即（4﹣x）•3x＝2， 整理得：3x2﹣12x+4＝0， 解得：x1，x2（不符合题意，舍去）； 当x≤3时，AP＝（4﹣x）cm， ∴（4﹣x）•5＝2， 解得：x（不符合题意，舍去）． ∴经过秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为2cm2． 故答案为：． 6.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从A点沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向C以2cm/s的速度移动． （1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积能为8cm2吗？为什么？ 【答案】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝t cm，BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2t cm，CQ＝（12﹣2t）cm， 根据题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4． 答：经过2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2； （2）△PDQ的面积不能为8cm2，理由如下： 假设△PDQ的面积能为8cm2，则S△PDQ＝S长方形ABCD﹣S△APD﹣S△PBQ﹣S△CDQ， 即12×612•t（6﹣t）•2t6•（12﹣2t）＝8， 整理得：t2﹣6t+28＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×28＝﹣76＜0， ∴原方程无解， ∴假设不成立，即△PDQ的面积不能为8cm2． 7.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】解：（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝6秒，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4秒，设点P，Q运动的时间为t（0＜t≤4）， ∴AP＝t，BQ＝2t，则BP＝6﹣t， ∴，即t2﹣6t+8＝0，解方程得，t1＝2，t2＝4， ∴经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2． （2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得，， ∴a2﹣6a+12＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×12＝36﹣48＝﹣12＜0，关于a的一元二次方程无解， ∴不存在△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半． 学科网（北京）股份有限公司 $$