专题06 电场与磁场（山东专用）-【好题汇编】2025年高考物理二模试题分类汇编

专题06 电场与磁场 电场力和电场能的性质 1．（2025·山东名校·联考）为除去陶瓷工业所用粘土中的氧化铁，把粘土和水一起搅拌成悬浮液，将涂有绝缘层的金属圆盘吸附在盆底，金属棒插入悬浮液中，接入电源，形成如图所示电场，其中虚线为等势面。某粒子仅在电场力的作用下从点到点的轨迹如图所示，已知粘土粒子带负电荷，氧化铁粒子带正电荷，下列说法正确的是（　　） A．端为电源正极 B．该粒子可能为粘土粒子 C．该粒子在点受到的电场力大于在点受到的电场力 D．该粒子在点的动能小于在点的动能 2．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，带电量分别为+4Q和-Q的两个点电荷固定在x轴上，其中正电荷的坐标x1=-d，负电荷的坐标x2=0。选无穷远处电势为零，将一电子从处由静止释放，此时其电势能为Ep1、加速度大小为a1；当电子运动到x4=d处时电势能为Ep2、加速度大小为a2，则下列判断正确的是（　　） A．Ep1<Ep2，a1<a2 B．Ep1<Ep2，a1>a2 C．Ep1>Ep2，a1>a2 D．Ep1>Ep2，a1<a2 3．（2025·山东滨州·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为的带电小球在点的初速度大小为，方向水平向左，小球经过下方点时速度的大小仍为，且方向与水平方向夹角，指向右下方。两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。则（    ） A．若电场力水平向右，电场力最小 B．间电势差 C．小球速度竖直向下时，速度的大小为 D．若电场力的大小为，则电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方 4．（2025·山东青岛平度·二模）如图所示为某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系（图像），x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，下列说法正确的是（　　） A．点电荷由a运动到d的过程中加速度先减小后增大 B．点电荷从b运动到a电场力做的功小于从c运动到b电场力做的功 C．点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大再减小 D．b和d两点处电势相等 5．（24-25·山东菏泽单县二中·二模）在金属球壳的球心有一个负点电荷，球壳内外的电场线分布如图所示，下列说法正确的是（    ） A．K点的电场强度比L点的大 B．球壳内表面带负电，外表面带正电 C．试探电荷在M点的电势能比在N点的小 D．试探电荷沿电场线从M点运动到N点，电场力做负功 6．（2025·山东名校联盟·二模）三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 7．（2025·山东名校·联考）如图所示，在坐标系中，在、两点分别放置两个点电荷、，且。已知无穷远处电势为0，点电荷自身产生电场中电势公式为，其中是场源点电荷的电荷量，是场源点电荷到其产生电场中某点的距离，是静电力常量。则（　　） A．点与点电场强度相同 B．轴上最大电场强度为 C．沿如图所示虚线，由过程，电势先增大后减小 D．在平面内只有点与点电势相同 8．（2025·山东菏泽·二模）均匀带电半球壳在球心O处的电场强度大小为，现截去左边一小部分，截取面与底面的夹角为，剩余部分在球心O处的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·山东聊城·二模）如图所示，A、B两点分别固定电荷量为−3Q、+Q的两个点电荷，以B为圆心的圆交A、B中垂线于C、D两点，交AB延长线于P点，下列说法正确的是（　　） A．C、D两点电势不同 B．C、D两点电场强度相同 C．将一正电荷从C点沿上方圆弧移至P点，电势能减小 D．将一正电荷从P点沿下方圆弧移至D点，电场力做正功 10.（2025·山东济宁·二模）如图所示，在O点放置一正点电荷，a、b两点位于以O点为圆心的同一圆周上，O、b、c三点位于同一直线上。下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．b点的电势低于c点的电势 C．一负点电荷从b点沿直线向O点运动过程中电势能逐渐减小 D．一负点电荷仅在电场力作用下从b点向O点运动过程中加速度逐渐减小 11．（2025·山东济南省实验中学·二模）如图所示，平面内圆周上的P、Q、R、S四点处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，O为圆心。K为弦PR的中点，L为弦QS的中点。电荷量为+q的粒子从P点沿圆弧移动到Q点电势能减少；若该粒子从R点沿圆弧移动到S点，电势能减少。P、R和Q、S间的电势差分别为、。下列说法正确的是（　　） A．P点电势高于Q点电势 B．若粒子从K点移动到L点，电场力做功为 C．若，则 D．若R、S的距离为d，则电场强度最小值为 12.（2025·山东济南·山师附中二模）直角三角形ABC中，∠C=30°，D为AC边的中点，在A、D两点分别放置电荷量为-q和+q的点电荷，下列说法正确的是（　　） A．B点场强大于C点场强 B．B点场强等于C点场强 C．B点电势高于C点电势 D．B点电势等于C点电势 13.（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图所示，两个可看做点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度随变化的图像（如图乙）和沿y方向的电场强度随变化的图像（如图丙）。下列说法正确的是（　　） A．小球A带负电荷，小球B带正电荷 B．小球A、B所带电荷量之比为 C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小 D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为 带电粒子在电场中的运动场强 14．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 15．（2025·山东济南·二模）如图所示为带等量异种电荷的两正对平行金属板和，板带负电，板接地，板长为，两板间距离为。大量电子从两平行板间上半区域的左侧以平行于金属板的相同速度进入板间，靠近板左侧边缘进入的电子恰好能打在板右侧边缘，电子进入板间在上半区域均匀分布，忽略电子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电子击中板区域的长度为 B．电子击中板区域的长度为 C．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，打在板上的电子数占进入平行板电子总数的 D．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，靠近板左侧边缘进入的电子出电场时的电势能为进电场时电势能的 16．（2025·山东青岛城阳二中·二模）在空中两个相距为的水平固定天花板之间存在竖直向上的匀强电场，电场强度为，外壳绝缘带正电的小球A和B，质量分别为m和3m，带电量分别为q和3q。现让同一竖直线上的小球A和B，从下面天花板处和上面天花板下方h的地方同时由静止释放，所有碰撞都是弹性碰撞，A、B球之间的库仑力忽略不计，重力加速度为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。 （1）求球B第一次碰撞天花板时球A的速度大小； （2）若球B在第一次下降过程中与球A相碰，求p应满足的条件； （3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更低的位置（即穿过图中小球A下面天花板的小孔），求p应满足的条件； （4）若B球n次与上天花板碰撞且B与A碰撞发生在B上升阶段，求p应满足的条件。 带电粒子在磁场中的运动 17．（2025·山东济南·二模）如图所示的坐标平面内，的区域内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的两个带正电粒子和，均以相同大小的速率从点分别沿轴正向和轴负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用，求 (1)粒子分别在和的区域内运动时的半径之比和周期之比； (2)两粒子运动轨迹交点的坐标； (3)以两粒子在点开始运动时为时刻，求两粒子在运动过程中某时刻平行轴方向上相距最远时的距离及对应的时刻。 18．（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ（），将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。 (1)若使Ⅱ区磁感应强度为0，求P到达x轴的位置； (2)若使P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度应满足的条件； (3)将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 带电粒子在复合场中的运动 19．（2025·山东济南省实验中学·二模）回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间距很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计｡磁感应强度为的匀强磁场与盒面垂直｡圆心O处粒子源产生的粒子，质量为m､电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压u随时间的变化关系如图乙所示，其中。加速过程中不考虑相对论效应和变化电场对磁场分布的影响｡ （1）粒子从静止开始被加速，估算该离子离开加速器时获得的动能； （2）若时粒子从静止开始被加速，求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t； （3）实际上，带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心并不是金属盒的圆心O，而且在不断的变动。设粒子从静止开始被加速，第一次加速后在磁场中做圆周运动的圆心到O的距离为（r已知），第二次加速后做圆周运动的圆心到O的距离为，求n次加速后做圆周运动的圆心到O的距离； （4）实际使用中，磁感应强度B会出现波动，若在时产生的粒子第一次被加速，要实现连续n次加速，求B可波动的最大范围｡ 20．（24-25·山东菏泽单县二中·二模）如图所示，A、B两平行板间存在相互垂直的电场和磁场，方向如图所示，电场强度和磁感应强度分别为和。在A、B板右边存在以和为边界，宽度为d，方向竖着向下，大小也为的匀强电场，电场右边空间存在无限大的匀强磁场，磁感应强度为，方向如图。现有两个不同的带电粒子a和b，其比荷分别为k和，先后从A、B板的左侧沿中线垂直电场方向射入，两粒子都沿A、B中线运动后进入偏转电场，最后从进入磁场。（不计粒子的重力）则： （1）求粒子进入偏转电场的速度大小； （2）a粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，求与之比； （3）若两粒子从边界上同一点射出磁场，求磁感应强度的大小。 21．（2025·山东名校联盟·二模）如图所示的平面直角坐标系，在轴上范围内有一线状粒子源，可向第一象限发射速度为、与轴正方向成角的质量为，电量为的带正电的粒子。在第一象限的范围内，存在沿轴负方向的匀强电场，粒子通过电场后，速度方向恰好沿着轴正方向。以点为圆心，半径为的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小。轴的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小；不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求第一象限匀强电场的场强； (2)求粒子在圆形磁场中运动的最长时间； (3)求粒子穿过轴以后，再次回到轴上的坐标范围； (4)若其他条件不变，在轴下方再叠加一沿着轴负方向的电场，求：从点射出的粒子在轴下方运动时，到轴的最远距离。 22．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图甲所示，两平行金属板A、B水平放置，两板间距为d，紧靠两板右端宽度为d的两虚线间为电磁场区域，紧靠B板右端有一长度为且与竖直方向的夹角为的倾斜挡板C，挡板C的中心有一小孔D，挡板C将电磁场区域分成上下两部分，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。区域Ⅰ中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ中有垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度为。A、B板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。粒子源位于O点，可持续不断地沿板间中线以速度发射带负电粒子，粒子质量为m，带电量为q。已知时刻进入两板间的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出交变电场，打在挡板C上的粒子均被挡板吸收，只有穿过小孔D的粒子才能进入区域Ⅱ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，计算结果只能选用m、q、d、T表示。求 (1)A、B板之间的电压； (2)能够穿过小孔D的粒子进入两板间的时刻t； (3)粒子在区域Ⅱ的出射点与小孔D的竖直距离y。 23．（2025·山东名校·联考）电磁场在现代科学技术中有着广泛的应用。通过电、磁场可以实现对带电粒子的控制。如图所示，在平面直角坐标系中存在着多处电场、磁场，第一象限存在区域足够大的匀强磁场（未画出）；第二象限存在沿轴正向的匀强电场；第四象限存在交替出现的边界与轴平行的匀强电场与匀强磁场，电场与磁场宽度都是，电场强度大小，磁感应强度大小。现一质量为、电量为的带正电粒子从点沿轴正向以初速度垂直射入第二象限匀强电场，后又经过点进入第一象限，最后经过点，沿轴负向射入第四象限。已知点坐标为，点处粒子速度方向与轴正向夹角，虚线边界有电场，忽略磁场边界效应和粒子重力。求： (1)第二象限中电场强度大小； (2)第一象限中磁感应强度大小； (3)整个运动过程中，粒子距轴的最远距离。 24．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，在真空建立坐标系O-xyz，z轴正方向垂直于纸面向外（未画出），xOy平面的第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着沿y轴负方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场；区域存在方向均沿着x轴正方向的匀强磁场和匀强电场（未画出），磁感应强度大小，电场强度大小，k为常数。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好从坐标原点O进入区域，过O点时速度大小为、方向与y轴负方向的夹角。不计粒子重力，求：    (1)在平面坐标系xOy的第二象限中电场强度大小； (2)在区域内，粒子偏离xOy平面的最大距离； (3)在区域内，粒子偏离xOy平面距离最大时的x坐标； (4)在平面坐标系xOy的第二象限中磁感应强度大小。 25．（2025·山东菏泽·二模）半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内，其右端是坐标原点，内壁光滑。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为、与水平方向成的速度斜向下进入匀强电场，恰好无碰撞进入细管的左端A，已知细管的内径略大于小球的直径，重力加速度。 (1)求小球到达A点的速度大小及时间； (2)小球到达细管中Q点（图中未标出）时速度达到最大，求小球从P点到Q点的过程中合外力的冲量大小； (3)若已知小球到达细管右端的速度大小为v，小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的面积。 26．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 27．（2025·山东济宁·二模）如图甲所示，在xOy平面内，虚线与x轴垂直并相交于P（−L，0）点，在虚线左侧有一加速电场，电压为U0。一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），当粒子运动到P点时，在虚线与y轴之间的区域加上如图乙所示的与y轴平行的交变电场（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经时间T从y轴上的Q点（0，L）进入第一象限。某一时刻在第一象限加上如图丙所示的变化磁场，磁场变化周期为T0，垂直xOy平面向里为磁场的正方向，粒子恰好不会回到第二象限。已知，不计粒子重力，忽略电场、磁场突变的影响。求： (1)带电粒子经过P点时速度的大小v0； (2)交变电场的电场强度大小E0； (3)加上磁场后，粒子在时刻所处的位置坐标。 28．（2025·山东济宁·二模）如图所示，绝缘轨道MNPQ位于同一竖直面内，其中MN为长度L=1m的粗糙水平轨道，NP为半径R=0.3m的光滑四分之一圆弧轨道，其圆心为O，PQ为足够长的光滑竖直轨道。竖直线NN'右侧有方向水平向左的匀强电场，电场强度E=40N/C。在正方形ONO'P区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。轨道MN最左端M点处静置一质量为、电荷量为q=0.1C的带负电的物块A。一质量为的物块C，从左侧的光滑水平轨道上以速度撞向物块A，A、C发生弹性碰撞，且A、C恰好不发生第二次碰撞。已知A、C均可视为质点，且与轨道MN的动摩擦因数相同，物块A所带电荷量始终保持不变，取g=10m/s²，，。求： (1)在M点碰撞后瞬间A、C的速度大小v1、v2； (2)A、C与轨道MN之间的动摩擦因数； (3)A运动过程中对轨道NP的最大压力F的大小。 29．（2025·山东滨州·二模）电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域，如约束核聚变和航天领域的离子推进器等方面均有协同应用。如图所示，在、轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为、电荷量为的同种带电粒子以相同的速度平行于轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小为，方向沿轴负方向，边界分别与轴、轴交于坐标的两点，其边界均有粒子射入，且所有粒子都从坐标为（0，-L）的点射出电场，进入第四象限的匀强磁场中，其中速度平行轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到轴的正半轴上。若打到轴上的粒子中只有离坐标原点最近的粒子能够射入第一象限，其它粒子均被吸收，第一象限内有边界平行于轴且宽度均为的若干区域，交替分布着空白区域和方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。 求： (1)第三象限内，粒子射入匀强电场的初速度大小； (2)所有粒子打到轴正半轴上的区域长度； (3)若第一象限的匀强磁场的大小，射入第一象限的粒子离轴的最远距离； (4)若在第一象限内的空白区域存在匀强电场，电场强度的大小也为、方向沿轴正方向。改变第一象限内磁场区域磁感应强度的大小，恰能使射入第一象限的粒子运动到离轴的距离也为第（3）问中的，且此时速度沿轴正方向。求第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小。 30．（2025·山东聊城·二模）华为麒麟芯片（又称海思麒麟芯片），是华为旗下海思半导体公司自主研发的系列芯片之一，是业界领先的智能手机处理器。在芯片制造过程中，离子注入是一道重要工序，如图所示是离子注入部分工作的原理示意图。从离子源M处连续飘出带正电的离子（初速度不计），经匀强电场加速后，从P点以速度沿半径方向射入圆形磁分析器。磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），与长方体离子控制区相切于Q点，其中abcd为该控制区中间竖直平面（与圆形磁分析器处于同一竖直平面），离子从Q点离开磁分析器。由于边缘效应，离子进入控制区的速度方向会有一定波动（速度大小不变），波动范围在以垂直ab方向为轴的角范围内。若控制区无任何电、磁场，离子在水平底面的硅片上的落点会形成一个圆形区域。已知离子质量为m，电荷量为q，加速电场两极板间的距离为d，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，ad边长为L，bQ足够长。不计离子的重力和离子间的相互作用，因角较小，离子不会从控制区的四个侧面射出。 (1)求加速电场的电场强度和圆形磁分析器的半径r； (2)若离子注入硅片时，垂直硅片的速度至少达到才能有效注入。为使所有离子均能有效注入，现在控制区加上沿ad方向的匀强磁场和同样方向的匀强电场（强场大小可调），则匀强电场的场强大小应满足什么条件？离子有效注入硅片上的面积最大可达多少？ (3)若在控制区撤去和加上垂直于纸面向里磁场，其磁感应强度大小沿ad方向按的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且。要使在平面abcd内运动的离子都打不到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度至少为多少？ 31．（2025·山东日照·二模）如图所示，在0≤x≤6m、0≤y≤6m的ODMN区域内存在电场强度大小、方向沿y轴正方向的匀强电场；ODMN区域外存在磁感应强度大小B=0.1T、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一个比荷的带正电粒子从电场区域中的A点（3m，a）由静止释放，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若a=3m，粒子在该区域做周期性运功，运动的周期为 B．若a=3m，粒子在该区域做周期性运功，运动的周期为 C．若a=0，粒子可从MD边再次进入电场 D．若，粒子可垂直边界MD进入电场 32.（2025·山东青岛平度·二模）如图，在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，在虚线下方区域有垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为的粒子从距虚线高度为h的a点向右水平发射，当粒子进入磁场时其速度方向与水平虚线的夹角为。不计重力。 (1)求粒子进入磁场时的速度大小； (2)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子距a点的距离为，求磁场的磁感应强度大小的可能值； (3)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等，求粒子此时距a点的距离。 33．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，空间直角坐标系（轴未画出，正方向向外）中，平面内半径为的圆形区域与轴相切于点，圆心在处，区域内的匀强磁场沿轴正方向，磁感应强度为，区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿轴正方向，电场强度为，磁感应强度为。平面的第三象限内有一平行于轴的线状粒子发射器，中点在处，与的连线平行于轴，粒子发射器可在宽度为的范围内沿轴正方向发射质量为，电荷量为的同种粒子，发射速度大小可调，，。 (1)若从点发出的粒子，飞出磁场时速度偏转了角，求该粒子的速度大小； (2)若粒子的发射速度大小，求在磁场中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到的距离； (3)调整粒子发射速度的大小为某一值时，所有粒子均从点飞出圆形磁场。求从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与轴距离最远点的位置坐标。 34．（2025·山东济南·山师附中二模）某型号离子实验装置的工作原理可简化为图甲所示。M为竖直放置的屏，以垂直于屏为x轴、平行于屏为y轴建立直角坐标系，y轴到屏的距离为d，屏的左侧存在平行于y轴向下的匀强电场和平行于x轴向右的匀强磁场，电场和磁场的大小和分布范围可调节。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以初速度v0进入xOy平面第一象限，初速度v0与x轴正方向的夹角为53°。若空间只存在匀强电场，粒子打到屏上P点（未画出）。已知，不计粒子重力，忽略电磁场的边界效应。 (1)求P点的y坐标； (2)若空间只存在磁场，粒子打到屏上Q点，求PQ的距离L； (3)如图乙所示，分界面N把区域分为左右两部分：N的左侧充满电场E，N的右侧充满平行于x轴向右的匀强磁场B2，若使粒子仍然打到屏上P点，求分界面N到y轴的距离x及B2的大小。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 电场与磁场 电场力和电场能的性质 1．（2025·山东名校·联考）为除去陶瓷工业所用粘土中的氧化铁，把粘土和水一起搅拌成悬浮液，将涂有绝缘层的金属圆盘吸附在盆底，金属棒插入悬浮液中，接入电源，形成如图所示电场，其中虚线为等势面。某粒子仅在电场力的作用下从点到点的轨迹如图所示，已知粘土粒子带负电荷，氧化铁粒子带正电荷，下列说法正确的是（　　） A．端为电源正极 B．该粒子可能为粘土粒子 C．该粒子在点受到的电场力大于在点受到的电场力 D．该粒子在点的动能小于在点的动能 【答案】BD 【详解】A．由沿电场线的方向电势越来越低，可判断金属棒接电源的负极，故端为电源负极，A错误； B．根据曲线运动的特点，粒子所受合力指向轨迹凹的一侧；则由轨迹弯曲的方向可知粒子受力沿电场线的反方向，故粒子带负电，即该粒子为粘土粒子，B正确； C．由电场线的疏密表示电场的强弱，故Q点的电场强度大，故电荷在Q点受到的电场力大于P点受到的电场力，C错误； D．由图中的等势面可得，则 所以该粒子从P运动到Q的过程中电场力做的功 即电场力做正功，粒子动能增加，故P点动能小于Q点动能，D正确。 故选BD。 2．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，带电量分别为+4Q和-Q的两个点电荷固定在x轴上，其中正电荷的坐标x1=-d，负电荷的坐标x2=0。选无穷远处电势为零，将一电子从处由静止释放，此时其电势能为Ep1、加速度大小为a1；当电子运动到x4=d处时电势能为Ep2、加速度大小为a2，则下列判断正确的是（　　） A．Ep1<Ep2，a1<a2 B．Ep1<Ep2，a1>a2 C．Ep1>Ep2，a1>a2 D．Ep1>Ep2，a1<a2 【答案】C 【详解】两点电荷在x3处产生的电场强度大小分别为， 所以x3处电场强度方向沿x轴负方向，电子受到沿x轴正方向的电场力，电子的加速度大小为 两点电荷在x4处产生的电场强度大小分别为， 所以x4处电场强度为零，电子所受电场力为零，加速度 由于电场力做正功，所以电势能减小，则 故选C。 3．（2025·山东滨州·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为的带电小球在点的初速度大小为，方向水平向左，小球经过下方点时速度的大小仍为，且方向与水平方向夹角，指向右下方。两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。则（    ） A．若电场力水平向右，电场力最小 B．间电势差 C．小球速度竖直向下时，速度的大小为 D．若电场力的大小为，则电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方 【答案】D 【详解】A．小球经过AB两点时速度大小相等，有对称性可知在AB两点时速度方向与AB连线的夹角大小相等，设为α，由几何关系可知α=60°，小球所受的合力方向沿AB的垂直平分线方向斜向下，方向与水平线夹角为30°，由平行四边形定则可知，若场强方向沿BA向上时电场力最小，场强最小，选项A错误； B．从A到B根据动能定理可知选项B错误； C．小球速度竖直向下时，此时速度方向与AB夹角为30°，小球沿AB方向的速度为 不变，则小球速度竖直向下时速度的大小为选项C错误； D．由图可知，若电场力的大小为，合力大小也为mg，此时电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方，选项D正确。 故选D。 4．（2025·山东青岛平度·二模）如图所示为某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系（图像），x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，下列说法正确的是（　　） A．点电荷由a运动到d的过程中加速度先减小后增大 B．点电荷从b运动到a电场力做的功小于从c运动到b电场力做的功 C．点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大再减小 D．b和d两点处电势相等 【答案】B 【详解】A．由可知、点间的电场强度先增大后减小，所以点电荷的加速度也先增大后减小，A错误； B．电场强度随的变化关系图像与坐标轴所围成的面积与电荷量的乘积等于电场力做功，、两点间的面积小于、两点间的面积，所以点电荷从运动到电场力做的功小于从运动到电场力做的功，B正确； C．、点间的电场强度方向为负方向，一个带正电的点电荷所受电场力的方向也为负方向，点电荷的位移方向为正方向，所以电场力做负功，电势能增大，C错误； D．从到电场线沿负方向，沿电场线方向电势降低，所以点电势小于点，D错误。 故选B。 5．（24-25·山东菏泽单县二中·二模）在金属球壳的球心有一个负点电荷，球壳内外的电场线分布如图所示，下列说法正确的是（    ） A．K点的电场强度比L点的大 B．球壳内表面带负电，外表面带正电 C．试探电荷在M点的电势能比在N点的小 D．试探电荷沿电场线从M点运动到N点，电场力做负功 【答案】CD 【详解】A．处于静电平衡状态的导体内部电场强度处处为0，所以金属球壳内部K点电场强度为0，而L点电场强度不为0，因此L点的电场强度比K点的大，故A错误； B．因为金属球壳的球心有一个负点电荷，根据静电感应原理，球壳内表面会感应出正电荷，外表面会感应出负电荷，故B错误； C．沿着电场线方向电势逐渐降低，从图中电场线分布可知，N点的电势比M点的电势高。对于试探电荷，正电荷在电势越高的地方电势能越大，所以试探电荷+q在M点的电势能比在N点的小，故C正确； D．试探电荷+q所受静电力方向与电场强度方向相同，从M点运动到N点是逆着电场线方向运动，电场力做负功，故D正确。 故选CD。 6．（2025·山东名校联盟·二模）三维坐标系yOz平面内有一圆心在坐标原点、半径为d的均匀带电细圆环，y轴上y=位置有一带电量为＋q的点电荷，x轴上的P点到圆心O的距离也为。若P点场强沿y轴负方向，则关于带电圆环说法正确的是（　　） A．带正电，电量为 B．带负电，电量为 C．带正电，电量为 D．带负电，电量为 【答案】B 【详解】+q在P点的场强为方向与x轴夹角为45°斜向右下，圆环在P点的场强沿水平方向，因P点场强沿y轴负方向，可知圆环在P点的场强与点电荷+q在P点在x方向的场强的分量等大反向，可知圆环在P点的场强方向沿x轴负向，可知圆环带负电；圆环在P点的场强解得 故选B。 7．（2025·山东名校·联考）如图所示，在坐标系中，在、两点分别放置两个点电荷、，且。已知无穷远处电势为0，点电荷自身产生电场中电势公式为，其中是场源点电荷的电荷量，是场源点电荷到其产生电场中某点的距离，是静电力常量。则（　　） A．点与点电场强度相同 B．轴上最大电场强度为 C．沿如图所示虚线，由过程，电势先增大后减小 D．在平面内只有点与点电势相同 【答案】B 【详解】A．电场强度是矢量，由对称性知b 点和 b′ 点的电场强度方向相反，所以点与点电场强度不同，故A错误； B．在 y 轴上取一点，设其到 O 点距离为 y，每个电荷到该点距离为 每个电荷在该点场强在 y 轴方向分量为 总场强为 令 求导并令，得 代入计算得，故B正确； C．电势是标量，点到的距离均为，电势均为 沿虚线过程，电势先增大后减小；沿虚线过程，电势也先增大后减小 所以沿着虚线过程，电势先增大后减小再增大再减小，故C错误； D．点到的距离均为，电势均为，所以并非只有点与点电势相同，故D错误。 故选B。 8．（2025·山东菏泽·二模）均匀带电半球壳在球心O处的电场强度大小为，现截去左边一小部分，截取面与底面的夹角为，剩余部分在球心O处的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据对称性，表面积较小的这部分球面上的电荷产生的电场在O处的电场强度E一定沿着角的角平分线向右下方，同理，表面积较大的部分球面上的电荷产生的电场在O处的电场强度一定沿着角的角平分线向左下方，两部分球面产生的电场在O点处的电场强度一定相互垂直，而均匀带电的半球壳的场强大小为，同理可以分析其场强方向，画出矢量图，如图所示 则剩余部分的电场强度大小为 故选B。 9．（2025·山东聊城·二模）如图所示，A、B两点分别固定电荷量为−3Q、+Q的两个点电荷，以B为圆心的圆交A、B中垂线于C、D两点，交AB延长线于P点，下列说法正确的是（　　） A．C、D两点电势不同 B．C、D两点电场强度相同 C．将一正电荷从C点沿上方圆弧移至P点，电势能减小 D．将一正电荷从P点沿下方圆弧移至D点，电场力做正功 【答案】D 【详解】A．由于B点为虚线圆的圆心，故B点的+Q在虚线上产生的电势相同，由电势叠加原理可知，决定虚线圆上电势高低的是A点的点电荷−3Q，因为C、D与A距离相同，故C、D电势相同，故A错误； B．由点电荷场强公式及电场叠加原理可知，C、D两点电场强度大小相等，方向不同，故B错误； C．由于P点远离A点负电荷，故P点电势高于C点电势，根据可知正电荷在P点电势能高于在C点的电势能，即将一正电荷从C点沿上方圆弧移至P点，电势能升高，故C错误； D．同理可知，将一正电荷从P点沿下方圆弧移至D点，正电荷电势能降低，由功能关系可知，该过程电场力做正功，故D正确。 故选D。 10.（2025·山东济宁·二模）如图所示，在O点放置一正点电荷，a、b两点位于以O点为圆心的同一圆周上，O、b、c三点位于同一直线上。下列说法正确的是（　　） A．a、b两点的电场强度相同 B．b点的电势低于c点的电势 C．一负点电荷从b点沿直线向O点运动过程中电势能逐渐减小 D．一负点电荷仅在电场力作用下从b点向O点运动过程中加速度逐渐减小 【答案】BC 【详解】A．根据可知，a点的电场强度大小等于b点的电场大小，但方向不同，故A错误； B．根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知b点的电势低于c点的电势，故B正确； C．从b点沿直线向O点电势逐渐升高，所以一负点电荷从b点沿直线向O点运动过程中电势能逐渐减小，故C正确； D．根据可知一负点电荷仅在电场力作用下从b点向O点运动过程中库仑力逐渐增大，加速度逐渐增大，故D错误。 故选BC。 11．（2025·山东济南省实验中学·二模）如图所示，平面内圆周上的P、Q、R、S四点处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，O为圆心。K为弦PR的中点，L为弦QS的中点。电荷量为+q的粒子从P点沿圆弧移动到Q点电势能减少；若该粒子从R点沿圆弧移动到S点，电势能减少。P、R和Q、S间的电势差分别为、。下列说法正确的是（　　） A．P点电势高于Q点电势 B．若粒子从K点移动到L点，电场力做功为 C．若，则 D．若R、S的距离为d，则电场强度最小值为 【答案】ABD 【详解】A．电荷量为+q的粒子从P点沿圆弧移动到Q点电势能减少，由可知P点电势高于Q点电势，故A正确； B．电荷量为+q的粒子从P点沿圆弧移动到Q点电势能减少，则 该粒子从R点沿圆弧移动到S点，电势能减少，则 匀强电场中电势随距离均匀变化，所以， 若粒子从K点移动到L点，电场力做功为 故B正确； C．，则 解得 即 故C错误； D．若R、S的距离为d，则电场强度为RS与电场方向的夹角，当时，即电场方向由R指向S时电场强度最小，电场强度最小值为 故D正确。 故选ABD。 12.（2025·山东济南·山师附中二模）直角三角形ABC中，∠C=30°，D为AC边的中点，在A、D两点分别放置电荷量为-q和+q的点电荷，下列说法正确的是（　　） A．B点场强大于C点场强 B．B点场强等于C点场强 C．B点电势高于C点电势 D．B点电势等于C点电势 【答案】A 【详解】AB．设AB=L，则由几何关系B点到AD两点距离相等，均为L，则两电荷在B点的场强均为 夹角为120°，可知B点场强为 C点场强 可知B点场强大于C点场强，选项A正确，B错误； CD．因B点在两电荷连线的垂直平分线上，可知B点电势为零；C点距离正电荷较近，可知电势大于零，可知B点电势低于C点电势，选项CD错误。 故选A。 13.（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图所示，两个可看做点电荷的带电绝缘小球紧靠着塑料圆盘，小球A固定不动（图中未画出）。小球B绕圆盘边缘在平面内从沿逆时针缓慢移动，测量圆盘中心O处的电场强度，获得沿x方向的电场强度随变化的图像（如图乙）和沿y方向的电场强度随变化的图像（如图丙）。下列说法正确的是（　　） A．小球A带负电荷，小球B带正电荷 B．小球A、B所带电荷量之比为 C．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度先增大后减小 D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，盘中心O处的电场强度最小值为 【答案】BD 【详解】A．由乙、丙两图可知，当时，小球B在O点正上方，此时，，则说明小球A一定在y轴上固定；当时，，小球B在O点正右侧，而水平方向场强方向为x轴负向，则说明小球B为正电荷，此时，竖直方向的场强方向为y轴负向，若小球A在O点正上方固定，则小球A带正电荷，若小球A在O点正下方固定，则小球A带负电荷，所以小球A的带电性质不能确定，故A错误； B．由于两小球都紧靠在塑料圆盘的边缘，所以到O点的距离r相同，当时，，，由可得 故B正确； C．盘中心O处的电场强度为小球A和小球B在O点产生的场强的矢量和，随着小球B从转到2π的过程中，和大小都不变，和的夹角在增大的过程中，当时，O处的合场强最大；当时，O处的合场强最小；所以小球B从转到2π的过程中，中心O处的合场强先增大后减小再增大，故C错误； D．小球B绕圆盘旋转一周过程中，当时，O处的合场强最小，其值大小为 故D正确。 故选BD。 带电粒子在电场中的运动场强 14．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 【答案】BD 【详解】A．粒子从A点运动至B点的过程中，电场力对粒子一直做正功，粒子的电势能一直减小，故A错误； BC．粒子在竖直方向做匀速直线运动，则有 解得粒子在B点的速度大小为 粒子从A点运动至B点的过程中，根据动能定理可得 解得A、B两点间的电势差为 故B正确，C错误； D．粒子在B点的动能与粒子在A点的动能之比为 故D正确。 故选BD。 15．（2025·山东济南·二模）如图所示为带等量异种电荷的两正对平行金属板和，板带负电，板接地，板长为，两板间距离为。大量电子从两平行板间上半区域的左侧以平行于金属板的相同速度进入板间，靠近板左侧边缘进入的电子恰好能打在板右侧边缘，电子进入板间在上半区域均匀分布，忽略电子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电子击中板区域的长度为 B．电子击中板区域的长度为 C．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，打在板上的电子数占进入平行板电子总数的 D．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，靠近板左侧边缘进入的电子出电场时的电势能为进电场时电势能的 【答案】BCD 【详解】AB．设粒子初速度为v，竖直方向加速度为a，题意知靠近板左侧边缘进入的电子恰好能打在板右侧边缘，根据类平抛规律，竖直方向有 则极板中间虚线处射入的粒子，则有 联立解得 则电子击中板区域的长度为 故A错误，B正确； C．设电容器带电量为，根据 整理得 可知保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，极板间电场强度不变，故粒子在电场中加速度不变，设从距离下极板处射入的粒子，恰好打在板右侧边缘，则有 联立解得 可知射入点距离上极板距离 恰好为上半区域的一半，故，打在板上的电子数占进入平行板电子总数的，故C正确； D．靠近板左侧边缘进入的电子，根据类平抛规律，竖直方向位移 联立解得 设极板间电场强度为E，由于Q接地，Q板电势为0，则有 则同理可知，出电场时有 故 则有 故靠近板左侧边缘进入的电子出电场时的电势能为进电场时电势能的，故D正确。 故选BCD。 16．（2025·山东青岛城阳二中·二模）在空中两个相距为的水平固定天花板之间存在竖直向上的匀强电场，电场强度为，外壳绝缘带正电的小球A和B，质量分别为m和3m，带电量分别为q和3q。现让同一竖直线上的小球A和B，从下面天花板处和上面天花板下方h的地方同时由静止释放，所有碰撞都是弹性碰撞，A、B球之间的库仑力忽略不计，重力加速度为g，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。 （1）求球B第一次碰撞天花板时球A的速度大小； （2）若球B在第一次下降过程中与球A相碰，求p应满足的条件； （3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到达比其释放点更低的位置（即穿过图中小球A下面天花板的小孔），求p应满足的条件； （4）若B球n次与上天花板碰撞且B与A碰撞发生在B上升阶段，求p应满足的条件。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）对A球 对B球. 解得 设B球第一-次到达天花板时速度为时间为，则有，解得， （2）设球A运动时间t后与球B碰撞，有 解得 若满足球B在第一次下降过程中与球A相碰，有解得 （3）设球A运动时间为后与B球相碰，B球从天花板运动到A、B相碰时间为，选向下为正，碰前速度 ，对A、B有，解得，要使球A从小孔穿出，满足 即解得同时球A和球B运动时间满足又解得 （4）B球碰撞了n次后返回出发点，继续向上天花板运动时，A球追上发生碰撞，A球运动时间为，有 解得 由于A、B碰撞发生在B第n次碰撞天花板后返回出发点后到第n+1次碰撞天花板前，所以 解得 带电粒子在磁场中的运动 17．（2025·山东济南·二模）如图所示的坐标平面内，的区域内存在着垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，的区域内存在着垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。质量为、电荷量为的两个带正电粒子和，均以相同大小的速率从点分别沿轴正向和轴负向同时开始运动，运动过程中两粒子的碰撞为弹性碰撞，碰撞时间忽略不计。设整个磁场区域都处于真空中，不考虑粒子的重力及两粒子之间除碰撞外的相互作用，求 (1)粒子分别在和的区域内运动时的半径之比和周期之比； (2)两粒子运动轨迹交点的坐标； (3)以两粒子在点开始运动时为时刻，求两粒子在运动过程中某时刻平行轴方向上相距最远时的距离及对应的时刻。 【答案】(1)， (2)交点在x轴上，（，0）；交点不在x轴上，[,] 【详解】（1）由于粒子在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，在区域内运动时，则有 解得 同理可得，在区域内运动时的半径 粒子分别在和的区域内运动时的半径之比 根据周期可知，粒子在和的区域内运动时的周期分别为， 解得 （2）根据上述分析可知， 当时，两个粒子发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 根据能量守恒可得 解得 两粒子运动的部分轨迹如图所示 ①交点在x轴上 坐标为（，0） ②交点不在x轴上，根据对称性可得 故交点坐标为[,] （3）在内，设， 结合上述结论可知， 两粒子在运动过程中沿y方向的距离为 对y求导可得 令 ，则有 解得，，y最大； 同样在内，时，y最大；故当或时，其最大值 18．（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ（），将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。 (1)若使Ⅱ区磁感应强度为0，求P到达x轴的位置； (2)若使P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度应满足的条件； (3)将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 【答案】(1) (2)若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，，若Ⅱ区磁场垂直纸面向里， (3)，（，） 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动 【详解】（1）如图所示 粒子在磁场中，有 根据几何关系有 可得 （2）若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，则 当粒子恰到达x轴，如图所示 根据几何关系可得 解得 所以 若Ⅱ区磁场垂直纸面向里，则 当粒子恰到达x轴，轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 所以 综合以上分析可知，若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，则，若Ⅱ区磁场垂直纸面向里，则； （3）设某时刻粒子沿两轴的速度分量分别为vx和vy，如图所示 由牛顿第二定律，， 取极短时间∆t，则， 可得， 第一次x方向速度为零时位于（x0，y0），则 又 所以 最后停于（x1，y1），则， 又 可得， 所以粒子最终停止的位置坐标为（，）。 带电粒子在复合场中的运动 19．（2025·山东济南省实验中学·二模）回旋加速器的工作原理如图甲所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间距很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计｡磁感应强度为的匀强磁场与盒面垂直｡圆心O处粒子源产生的粒子，质量为m､电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压u随时间的变化关系如图乙所示，其中。加速过程中不考虑相对论效应和变化电场对磁场分布的影响｡ （1）粒子从静止开始被加速，估算该离子离开加速器时获得的动能； （2）若时粒子从静止开始被加速，求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t； （3）实际上，带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心并不是金属盒的圆心O，而且在不断的变动。设粒子从静止开始被加速，第一次加速后在磁场中做圆周运动的圆心到O的距离为（r已知），第二次加速后做圆周运动的圆心到O的距离为，求n次加速后做圆周运动的圆心到O的距离； （4）实际使用中，磁感应强度B会出现波动，若在时产生的粒子第一次被加速，要实现连续n次加速，求B可波动的最大范围｡ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4） 【详解】（1）由 得 得 所以 （2）设加速n次，则 因为 所以得 （3）由 得 可知 所以第一次加速后 第二次加速后 第三次加速后 可以看出，若加速次数为奇数，则 若加速次数为偶数，则 （4）设磁感应强度偏小时为，圆周运动的周期为 得 又因为 所以 设磁感应强度偏大时为，圆周运动的周期为 解得 解得所以 20．（24-25·山东菏泽单县二中·二模）如图所示，A、B两平行板间存在相互垂直的电场和磁场，方向如图所示，电场强度和磁感应强度分别为和。在A、B板右边存在以和为边界，宽度为d，方向竖着向下，大小也为的匀强电场，电场右边空间存在无限大的匀强磁场，磁感应强度为，方向如图。现有两个不同的带电粒子a和b，其比荷分别为k和，先后从A、B板的左侧沿中线垂直电场方向射入，两粒子都沿A、B中线运动后进入偏转电场，最后从进入磁场。（不计粒子的重力）则： （1）求粒子进入偏转电场的速度大小； （2）a粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，求与之比； （3）若两粒子从边界上同一点射出磁场，求磁感应强度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）带电粒子在A、B板间能沿直线运动，则有 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射出电场时速度方向与水平方向的夹角为，则粒子进入磁场时的速度为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为 由于带电粒子a和b，其比荷分别为k和，所以有 （3）在电场中做类平抛运动，有 解得所以带电粒子a和b在电场中的偏转距离分别为 两粒子能从边界上同一点射出磁场，根据几何关系可判断出两粒子带异种电荷，且如图 解得 21．（2025·山东名校联盟·二模）如图所示的平面直角坐标系，在轴上范围内有一线状粒子源，可向第一象限发射速度为、与轴正方向成角的质量为，电量为的带正电的粒子。在第一象限的范围内，存在沿轴负方向的匀强电场，粒子通过电场后，速度方向恰好沿着轴正方向。以点为圆心，半径为的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小。轴的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小；不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求第一象限匀强电场的场强； (2)求粒子在圆形磁场中运动的最长时间； (3)求粒子穿过轴以后，再次回到轴上的坐标范围； (4)若其他条件不变，在轴下方再叠加一沿着轴负方向的电场，求：从点射出的粒子在轴下方运动时，到轴的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) (4)3d 【详解】（1）带电粒子在电场中做类斜抛运动，可得 联立可得 （2）粒子竖直方向通过的距离设为y ，则 联立解得 粒子以水平速度进入圆形磁场区域，有 解得 粒子做圆周运动的半径等于圆形磁场的半径，故粒子从圆与x轴的切点M进入下方磁场区域，分析可知从最上端发出的粒子在圆形磁场中运动的时间最长，可得 解得 （3）粒子进入x轴下方以后，方向范围在与x轴正半轴成到范围之内，可得 联立解得 当速度与x轴正半轴成到范围时，粒子打到x轴的同一位置， 距M点的最近距离为 当速度与x轴成进入下方磁场时，粒子打到x轴上距M最远 故x的坐标范围为 （4）(4)0点射出的粒子在M点射出时与x轴正方向的夹角为，将粒子速度v分解出一个沿着x轴正方向的速度，使得 可得 则另一分速度与x轴负方向的夹角为，大小为，可得 以此速度做圆周运动的半径离x轴的距离的表达式 22．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图甲所示，两平行金属板A、B水平放置，两板间距为d，紧靠两板右端宽度为d的两虚线间为电磁场区域，紧靠B板右端有一长度为且与竖直方向的夹角为的倾斜挡板C，挡板C的中心有一小孔D，挡板C将电磁场区域分成上下两部分，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。区域Ⅰ中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ中有垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度为。A、B板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。粒子源位于O点，可持续不断地沿板间中线以速度发射带负电粒子，粒子质量为m，带电量为q。已知时刻进入两板间的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出交变电场，打在挡板C上的粒子均被挡板吸收，只有穿过小孔D的粒子才能进入区域Ⅱ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，计算结果只能选用m、q、d、T表示。求 (1)A、B板之间的电压； (2)能够穿过小孔D的粒子进入两板间的时刻t； (3)粒子在区域Ⅱ的出射点与小孔D的竖直距离y。 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由t=0时刻进人两板间的带电粒子在t=T时刻网好沿A板右边缘射出交变电场，竖直方向先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，则 且 联立解得 （2）不同时刻进人两板间的粒子，在两板间电场力的冲量一定为零，故粒子一定以水 平向右离开交变电场，能通过小孔的粒子在区域I中，其轨迹圆心角设为，由几何关系得 且 联立解得 在0-T时段内进人交变电场能够通过小孔的粒子，其进人的时刻设为，竖直位移满足或 解得或 考虑到周期性 可得或 （3）粒子从小孔射出的速度方向与水平方向的夹角为，该速度沿水平和竖直方向 的分速度大小为 分析数据发现 则粒子从小孔射出后的运动可分解为沿竖直方向的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知 解得 粒子做匀速圆周运动，从小孔至出射转过的圆心角设为，由外何关系知 联立解得 从小孔至出射所用时间设为 做匀速圆周运动产生的竖直位移为 做匀速直线运动产生的竖直位移为 粒子在区域I的出射点与小孔D的竖直距离 联立解得 23．（2025·山东名校·联考）电磁场在现代科学技术中有着广泛的应用。通过电、磁场可以实现对带电粒子的控制。如图所示，在平面直角坐标系中存在着多处电场、磁场，第一象限存在区域足够大的匀强磁场（未画出）；第二象限存在沿轴正向的匀强电场；第四象限存在交替出现的边界与轴平行的匀强电场与匀强磁场，电场与磁场宽度都是，电场强度大小，磁感应强度大小。现一质量为、电量为的带正电粒子从点沿轴正向以初速度垂直射入第二象限匀强电场，后又经过点进入第一象限，最后经过点，沿轴负向射入第四象限。已知点坐标为，点处粒子速度方向与轴正向夹角，虚线边界有电场，忽略磁场边界效应和粒子重力。求： (1)第二象限中电场强度大小； (2)第一象限中磁感应强度大小； (3)整个运动过程中，粒子距轴的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对带电粒子在第二象限中运动分析可知，在水平方向 根据速度的合成与分解可知水平方向的速度为 联立解得 （2）带电粒子进入第一象限时速度大小为 根据几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 （3）法一：设粒子在第四象限运动过程中，从上向下在第层磁场中运动速度为，轨道半径为，则有 根据洛伦兹力提供向心力，有 速度为 半径关系为 粒子进入第层电场时，速度方向与轴方向的夹角为，从第层电场下边界穿出时速度方向与轴方向的夹角为，粒子在电场中运动时，垂直电场线方向的速度分量不变，有， 解得 可知、、、⋯⋯是一组等差数列，公差为，可得 将代入，可得 由于，则 由于，且为整数，故的最大值为4，此时 半径为 即粒子在第5层磁场中达到轨迹最下端，此时速度沿轴正向，由几何关系得轨迹最下端距离第5层磁场上边界距离为 综上，轨迹最下端离轴的竖直距离为 法二：还可以采用以下方法分析。 设在第个磁场中最远，根据洛伦兹力提供向心力，有 则有 根据动能定理，有 在磁场中运动的位移 则有 即 则，此时粒子距轴的最远。 24．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，在真空建立坐标系O-xyz，z轴正方向垂直于纸面向外（未画出），xOy平面的第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着沿y轴负方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场；区域存在方向均沿着x轴正方向的匀强磁场和匀强电场（未画出），磁感应强度大小，电场强度大小，k为常数。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好从坐标原点O进入区域，过O点时速度大小为、方向与y轴负方向的夹角。不计粒子重力，求：    (1)在平面坐标系xOy的第二象限中电场强度大小； (2)在区域内，粒子偏离xOy平面的最大距离； (3)在区域内，粒子偏离xOy平面距离最大时的x坐标； (4)在平面坐标系xOy的第二象限中磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）粒子从P到Q，电场力做正功，洛仑兹力不做功，由动能定理得 解得 （2）将O点的速度分解，水平方向的速度为 竖直方向的速度为 根据洛伦兹力充当向心力，有 解得 偏离平面xOy的最大距离 （3）粒子运动周期为 可得 沿x轴正方向，根据牛顿第二定律 解得 根据运动学规律，得 解得 （4）根据题意粒子速度与y轴负方向的夹角 粒子在经过磁场时的水平方向上， 由牛顿第二定律，有 由动量定理，有 即 解得 25．（2025·山东菏泽·二模）半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内，其右端是坐标原点，内壁光滑。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为、与水平方向成的速度斜向下进入匀强电场，恰好无碰撞进入细管的左端A，已知细管的内径略大于小球的直径，重力加速度。 (1)求小球到达A点的速度大小及时间； (2)小球到达细管中Q点（图中未标出）时速度达到最大，求小球从P点到Q点的过程中合外力的冲量大小； (3)若已知小球到达细管右端的速度大小为v，小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的面积。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球从P到A，水平方向： 竖直方向： 解得， （2）小球在第二、三象限运动过程中，所受合的大小为 方向与水平方向的夹角为53° 当小球运动到合力与速度方向垂直时速度达到最大，从A到Q，根据动能定理有 解得 从P到Q，利用动量定理 解得 （3）小球在第一象限运动时，，故小球只受洛伦慈力，小球运动至x轴最远位置时y方向上的分速度为零，竖直方向利用动量定理 其中，左边微元累积 即 而 解得 26．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 【答案】C 【详解】A．由几何关系可得粒子从a到b的位移为 故A错误； B．设粒子在磁场中速率为v，半径为R 由动能定理可得 由洛伦兹力充当向心力可得 由题意结合几何关系可得 联立解得 故B错误； CD．把粒子从c到d的过程中的平均速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，设两个平均分速度分别为、，把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解 根据左手定则，两个洛伦兹力的分力分别为， 设粒子在最低点d的速度为v水平方向由动量定理可得由动能定理可得 结合， 联立解得，故C正确，D错误； 故选C。 27．（2025·山东济宁·二模）如图甲所示，在xOy平面内，虚线与x轴垂直并相交于P（−L，0）点，在虚线左侧有一加速电场，电压为U0。一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），当粒子运动到P点时，在虚线与y轴之间的区域加上如图乙所示的与y轴平行的交变电场（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经时间T从y轴上的Q点（0，L）进入第一象限。某一时刻在第一象限加上如图丙所示的变化磁场，磁场变化周期为T0，垂直xOy平面向里为磁场的正方向，粒子恰好不会回到第二象限。已知，不计粒子重力，忽略电场、磁场突变的影响。求： (1)带电粒子经过P点时速度的大小v0； (2)交变电场的电场强度大小E0； (3)加上磁场后，粒子在时刻所处的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)（，） 【详解】（1）根据题意，由动能定理有 解得 （2）在偏转电场中，x方向有 y方向有， 解得 （3）粒子从Q点射出时速度方向沿x轴正方向，速度大小为v0，粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r，则 解得 经分析可知，粒子恰好运动至如图所示的M点位置，， 解得， 即粒子所处的位置坐标为（，）。 28．（2025·山东济宁·二模）如图所示，绝缘轨道MNPQ位于同一竖直面内，其中MN为长度L=1m的粗糙水平轨道，NP为半径R=0.3m的光滑四分之一圆弧轨道，其圆心为O，PQ为足够长的光滑竖直轨道。竖直线NN'右侧有方向水平向左的匀强电场，电场强度E=40N/C。在正方形ONO'P区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。轨道MN最左端M点处静置一质量为、电荷量为q=0.1C的带负电的物块A。一质量为的物块C，从左侧的光滑水平轨道上以速度撞向物块A，A、C发生弹性碰撞，且A、C恰好不发生第二次碰撞。已知A、C均可视为质点，且与轨道MN的动摩擦因数相同，物块A所带电荷量始终保持不变，取g=10m/s²，，。求： (1)在M点碰撞后瞬间A、C的速度大小v1、v2； (2)A、C与轨道MN之间的动摩擦因数； (3)A运动过程中对轨道NP的最大压力F的大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）A、C发生弹性碰撞，则由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得解得， （2）A、C恰好不发生第二次碰撞，设C运动的位移为。对C由动能定理得 对A由动能定理得 解得 （3）重力和电场力的合力大小为 设A在轨道NP运动过程中等效最低点K与O点的连线与OP夹角为，则 可得 当A经P点返回N点的过程中到达K点时，达到最大速度，如图所示    此时A对轨道的压力最大，A从M点到K点过程中，由动能定理可得 返回K点时 由上可得由牛顿第三定律知，A对轨道NP的最大压力为 29．（2025·山东滨州·二模）电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域，如约束核聚变和航天领域的离子推进器等方面均有协同应用。如图所示，在、轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为、电荷量为的同种带电粒子以相同的速度平行于轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小为，方向沿轴负方向，边界分别与轴、轴交于坐标的两点，其边界均有粒子射入，且所有粒子都从坐标为（0，-L）的点射出电场，进入第四象限的匀强磁场中，其中速度平行轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到轴的正半轴上。若打到轴上的粒子中只有离坐标原点最近的粒子能够射入第一象限，其它粒子均被吸收，第一象限内有边界平行于轴且宽度均为的若干区域，交替分布着空白区域和方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。 求： (1)第三象限内，粒子射入匀强电场的初速度大小； (2)所有粒子打到轴正半轴上的区域长度； (3)若第一象限的匀强磁场的大小，射入第一象限的粒子离轴的最远距离； (4)若在第一象限内的空白区域存在匀强电场，电场强度的大小也为、方向沿轴正方向。改变第一象限内磁场区域磁感应强度的大小，恰能使射入第一象限的粒子运动到离轴的距离也为第（3）问中的，且此时速度沿轴正方向。求第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）从点射入第一象限的匀强电场的带电粒子在电场中做类平抛运动，则有 解得 （2）类平抛运动的竖直速度 从电场中射出时速度与水平方向的夹角为，则有 得 解得 可知，速度大小为的粒子在磁场中做圆周运动的半径 由几何关系可得圆心在轴上，则有解得 （3）粒子在第一象限的磁场中， 解得 所以粒子在第一象限中经历了2个磁场区域和2个空白区域，则有 （4）若粒子从射入第一象限的电场和磁场的组合场中，运动到离轴距离也为时，速度恰好沿轴正向，由动能定理可知 解得 列水平方向的动量定理可知 解得 30．（2025·山东聊城·二模）华为麒麟芯片（又称海思麒麟芯片），是华为旗下海思半导体公司自主研发的系列芯片之一，是业界领先的智能手机处理器。在芯片制造过程中，离子注入是一道重要工序，如图所示是离子注入部分工作的原理示意图。从离子源M处连续飘出带正电的离子（初速度不计），经匀强电场加速后，从P点以速度沿半径方向射入圆形磁分析器。磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），与长方体离子控制区相切于Q点，其中abcd为该控制区中间竖直平面（与圆形磁分析器处于同一竖直平面），离子从Q点离开磁分析器。由于边缘效应，离子进入控制区的速度方向会有一定波动（速度大小不变），波动范围在以垂直ab方向为轴的角范围内。若控制区无任何电、磁场，离子在水平底面的硅片上的落点会形成一个圆形区域。已知离子质量为m，电荷量为q，加速电场两极板间的距离为d，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，ad边长为L，bQ足够长。不计离子的重力和离子间的相互作用，因角较小，离子不会从控制区的四个侧面射出。 (1)求加速电场的电场强度和圆形磁分析器的半径r； (2)若离子注入硅片时，垂直硅片的速度至少达到才能有效注入。为使所有离子均能有效注入，现在控制区加上沿ad方向的匀强磁场和同样方向的匀强电场（强场大小可调），则匀强电场的场强大小应满足什么条件？离子有效注入硅片上的面积最大可达多少？ (3)若在控制区撤去和加上垂直于纸面向里磁场，其磁感应强度大小沿ad方向按的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且。要使在平面abcd内运动的离子都打不到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度至少为多少？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）在加速电场有 解得 在圆形磁分析器中，离子做圆周运动的圆心为a点，设半径为R，周期为T，如图 则有 且 根据几何关系有 解得 （2）为使所有离子均能有效注入，在ad方向上有 且满足 联立解得 速度波动最大的离子的水平分运动是匀速圆周运动，速度大小为，有 离子有效注入硅片上的面积最大可达 解得 （3）要使离子都打不到硅片上，向左下方波动在θ角的离子运动到cd边时速度应与cd边相切，如图 洛伦兹力不改变速度大小，在平行于ab方向由动量定理有 式中为水平方向速度的变化量，故由题意结合图像 可知 联立解得 31．（2025·山东日照·二模）如图所示，在0≤x≤6m、0≤y≤6m的ODMN区域内存在电场强度大小、方向沿y轴正方向的匀强电场；ODMN区域外存在磁感应强度大小B=0.1T、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一个比荷的带正电粒子从电场区域中的A点（3m，a）由静止释放，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若a=3m，粒子在该区域做周期性运功，运动的周期为 B．若a=3m，粒子在该区域做周期性运功，运动的周期为 C．若a=0，粒子可从MD边再次进入电场 D．若，粒子可垂直边界MD进入电场 【答案】ACD 【详解】AB．若a=3m，粒子在电场中做匀加速运动，根据牛顿第二定律 利用运动学公式 到达MN边界所用时间 粒子离开电场进磁场时速度大小 根据 可知粒子在磁场运动半径 可知粒子恰好以M点为圆心，在磁场中做匀速圆周运动，从MD的中点垂直于MD再次进入电场，在磁场运动的时间 再次进入电场后做类平抛运动，假设从ON边射出，则， 解得 恰好从N点射出，在电场中运动的时间 射出电场时的速度大小 设出射速度方向与y轴正方向间的夹角为，则 可得 在磁场中做匀速圆周运动，利用对称性可知粒子恰好从M点进入电场 在磁场中运动的时间 假设从ON间射出，则 竖直方向 竖直方向的分速度 即恰好垂直ON从ON的中点穿出电场进入磁场，接下来利用对称性，可知运动轨迹如图所示 因此运动周期 A错误，B正确； C．若a=0，粒子在电场中加速运动，根据动能定理 可得 轨道半径 进入电场的位置到M点的距离为d，根据几何关系可知 解得 运动轨迹如图，可以从MD边进入电场，C正确； D．若时，根据动能定理 可知，在电场中加速后进入磁场时的速度 在磁场运动的轨道半径， 即 每次往复运动向右移动，最后以M点为圆心，垂直MD进入电场，D正确。 故选ACD 。 32.（2025·山东青岛平度·二模）如图，在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，在虚线下方区域有垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为的粒子从距虚线高度为h的a点向右水平发射，当粒子进入磁场时其速度方向与水平虚线的夹角为。不计重力。 (1)求粒子进入磁场时的速度大小； (2)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子距a点的距离为，求磁场的磁感应强度大小的可能值； (3)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等，求粒子此时距a点的距离。 【答案】(1) (2)或者 (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向 由牛顿第二定律 粒子进入磁场时的速度大小 解得 （2）粒子从a点抛出到进入磁场时的水平位移 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场时速度方向与x轴正向仍成45°角，到达高h高度时水平位移仍为2h，由题意可知或即 或 根据洛伦兹力提供向心力可得或 （3）若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子在电场中运动的时间 可知粒子在磁场中运动的时间也为 粒子在磁场中做圆周运动，则，则 由洛伦兹力提供向心力 解得 此时粒子距a点的距离 33．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，空间直角坐标系（轴未画出，正方向向外）中，平面内半径为的圆形区域与轴相切于点，圆心在处，区域内的匀强磁场沿轴正方向，磁感应强度为，区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿轴正方向，电场强度为，磁感应强度为。平面的第三象限内有一平行于轴的线状粒子发射器，中点在处，与的连线平行于轴，粒子发射器可在宽度为的范围内沿轴正方向发射质量为，电荷量为的同种粒子，发射速度大小可调，，。 (1)若从点发出的粒子，飞出磁场时速度偏转了角，求该粒子的速度大小； (2)若粒子的发射速度大小，求在磁场中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到的距离； (3)调整粒子发射速度的大小为某一值时，所有粒子均从点飞出圆形磁场。求从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与轴距离最远点的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子运动轨迹如图甲所示，设轨迹半径为 由几何关系得： 洛伦兹力充当向心力： 解得 （2）由 得： 设从点进，点出的粒子在磁场中运动时间最长，则为圆形磁场的直径 粒子运动轨迹如图乙所示，，由几何关系得： 解得： 由几何关系得：该粒子的入射位置到的距离 （3）由题意得：粒子在圆形磁场中的运动半径 由 得： 发射器最左端发射的粒子运动轨迹如图丙所示，设该粒子运动到点时其速度方向与轴正方向夹角为 由几何关系 得 由题意得：该粒子的运动可视为沿轴正方向的匀加速直线运动和垂直于轴平面内的匀速圆周运动的合运动 解得 粒子轨迹上的点与轴的最远距离为则粒子从经过点开始运动到距离轴最远处的时间为由得即粒子运动轨迹上与轴距离最远的位置坐标为 34．（2025·山东济南·山师附中二模）某型号离子实验装置的工作原理可简化为图甲所示。M为竖直放置的屏，以垂直于屏为x轴、平行于屏为y轴建立直角坐标系，y轴到屏的距离为d，屏的左侧存在平行于y轴向下的匀强电场和平行于x轴向右的匀强磁场，电场和磁场的大小和分布范围可调节。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以初速度v0进入xOy平面第一象限，初速度v0与x轴正方向的夹角为53°。若空间只存在匀强电场，粒子打到屏上P点（未画出）。已知，不计粒子重力，忽略电磁场的边界效应。 (1)求P点的y坐标； (2)若空间只存在磁场，粒子打到屏上Q点，求PQ的距离L； (3)如图乙所示，分界面N把区域分为左右两部分：N的左侧充满电场E，N的右侧充满平行于x轴向右的匀强磁场B2，若使粒子仍然打到屏上P点，求分界面N到y轴的距离x及B2的大小。 【答案】(1)； (2)； (3)， 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿x方向 沿y方向 根据牛顿第二定律 联立解得 （2）粒子在磁场中的运动轨迹为等距螺旋线，半径为 解得 周期为 粒子运动的时间 PQ 的距离 解得 （3）设粒子在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2，在电场中运动时，则有 分界面N的x坐标为 解得， 粒子在电场和磁场运动的时间 t2=nT 粒子在磁场运动的周期 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $$