专题02 曲线运动（山东专用）-【好题汇编】2025年高考物理二模试题分类汇编

专题02 曲线运动 平抛运动 1．（2025·山东名校联盟·二模）某运动员在一次滑板训练中的运动简化如图所示。段为助滑道和起跳区，段为倾角为的着陆坡，为停止区。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以6m/s的速度起跳，方向与水平成，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员和滑板的总质量为60kg，重力加速度取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中运行的最小速度为3m/s B．运动员离开着陆坡面的最大距离为 C．运动员落在点前瞬间重力的功率为5400W D．若起跳时速度大小不变，改变起跳方向，当时，运动员到达斜坡上的落点距离点最远 【答案】BC 【详解】A．将运动员在空中做斜抛运动，在最高点时的竖直分速度为0，此时速度最小，则运动员在空中运行的最小速度为 故A错误； B．将运动员在空中的运动分解为沿斜坡和垂直斜坡两个分运动，当垂直斜坡分速度减为0时，运动员离开着陆坡面的距离最大，则有 故B正确； C．运动员从点到点所用时间为 则运动员落在点时的竖直分速度为运动员落在点前瞬间重力的功率为 故C正确； D．设，则垂直斜坡方向有 沿斜坡方向有 整理可得 令 可得 即 则 可知若起跳时速度大小不变，改变起跳方向，当时，运动员到达斜坡上的落点距离点最远，故D错误。 故选BC。 2．（2025·山东九五高中协作体·质监）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整个运动过程的时间 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t1，则有 且 联立解得 设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 联立以上，解得 故选A。 3．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 【答案】BD 【详解】A．粒子从A点运动至B点的过程中，电场力对粒子一直做正功，粒子的电势能一直减小，故A错误； BC．粒子在竖直方向做匀速直线运动，则有 解得粒子在B点的速度大小为 粒子从A点运动至B点的过程中，根据动能定理可得 解得A、B两点间的电势差为 故B正确，C错误； D．粒子在B点的动能与粒子在A点的动能之比为 故D正确。 故选BD。 4．（2025·山东名校·联考）某一儿童游戏设计研发者为开发游戏搭建了如图所示装置。整个装置在竖直平面内，为平直轨道，是半径为的圆弧形轨道，段圆弧对应圆心角，为可视为质点的游戏开关，比D点高，点到点水平距离为，竖直距离为。现从点以某一初速度释放质量为的光滑小球，恰好击中，已知重力加速度为，，则（　　） A．小球初速度大小为 B．小球经过点时对轨道压力大小为 C．小球从点运动到点所需要的时间为 D．小球在点处的速度大小为 【答案】BC 【详解】CD．从D到M过程，水平方向有 竖直方向有 联立解得， 故C正确，D错误； A．从A到D过程，根据动能定理可得 解得小球初速度大小为 故A错误； B．从C到D过程，根据动能定理可得 在C点，根据牛顿第二定律可得 联立解得 根据牛顿第三定律可知，小球经过点时对轨道压力大小为，故B正确。 故选BC。 5．（2025·山东日照·二模）某运动员将铅球斜向上推出后，球的运动过程如图所示，不计空气阻力。下列关于铅球在空中运动过程中的加速度大小a、速度大小v、重力的瞬时功率P和机械能E随运动时间t的变化关系，正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】AD．不计空气阻力，球在空中只受重力，所以加速度始终为g，机械能守恒，所以和图像都是与横轴平行的直线，故AD错误； B．球的速度大小为 可知图像不是直线，故B错误； C．重力的瞬时功率大小为 可知图像先直线减小，后直线增加，故C正确。 故选C。 6．（2025·山东济南·二模）风洞是进行空气动力学研究最有效的工具之一，我国最新的JF22风洞创造了全球最快30马赫风速的奇迹。如图所示，风洞能对进入其中的物体始终施加一个水平恒力。一小球从地面的点以大小为的初速度竖直向上抛出，在点落回地面，小球离开地面的最大高度等于间的距离，则小球在运动过程中的最小速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设小球离开地面到最高点所用时间为，根据对称性可知，小球在空中运动的时间为，则小球离开地面的最大高度为 设小球水平方向的加速度大小为，则间的距离 可得 可知小球受到的水平恒力为 如图所示 水平恒力与重力的合力与竖直方向的夹角满足 将小球的初速度分解为平行方向和垂直方向两个分速度，当平行方向分速度减为0时，小球的速度最小，则小球在运动过程中的最小速度为 故选D。 7．（2025·山东日照·二模）如图甲所示为一小女孩在水泥管内踢球的情境，整个过程可简化为图乙。固定的竖直圆形轨道半径为R，圆心为O，轨道上的C点和圆心O点的连线与水平方向的夹角为37°。某次踢球时，小女孩把球从轨道最低点A水平向左踢出，球在第一次经过C点后恰好能通过最高点B，当球第二次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，接球时书包与直径AB的水平距离为0.2R。已知球从A点刚被踢出时的速度是经过B点时速度的3倍，球的质量为m，球与轨道间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g，球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．球从A到B和从B到A的过程中，摩擦力做功相等 B．球从A到B的过程中，摩擦力做功为2mgR C．球第二次到达C点的速度大小 D．接球时书包离A点的竖直高度为0.8R 【答案】C 【详解】A．球从A到B的过程比从B到A的过程中到达相同高度时速度大，因此A到B的过程球对轨道的压力更大，摩擦力也更大，摩擦力做功更多，A错误； B．由球在第一次经过C点后恰好能通过最高点B，故在B点 得，则 球从A到B的过程运用动能定理有 解得，B错误； C．当球第二次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，则有 解得，C正确； D．离开轨道球做斜抛运动，将分解， ， 水平方向有 竖直方向有 则接球时书包离A点的竖直高度 联立解得，D错误。 故选C。 8．（2025·山东滨州·二模）观察发现青蛙竖直向上起跳，跳起的最大高度为。一长木板静止放置在光滑水平地面上，木板质量为。一质量为的青蛙静止蹲在长木板的左端。青蛙向右上方第一次跳起，恰好落至长木板右端且立刻相对木板静止。青蛙继续向右上方第二次跳起，落到地面。青蛙第三次从地面向右上方起跳并落地。三次向右上方跳跃过程都恰能使青蛙相对地面水平位移最大。木板的厚度不计。已知每次起跳青蛙做功相同，起跳与着陆过程时间极短，青蛙可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度为。求： (1)每次青蛙起跳做的功； (2)青蛙第三次向右上方跳跃的水平距离； (3)若长木板的长度为，青蛙第二次向右上方起跳的水平位移（用木板长度表示）； (4)长木板的长度与的关系。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）对青蛙竖直起跳过程列动能定理 解得每次青蛙起跳做的功 （2）对第三次青蛙起跳过程，设青蛙起跳初速度大小为，方向与水平方向夹角为，运动时间为，则 竖直方向 水平方向 联立解得 则当时， 对青蛙起跳 解得青蛙第三次向右上方跳起的水平距离 （3）青蛙第一、二次向右上方起跳均在木板上，且均相对地面水平位移最大，故两次相对地面位移相同。对青蛙第一次在木板向右上方起跳过程，水平方向动量守恒有 由几何关系 联立解得 （4）对青蛙第一次向右上方起跳，设青蛙起跳的竖直初速度为，水平初速度为，木板后退速度为。则对青蛙，竖直方向 水平方向 对青蛙和木板系统 青蛙相对地面位移 对青蛙第一次起跳 联立得 又由于 可知当时，青蛙跳的最远，则 9．（2025·山东济南·二模）如图所示为带等量异种电荷的两正对平行金属板和，板带负电，板接地，板长为，两板间距离为。大量电子从两平行板间上半区域的左侧以平行于金属板的相同速度进入板间，靠近板左侧边缘进入的电子恰好能打在板右侧边缘，电子进入板间在上半区域均匀分布，忽略电子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电子击中板区域的长度为 B．电子击中板区域的长度为 C．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，打在板上的电子数占进入平行板电子总数的 D．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，靠近板左侧边缘进入的电子出电场时的电势能为进电场时电势能的 【答案】BCD 【详解】AB．设粒子初速度为v，竖直方向加速度为a，题意知靠近板左侧边缘进入的电子恰好能打在板右侧边缘，根据类平抛规律，竖直方向有 则极板中间虚线处射入的粒子，则有 联立解得 则电子击中板区域的长度为 故A错误，B正确； C．设电容器带电量为，根据 整理得 可知保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，极板间电场强度不变，故粒子在电场中加速度不变，设从距离下极板处射入的粒子，恰好打在板右侧边缘，则有 联立解得 可知射入点距离上极板距离 恰好为上半区域的一半，故，打在板上的电子数占进入平行板电子总数的，故C正确； D．靠近板左侧边缘进入的电子，根据类平抛规律，竖直方向位移 联立解得 设极板间电场强度为E，由于Q接地，Q板电势为0，则有 则同理可知，出电场时有 故 则有 故靠近板左侧边缘进入的电子出电场时的电势能为进电场时电势能的，故D正确。 故选BCD。 10．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲 B．甲、乙初速度大小之比为 C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为 D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧 【答案】BD 【详解】A．速度变化量为 两球运动时间相等，所以从抛出到相遇，速度变化量大小相等，故A错误； B．小球甲做平抛运动，则， 小球乙做斜上抛运动，则， 联立可得， 故B正确； C．相遇前瞬间，甲的速度大小为 乙的速度大小为 所以 故C错误； D．对乙球，有， 所以 由此可知，当时，乙球的水平位移最大，所以若改变乙抛出的θ角，其水平位移减小，即其落地时一定位于M点的左侧，故D正确。 故选BD。 11．（2025·山东滨州·二模）电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域，如约束核聚变和航天领域的离子推进器等方面均有协同应用。如图所示，在、轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为、电荷量为的同种带电粒子以相同的速度平行于轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小为，方向沿轴负方向，边界分别与轴、轴交于坐标的两点，其边界均有粒子射入，且所有粒子都从坐标为（0，-L）的点射出电场，进入第四象限的匀强磁场中，其中速度平行轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到轴的正半轴上。若打到轴上的粒子中只有离坐标原点最近的粒子能够射入第一象限，其它粒子均被吸收，第一象限内有边界平行于轴且宽度均为的若干区域，交替分布着空白区域和方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。 求： (1)第三象限内，粒子射入匀强电场的初速度大小； (2)所有粒子打到轴正半轴上的区域长度； (3)若第一象限的匀强磁场的大小，射入第一象限的粒子离轴的最远距离； (4)若在第一象限内的空白区域存在匀强电场，电场强度的大小也为、方向沿轴正方向。改变第一象限内磁场区域磁感应强度的大小，恰能使射入第一象限的粒子运动到离轴的距离也为第（3）问中的，且此时速度沿轴正方向。求第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）从点射入第一象限的匀强电场的带电粒子在电场中做类平抛运动，则有 解得 （2）类平抛运动的竖直速度 从电场中射出时速度与水平方向的夹角为，则有 得 解得 可知，速度大小为的粒子在磁场中做圆周运动的半径 由几何关系可得圆心在轴上，则有解得 （3）粒子在第一象限的磁场中， 解得 所以粒子在第一象限中经历了2个磁场区域和2个空白区域，则有 （4）若粒子从射入第一象限的电场和磁场的组合场中，运动到离轴距离也为时，速度恰好沿轴正向，由动能定理可知 解得 列水平方向的动量定理可知 解得 12．（2025·山东济宁·二模）如图所示，一儿童在房间内向地面上的O点投掷弹力球（可视为质点），弹力球从O点反弹到右侧竖直墙壁上的M点后，又直接反弹到左侧竖直墙壁上的N点。已知两竖直墙壁间的距离L=6m，O点距右侧墙壁d=1.8m，M点与N点等高，弹力球在空中离水平地面的最大高度H=3.2m。弹力球与墙壁碰撞前后瞬间沿墙壁的速度不变，垂直于墙壁的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，忽略弹力球与墙壁的碰撞时间，取g=10m/s²。求： (1)弹力球在O点弹起时的速度大小v₀； (2)弹力球与M点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在竖直方向 竖直方向的速度为 水平方向做匀速直线运动，有. 联立解得弹力球在O点弹起时的速度大小 （2）从O点到M点的过程中，水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向的速度为 在M点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值 解得 13．（2025·山东聊城·二模）开有凹槽的斜面固定在地面上，斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。槽内上端紧挨放置四个半径均为r的相同小球，各球编号如图所示。将四个小球由静止同时释放，小球落地后均静止，不计一切摩擦。各小球在运动过程中，下列说法正确的是（   ） A．球4的机械能守恒 B．球1处在OA段时动量不变 C．四个球最终的落地点各不相同 D．四个小球中球1离开轨道时的速度最小 【答案】B 【详解】A．4个小球都在斜面上运动时，只有重力做功，整个系统的机械能守恒，球4在水平轨道上运动时，斜面上的小球仍在加速，后面的球对球4球做功，球4的机械能不守恒，故A错误； B．球1处在OA段时,做匀速运动，根据p=mv 可知球1动量不变，故B正确； CD．由于2、3、4三个球在水平轨道OA运动时，斜面上的小球与水平轨道OA上小球间会有相互作用，所以2、3、4三个球在水平面均做加速运动，离开A点时，球4的速度最小，水平射程最小；3、2、1三个球一起在水平轨道OA上运动时不再加速，3、2、1离开水平轨道OA的速度相等，水平射程相同，所以4个球的落点球4单落一个点，3、2、1三个球的落点相同，故CD错误。 故选B。 14．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，正方体物块A放在离地高度的粗糙平台上，直径与A棱长相同的小球B静置在与A等高处，与平台右端距离，光滑固定斜面MN与水平方向夹角，N点与水平轨道NP平滑相连，PQ是半径的足够长光滑圆弧，P点是圆弧最低点，圆心未画出。现对A施加水平拉力，使A由静止开始向右运动，后撤去F，A继续滑行后从平台右端水平飞出，A飞离平台的同时B由静止释放，一段时间后A、B发生弹性对心碰撞，碰撞时间极短，分开后A落到地面上，B到达M处时速度恰好沿MN方向滑入斜面，从P点滑上圆弧轨道PQ，减速到0后返回P点。已知，，A与平台间动摩擦因数，g取，A和B的大小可忽略不计。 (1)求A离开平台时的速度； (2)求碰撞过程中， A、B形变量最大时系统的弹性势能； (3)求A与B到达地面的时间差； (4)某同学认为可以利用单摆周期，计算小球B离开P点到返回P点所用时间。你认为是否合理？请通过计算分析说明。 【答案】(1) (2)6J (3) (4)不合理；见解析 【详解】（1）对A由牛顿第二定律有，撤去拉力后由牛顿第二定律有 由运动学知识有A离开平台时的速度 代入数值解之可得A离开平台时的速度 （2）A飞出后做平抛运动，A、B弹性正碰，机械能守恒，水平方向动量守恒，A、B形变量最大时A、B水平方向共速，竖直方向速度均为由水平方向动量守恒有 由机械能守恒有 代入数值解之可得 （3）A、B弹性正碰，机械能守恒，水平方向动量守恒，分离时A、B各自水平速度分别为，竖直方向速度均为 由水平方向动量守恒有由机械能守恒有 代入数值解之可得 B运动到M点前，A、B竖直方向的运动是相同的有 M点到平台的高度差h，由运动学知识有 A此后下落时间，由运动学知识有 B沿斜面下滑时间，由运动学知识有 A与B到达地面的时间差，有 代入数值解之可得 （4）小球滑到P点时速度，由能量守恒有 沿圆弧运动减速到零时高度为，由机械能守恒有 代入数值解之可得 通过几何关系可知小球B在最高点时与圆心连线和竖直方向的夹角为，结合单摆摆角应小于知，小球B的运动不符合单摆运动规律，这个同学的计算方式不合理。 15．（2025·山东菏泽·二模）水平地面上放置一个倾角为的斜面体，斜面体上放置一个由铁架台制作的单摆，斜面体质量为M，铁架台质量为m，摆球质量为。现将摆线拉紧，使摆球从靠近铁架台金属杆位置由静止开始运动（整个过程铁架台和斜面体均保持静止状态）。摆球运动到最低点时（　　） A．地面对斜面体的摩擦力水平向右 B．地面对斜面体的支持力 C．斜面对铁架台的支持力 D．斜面对铁架台的摩擦力 【答案】BCD 【详解】A．摆球运动到最低点时，细线对铁架台的拉力竖直向下，无水平方向的分力作用，根据平衡条件可知，地面对斜面体的摩擦力为零，故A错误； B．设摆线长为，摆球运动到最低点时，根据牛顿第二定律 摆球从开始运动到最低点的过程中，根据机械能守恒 联立解得 整个过程铁架台和斜面体均保持静止状态，对铁架台和斜面体整体，竖直方向处于平衡状态，根据平衡条件可知地面对斜面体的支持力 故 B 正确； CD．对铁架台进行受力分析 根据平衡关系有斜面对铁架台的支持力 斜面对铁架台的摩擦力 故C正确，D正确。 故选BCD。 16．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 【答案】C 【详解】A．由几何关系可得粒子从a到b的位移为 故A错误； B．设粒子在磁场中速率为v，半径为R 由动能定理可得 由洛伦兹力充当向心力可得 由题意结合几何关系可得 联立解得 故B错误； CD．把粒子从c到d的过程中的平均速度分别沿着水平方向和竖直方向分解，设两个平均分速度分别为、，把粒子受到的洛伦兹力分别沿水平方向和竖直方向分解 根据左手定则，两个洛伦兹力的分力分别为， 设粒子在最低点d的速度为v水平方向由动量定理可得由动能定理可得 结合， 联立解得，故C正确，D错误； 故选C。 17．（2025·山东济南省实验中学·二模）跳台滑雪是一项极富有挑战性的运动。运动简化过程如图乙所示，运动员起跳瞬间速度大小v1，方向与水平方向的夹角为α，着陆瞬间速度大小为v2，方向与水平方向的夹角为β。运动员与滑雪板的总质量为m，所受空气阻力与速度大小成正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．在运动过程中运动员始终处于超重状态 B．运动员在空中的运动为匀变速曲线运动 C．从起跳点A到着陆点C运动员的重力势能减少量为 D．起跳点A到着陆点C的水平距离为 【答案】D 【详解】A．空气阻力与速度方向相反，运动员受到空气阻力与重力作用，竖直方向先向上减速后向下加速，竖直方向上加速度方向向下，可知，在运动过程中运动员始终处于失重状态，故A错误； B．运动员受到空气阻力与重力作用，由于所受空气阻力与速度大小成正比，可知，运动员所受外力的合力在发生变化，即加速度发生变化，运动员在空中的运动不是匀变速曲线运动，故B错误； C．令空气阻力做功为，根据动能定理有 其中 解得 故C错误； D．由于所受空气阻力与速度大小成正比，即有 在水平方向上，根据动量定理有 其中， 解得 故D正确。 故选D。 18．（2025·山东青岛平度·二模）如图所示，将一可视作质点、质量为m的小球从倾角为的斜面底端斜抛，小球恰好在运动轨迹的最高点位置通过斜面顶端。已知斜面高为h、斜面底边水平长度为L。重力加速度为g，不考虑空气阻力。设小球的初速度大小为v0，小球初速度方向与水平方向的夹角为α，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度方向与水平方向夹角的正切值为 B．小球从抛出到通过斜面最高点所经历的时间为 C．小球的初速度大小为 D．整个运动过程重力的平均功率为 【答案】BC 【详解】A.由题意可知小球恰好在运动轨迹的最高点位置通过斜面顶端，那么小球通过斜面顶端时的速度方向是水平的，由此可以将该运动视作一个反向的平抛运动。根据平抛运动的运动规律可知任意时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移方向与水平方向夹角正切值的两倍，由此可知 可得小球初速度方向与水平方向夹角的正切值也为故A错误； B.由逆向思维可知，小球竖直方向做自由落体，根据 可得运动时间为 故B正确； C.小球斜抛水平方向的初速度为，也是小球通过斜面顶端的速度大小，根据动能定理 由此可得 故C正确； D.可得整个运动过程中重力的平均功率为 故D错误。 故选BC。 19．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，长为1.0m的细绳一端固定在P点，另一端拴接质量为1.0kg的小球，小球与P点等高，细绳自然伸直。小球由静止释放后，摆动到某位置时，细绳突然断裂，继续运动0.5s后，落在地面上。已知细绳能承受的最大拉力为24N，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．轻绳断裂时小球的速度大小为2m/s B．轻绳断裂时小球的速度大小为4m/s C．小球落地点与P点的水平距离为1m D．小球落地点与P点的水平距离为1.6m 【答案】BC 【详解】AB．设轻绳断裂时轻绳与竖直方向的夹角为，如图。 由牛顿第二定律得 由动能定理可得 解得， 故A错误，B正确； CD．如图。 轻绳断裂时水平方向的速度大小为 小球从轻绳断裂到落地的水平位移大小为 小球落地点与P点的水平距离为 故C正确，D错误。 故选BC。 20．（24-25·山东菏泽单县二中·二模）如图所示，A、B两平行板间存在相互垂直的电场和磁场，方向如图所示，电场强度和磁感应强度分别为和。在A、B板右边存在以和为边界，宽度为d，方向竖着向下，大小也为的匀强电场，电场右边空间存在无限大的匀强磁场，磁感应强度为，方向如图。现有两个不同的带电粒子a和b，其比荷分别为k和，先后从A、B板的左侧沿中线垂直电场方向射入，两粒子都沿A、B中线运动后进入偏转电场，最后从进入磁场。（不计粒子的重力）则： （1）求粒子进入偏转电场的速度大小； （2）a粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，求与之比； （3）若两粒子从边界上同一点射出磁场，求磁感应强度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）带电粒子在A、B板间能沿直线运动，则有 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射出电场时速度方向与水平方向的夹角为，则粒子进入磁场时的速度为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 解得 粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为 由于带电粒子a和b，其比荷分别为k和，所以有 （3）在电场中做类平抛运动，有 解得所以带电粒子a和b在电场中的偏转距离分别为 两粒子能从边界上同一点射出磁场，根据几何关系可判断出两粒子带异种电荷，且如图 解得 21．（2025·山东济南·山师附中二模）运动员在某次投篮时，出手点距离地面竖直高度为h，距篮圈中心水平距离为3h，篮球到达篮圈中心时速度方向与水平方向成53°斜向下。已知篮圈平面距离地面高度为2h，重力加速度为g，，忽略一切阻力，篮球可视为质点，求： (1)篮球到达篮圈中心时速度大小v； (2)篮球出手时的速度大小v0。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）把投篮轨迹看成初速度为v的反向斜抛运动 水平方向3h=vcos53°·t 竖直方向 解得 （2）对篮球应用动能定理有 解得： 22．（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图（a）所示，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。打开花洒后，如图（b）所示，水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度大小相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设水龙头最低点离地面的高度为h，水龙头的半径为R，水滴距离地面的高度为，初速度为，则有， 解得，其中 由于y均匀增加时，x不是均匀增加，且x增加得越来越慢，所以俯视的形状为C图。 故选C。 圆周运动 23．（2025·山东名校联盟·二模）如图所示的平面直角坐标系，在轴上范围内有一线状粒子源，可向第一象限发射速度为、与轴正方向成角的质量为，电量为的带正电的粒子。在第一象限的范围内，存在沿轴负方向的匀强电场，粒子通过电场后，速度方向恰好沿着轴正方向。以点为圆心，半径为的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小。轴的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小；不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求第一象限匀强电场的场强； (2)求粒子在圆形磁场中运动的最长时间； (3)求粒子穿过轴以后，再次回到轴上的坐标范围； (4)若其他条件不变，在轴下方再叠加一沿着轴负方向的电场，求：从点射出的粒子在轴下方运动时，到轴的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) (4)3d 【详解】（1）带电粒子在电场中做类斜抛运动，可得 联立可得 （2）粒子竖直方向通过的距离设为y ，则 联立解得 粒子以水平速度进入圆形磁场区域，有 解得 粒子做圆周运动的半径等于圆形磁场的半径，故粒子从圆与x轴的切点M进入下方磁场区域，分析可知从最上端发出的粒子在圆形磁场中运动的时间最长，可得 解得 （3）粒子进入x轴下方以后，方向范围在与x轴正半轴成到范围之内，可得 联立解得 当速度与x轴正半轴成到范围时，粒子打到x轴的同一位置， 距M点的最近距离为 当速度与x轴成进入下方磁场时，粒子打到x轴上距M最远 故x的坐标范围为 （4）(4)0点射出的粒子在M点射出时与x轴正方向的夹角为，将粒子速度v分解出一个沿着x轴正方向的速度，使得 可得 则另一分速度与x轴负方向的夹角为，大小为，可得 以此速度做圆周运动的半径离x轴的距离的表达式 24．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图甲所示，两平行金属板A、B水平放置，两板间距为d，紧靠两板右端宽度为d的两虚线间为电磁场区域，紧靠B板右端有一长度为且与竖直方向的夹角为的倾斜挡板C，挡板C的中心有一小孔D，挡板C将电磁场区域分成上下两部分，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。区域Ⅰ中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ中有垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度为。A、B板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。粒子源位于O点，可持续不断地沿板间中线以速度发射带负电粒子，粒子质量为m，带电量为q。已知时刻进入两板间的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出交变电场，打在挡板C上的粒子均被挡板吸收，只有穿过小孔D的粒子才能进入区域Ⅱ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，计算结果只能选用m、q、d、T表示。求 (1)A、B板之间的电压； (2)能够穿过小孔D的粒子进入两板间的时刻t； (3)粒子在区域Ⅱ的出射点与小孔D的竖直距离y。 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由t=0时刻进人两板间的带电粒子在t=T时刻网好沿A板右边缘射出交变电场，竖直方向先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，则 且 联立解得 （2）不同时刻进人两板间的粒子，在两板间电场力的冲量一定为零，故粒子一定以水 平向右离开交变电场，能通过小孔的粒子在区域I中，其轨迹圆心角设为，由几何关系得 且 联立解得 在0-T时段内进人交变电场能够通过小孔的粒子，其进人的时刻设为，竖直位移满足或 解得或 考虑到周期性 可得或 （3）粒子从小孔射出的速度方向与水平方向的夹角为，该速度沿水平和竖直方向 的分速度大小为 分析数据发现 则粒子从小孔射出后的运动可分解为沿竖直方向的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知 解得 粒子做匀速圆周运动，从小孔至出射转过的圆心角设为，由外何关系知 联立解得 从小孔至出射所用时间设为 做匀速圆周运动产生的竖直位移为 做匀速直线运动产生的竖直位移为 粒子在区域I的出射点与小孔D的竖直距离 联立解得 25．（2025·山东名校·联考）电磁场在现代科学技术中有着广泛的应用。通过电、磁场可以实现对带电粒子的控制。如图所示，在平面直角坐标系中存在着多处电场、磁场，第一象限存在区域足够大的匀强磁场（未画出）；第二象限存在沿轴正向的匀强电场；第四象限存在交替出现的边界与轴平行的匀强电场与匀强磁场，电场与磁场宽度都是，电场强度大小，磁感应强度大小。现一质量为、电量为的带正电粒子从点沿轴正向以初速度垂直射入第二象限匀强电场，后又经过点进入第一象限，最后经过点，沿轴负向射入第四象限。已知点坐标为，点处粒子速度方向与轴正向夹角，虚线边界有电场，忽略磁场边界效应和粒子重力。求： (1)第二象限中电场强度大小； (2)第一象限中磁感应强度大小； (3)整个运动过程中，粒子距轴的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对带电粒子在第二象限中运动分析可知，在水平方向 根据速度的合成与分解可知水平方向的速度为 联立解得 （2）带电粒子进入第一象限时速度大小为 根据几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力，有 联立解得 （3）法一：设粒子在第四象限运动过程中，从上向下在第层磁场中运动速度为，轨道半径为，则有 根据洛伦兹力提供向心力，有 速度为 半径关系为 粒子进入第层电场时，速度方向与轴方向的夹角为，从第层电场下边界穿出时速度方向与轴方向的夹角为，粒子在电场中运动时，垂直电场线方向的速度分量不变，有， 解得 可知、、、⋯⋯是一组等差数列，公差为，可得 将代入，可得 由于，则 由于，且为整数，故的最大值为4，此时 半径为 即粒子在第5层磁场中达到轨迹最下端，此时速度沿轴正向，由几何关系得轨迹最下端距离第5层磁场上边界距离为 综上，轨迹最下端离轴的竖直距离为 法二：还可以采用以下方法分析。 设在第个磁场中最远，根据洛伦兹力提供向心力，有 则有 根据动能定理，有 在磁场中运动的位移 则有 即 则，此时粒子距轴的最远。 26．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，在真空建立坐标系O-xyz，z轴正方向垂直于纸面向外（未画出），xOy平面的第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着沿y轴负方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场；区域存在方向均沿着x轴正方向的匀强磁场和匀强电场（未画出），磁感应强度大小，电场强度大小，k为常数。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好从坐标原点O进入区域，过O点时速度大小为、方向与y轴负方向的夹角。不计粒子重力，求：    (1)在平面坐标系xOy的第二象限中电场强度大小； (2)在区域内，粒子偏离xOy平面的最大距离； (3)在区域内，粒子偏离xOy平面距离最大时的x坐标； (4)在平面坐标系xOy的第二象限中磁感应强度大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）粒子从P到Q，电场力做正功，洛仑兹力不做功，由动能定理得 解得 （2）将O点的速度分解，水平方向的速度为 竖直方向的速度为 根据洛伦兹力充当向心力，有 解得 偏离平面xOy的最大距离 （3）粒子运动周期为 可得 沿x轴正方向，根据牛顿第二定律 解得 根据运动学规律，得 解得 （4）根据题意粒子速度与y轴负方向的夹角 粒子在经过磁场时的水平方向上， 由牛顿第二定律，有 由动量定理，有 即 解得 27．（2025·山东聊城·二模）华为麒麟芯片（又称海思麒麟芯片），是华为旗下海思半导体公司自主研发的系列芯片之一，是业界领先的智能手机处理器。在芯片制造过程中，离子注入是一道重要工序，如图所示是离子注入部分工作的原理示意图。从离子源M处连续飘出带正电的离子（初速度不计），经匀强电场加速后，从P点以速度沿半径方向射入圆形磁分析器。磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），与长方体离子控制区相切于Q点，其中abcd为该控制区中间竖直平面（与圆形磁分析器处于同一竖直平面），离子从Q点离开磁分析器。由于边缘效应，离子进入控制区的速度方向会有一定波动（速度大小不变），波动范围在以垂直ab方向为轴的角范围内。若控制区无任何电、磁场，离子在水平底面的硅片上的落点会形成一个圆形区域。已知离子质量为m，电荷量为q，加速电场两极板间的距离为d，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，ad边长为L，bQ足够长。不计离子的重力和离子间的相互作用，因角较小，离子不会从控制区的四个侧面射出。 (1)求加速电场的电场强度和圆形磁分析器的半径r； (2)若离子注入硅片时，垂直硅片的速度至少达到才能有效注入。为使所有离子均能有效注入，现在控制区加上沿ad方向的匀强磁场和同样方向的匀强电场（强场大小可调），则匀强电场的场强大小应满足什么条件？离子有效注入硅片上的面积最大可达多少？ (3)若在控制区撤去和加上垂直于纸面向里磁场，其磁感应强度大小沿ad方向按的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且。要使在平面abcd内运动的离子都打不到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度至少为多少？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）在加速电场有 解得 在圆形磁分析器中，离子做圆周运动的圆心为a点，设半径为R，周期为T，如图 则有 且 根据几何关系有 解得 （2）为使所有离子均能有效注入，在ad方向上有 且满足 联立解得 速度波动最大的离子的水平分运动是匀速圆周运动，速度大小为，有 离子有效注入硅片上的面积最大可达 解得 （3）要使离子都打不到硅片上，向左下方波动在θ角的离子运动到cd边时速度应与cd边相切，如图 洛伦兹力不改变速度大小，在平行于ab方向由动量定理有 式中为水平方向速度的变化量，故由题意结合图像 可知 联立解得 28．（2025·山东济宁·二模）如图甲所示，在xOy平面内，虚线与x轴垂直并相交于P（−L，0）点，在虚线左侧有一加速电场，电压为U0。一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），当粒子运动到P点时，在虚线与y轴之间的区域加上如图乙所示的与y轴平行的交变电场（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经时间T从y轴上的Q点（0，L）进入第一象限。某一时刻在第一象限加上如图丙所示的变化磁场，磁场变化周期为T0，垂直xOy平面向里为磁场的正方向，粒子恰好不会回到第二象限。已知，不计粒子重力，忽略电场、磁场突变的影响。求： (1)带电粒子经过P点时速度的大小v0； (2)交变电场的电场强度大小E0； (3)加上磁场后，粒子在时刻所处的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3)（，） 【详解】（1）根据题意，由动能定理有 解得 （2）在偏转电场中，x方向有 y方向有， 解得 （3）粒子从Q点射出时速度方向沿x轴正方向，速度大小为v0，粒子在磁场中运动的周期为 粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 设粒子做圆周运动的半径为r，则 解得 经分析可知，粒子恰好运动至如图所示的M点位置，， 解得， 即粒子所处的位置坐标为（，）。 29．（2025·山东济宁·二模）如图所示，绝缘轨道MNPQ位于同一竖直面内，其中MN为长度L=1m的粗糙水平轨道，NP为半径R=0.3m的光滑四分之一圆弧轨道，其圆心为O，PQ为足够长的光滑竖直轨道。竖直线NN'右侧有方向水平向左的匀强电场，电场强度E=40N/C。在正方形ONO'P区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。轨道MN最左端M点处静置一质量为、电荷量为q=0.1C的带负电的物块A。一质量为的物块C，从左侧的光滑水平轨道上以速度撞向物块A，A、C发生弹性碰撞，且A、C恰好不发生第二次碰撞。已知A、C均可视为质点，且与轨道MN的动摩擦因数相同，物块A所带电荷量始终保持不变，取g=10m/s²，，。求： (1)在M点碰撞后瞬间A、C的速度大小v1、v2； (2)A、C与轨道MN之间的动摩擦因数； (3)A运动过程中对轨道NP的最大压力F的大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）A、C发生弹性碰撞，则由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得解得， （2）A、C恰好不发生第二次碰撞，设C运动的位移为。对C由动能定理得 对A由动能定理得 解得 （3）重力和电场力的合力大小为 设A在轨道NP运动过程中等效最低点K与O点的连线与OP夹角为，则 可得 当A经P点返回N点的过程中到达K点时，达到最大速度，如图所示    此时A对轨道的压力最大，A从M点到K点过程中，由动能定理可得 返回K点时 由上可得由牛顿第三定律知，A对轨道NP的最大压力为 30．（2025·山东菏泽·二模）半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内，其右端是坐标原点，内壁光滑。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为、与水平方向成的速度斜向下进入匀强电场，恰好无碰撞进入细管的左端A，已知细管的内径略大于小球的直径，重力加速度。 (1)求小球到达A点的速度大小及时间； (2)小球到达细管中Q点（图中未标出）时速度达到最大，求小球从P点到Q点的过程中合外力的冲量大小； (3)若已知小球到达细管右端的速度大小为v，小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的面积。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球从P到A，水平方向： 竖直方向： 解得， （2）小球在第二、三象限运动过程中，所受合的大小为 方向与水平方向的夹角为53° 当小球运动到合力与速度方向垂直时速度达到最大，从A到Q，根据动能定理有 解得 从P到Q，利用动量定理 解得 （3）小球在第一象限运动时，，故小球只受洛伦慈力，小球运动至x轴最远位置时y方向上的分速度为零，竖直方向利用动量定理 其中，左边微元累积 即 而 解得 31．（2025·山东青岛平度·二模）如图，在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，在虚线下方区域有垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为的粒子从距虚线高度为h的a点向右水平发射，当粒子进入磁场时其速度方向与水平虚线的夹角为。不计重力。 (1)求粒子进入磁场时的速度大小； (2)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子距a点的距离为，求磁场的磁感应强度大小的可能值； (3)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等，求粒子此时距a点的距离。 【答案】(1) (2)或者 (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则竖直方向 由牛顿第二定律 粒子进入磁场时的速度大小 解得 （2）粒子从a点抛出到进入磁场时的水平位移 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，离开磁场时速度方向与x轴正向仍成45°角，到达高h高度时水平位移仍为2h，由题意可知或即 或 根据洛伦兹力提供向心力可得或 （3）若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子在电场中运动的时间 可知粒子在磁场中运动的时间也为 粒子在磁场中做圆周运动，则，则 由洛伦兹力提供向心力 解得 此时粒子距a点的距离 32．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，带电小球A、B、C位于光滑绝缘水平面内的一直线上，质量均为m，A、C的电荷量均为q，与B的距离均为r。当B球带电量为Q时，三小球均能处于静止状态；当B球电量变为（电性不变），A、C球能够以相同的角速度（k为静电力常量）绕B球做半径为r的匀速圆周运动，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当B球带电量为Q时，三小球均能处于静止状态，则A、C电性相同，A、B电性相反，此时对A进行分析，根据平衡条件有 当B球电量变为时，对A进行分析有 解得 故选C。 33．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，空间直角坐标系（轴未画出，正方向向外）中，平面内半径为的圆形区域与轴相切于点，圆心在处，区域内的匀强磁场沿轴正方向，磁感应强度为，区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿轴正方向，电场强度为，磁感应强度为。平面的第三象限内有一平行于轴的线状粒子发射器，中点在处，与的连线平行于轴，粒子发射器可在宽度为的范围内沿轴正方向发射质量为，电荷量为的同种粒子，发射速度大小可调，，。 (1)若从点发出的粒子，飞出磁场时速度偏转了角，求该粒子的速度大小； (2)若粒子的发射速度大小，求在磁场中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到的距离； (3)调整粒子发射速度的大小为某一值时，所有粒子均从点飞出圆形磁场。求从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与轴距离最远点的位置坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子运动轨迹如图甲所示，设轨迹半径为 由几何关系得： 洛伦兹力充当向心力： 解得 （2）由 得： 设从点进，点出的粒子在磁场中运动时间最长，则为圆形磁场的直径 粒子运动轨迹如图乙所示，，由几何关系得： 解得： 由几何关系得：该粒子的入射位置到的距离 （3）由题意得：粒子在圆形磁场中的运动半径 由 得： 发射器最左端发射的粒子运动轨迹如图丙所示，设该粒子运动到点时其速度方向与轴正方向夹角为 由几何关系 得 由题意得：该粒子的运动可视为沿轴正方向的匀加速直线运动和垂直于轴平面内的匀速圆周运动的合运动 解得 粒子轨迹上的点与轴的最远距离为则粒子从经过点开始运动到距离轴最远处的时间为由得即粒子运动轨迹上与轴距离最远的位置坐标为 34．（2025·山东济南·山师附中二模）某型号离子实验装置的工作原理可简化为图甲所示。M为竖直放置的屏，以垂直于屏为x轴、平行于屏为y轴建立直角坐标系，y轴到屏的距离为d，屏的左侧存在平行于y轴向下的匀强电场和平行于x轴向右的匀强磁场，电场和磁场的大小和分布范围可调节。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以初速度v0进入xOy平面第一象限，初速度v0与x轴正方向的夹角为53°。若空间只存在匀强电场，粒子打到屏上P点（未画出）。已知，不计粒子重力，忽略电磁场的边界效应。 (1)求P点的y坐标； (2)若空间只存在磁场，粒子打到屏上Q点，求PQ的距离L； (3)如图乙所示，分界面N把区域分为左右两部分：N的左侧充满电场E，N的右侧充满平行于x轴向右的匀强磁场B2，若使粒子仍然打到屏上P点，求分界面N到y轴的距离x及B2的大小。 【答案】(1)； (2)； (3)， 【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿x方向 沿y方向 根据牛顿第二定律 联立解得 （2）粒子在磁场中的运动轨迹为等距螺旋线，半径为 解得 周期为 粒子运动的时间 PQ 的距离 解得 （3）设粒子在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2，在电场中运动时，则有 分界面N的x坐标为 解得， 粒子在电场和磁场运动的时间 t2=nT 粒子在磁场运动的周期 解得 35．（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ（），将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。 (1)若使Ⅱ区磁感应强度为0，求P到达x轴的位置； (2)若使P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度应满足的条件； (3)将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 【答案】(1) (2)若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，，若Ⅱ区磁场垂直纸面向里， (3)，（，） 【知识点】带电粒子在直边界磁场中运动 【详解】（1）如图所示 粒子在磁场中，有 根据几何关系有 可得 （2）若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，则 当粒子恰到达x轴，如图所示 根据几何关系可得 解得 所以 若Ⅱ区磁场垂直纸面向里，则 当粒子恰到达x轴，轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 所以 综合以上分析可知，若Ⅱ区磁场垂直纸面向外，则，若Ⅱ区磁场垂直纸面向里，则； （3）设某时刻粒子沿两轴的速度分量分别为vx和vy，如图所示 由牛顿第二定律，， 取极短时间∆t，则， 可得， 第一次x方向速度为零时位于（x0，y0），则 又 所以 最后停于（x1，y1），则， 又 可得， 所以粒子最终停止的位置坐标为（，）。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 曲线运动 平抛运动 1．（2025·山东名校联盟·二模）某运动员在一次滑板训练中的运动简化如图所示。段为助滑道和起跳区，段为倾角为的着陆坡，为停止区。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以6m/s的速度起跳，方向与水平成，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员和滑板的总质量为60kg，重力加速度取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．运动员在空中运行的最小速度为3m/s B．运动员离开着陆坡面的最大距离为 C．运动员落在点前瞬间重力的功率为5400W D．若起跳时速度大小不变，改变起跳方向，当时，运动员到达斜坡上的落点距离点最远 2．（2025·山东九五高中协作体·质监）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图所示，一质量为m、电荷量为（）的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点。已知该粒子在A点的速度大小为，方向与电场方向的夹角为；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为，不计粒子重力。有关粒子从A点运动至B点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．粒子的电势能先增加后减小 B．A、B两点间的电势差 C．A、B两点间的电势差 D．粒子在B点的动能是粒子在A点的动能的3倍 4．（2025·山东名校·联考）某一儿童游戏设计研发者为开发游戏搭建了如图所示装置。整个装置在竖直平面内，为平直轨道，是半径为的圆弧形轨道，段圆弧对应圆心角，为可视为质点的游戏开关，比D点高，点到点水平距离为，竖直距离为。现从点以某一初速度释放质量为的光滑小球，恰好击中，已知重力加速度为，，则（　　） A．小球初速度大小为 B．小球经过点时对轨道压力大小为 C．小球从点运动到点所需要的时间为 D．小球在点处的速度大小为 5．（2025·山东日照·二模）某运动员将铅球斜向上推出后，球的运动过程如图所示，不计空气阻力。下列关于铅球在空中运动过程中的加速度大小a、速度大小v、重力的瞬时功率P和机械能E随运动时间t的变化关系，正确的是（　　） A．B．C． D． 6．（2025·山东济南·二模）风洞是进行空气动力学研究最有效的工具之一，我国最新的JF22风洞创造了全球最快30马赫风速的奇迹。如图所示，风洞能对进入其中的物体始终施加一个水平恒力。一小球从地面的点以大小为的初速度竖直向上抛出，在点落回地面，小球离开地面的最大高度等于间的距离，则小球在运动过程中的最小速度为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·山东日照·二模）如图甲所示为一小女孩在水泥管内踢球的情境，整个过程可简化为图乙。固定的竖直圆形轨道半径为R，圆心为O，轨道上的C点和圆心O点的连线与水平方向的夹角为37°。某次踢球时，小女孩把球从轨道最低点A水平向左踢出，球在第一次经过C点后恰好能通过最高点B，当球第二次到达C点时，恰好离开轨道并落入书包内，接球时书包与直径AB的水平距离为0.2R。已知球从A点刚被踢出时的速度是经过B点时速度的3倍，球的质量为m，球与轨道间的动摩擦因数处处相等，重力加速度为g，球可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．球从A到B和从B到A的过程中，摩擦力做功相等 B．球从A到B的过程中，摩擦力做功为2mgR C．球第二次到达C点的速度大小 D．接球时书包离A点的竖直高度为0.8R 8．（2025·山东滨州·二模）观察发现青蛙竖直向上起跳，跳起的最大高度为。一长木板静止放置在光滑水平地面上，木板质量为。一质量为的青蛙静止蹲在长木板的左端。青蛙向右上方第一次跳起，恰好落至长木板右端且立刻相对木板静止。青蛙继续向右上方第二次跳起，落到地面。青蛙第三次从地面向右上方起跳并落地。三次向右上方跳跃过程都恰能使青蛙相对地面水平位移最大。木板的厚度不计。已知每次起跳青蛙做功相同，起跳与着陆过程时间极短，青蛙可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度为。求： (1)每次青蛙起跳做的功； (2)青蛙第三次向右上方跳跃的水平距离； (3)若长木板的长度为，青蛙第二次向右上方起跳的水平位移（用木板长度表示）； (4)长木板的长度与的关系。 9．（2025·山东济南·二模）如图所示为带等量异种电荷的两正对平行金属板和，板带负电，板接地，板长为，两板间距离为。大量电子从两平行板间上半区域的左侧以平行于金属板的相同速度进入板间，靠近板左侧边缘进入的电子恰好能打在板右侧边缘，电子进入板间在上半区域均匀分布，忽略电子间的相互作用，不考虑电场的边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．电子击中板区域的长度为 B．电子击中板区域的长度为 C．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，打在板上的电子数占进入平行板电子总数的 D．保持两板带电量不变，若将板向下平移的距离，靠近板左侧边缘进入的电子出电场时的电势能为进电场时电势能的 10．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，P、Q、M为同一竖直平面内三点，P、Q位于同一条竖直线上，Q、M位于水平地面上，且PQ=QM。某一时刻小球甲从P点水平抛出，同时小球乙从Q点与QM成θ角抛出，速度方向如图，两球在M点相遇，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出到相遇，乙速度变化量大于甲 B．甲、乙初速度大小之比为 C．相遇前瞬间，甲、乙速度大小之比为 D．仅改变乙抛出的θ角，则其落地时一定位于M点的左侧 11．（2025·山东滨州·二模）电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域，如约束核聚变和航天领域的离子推进器等方面均有协同应用。如图所示，在、轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为、电荷量为的同种带电粒子以相同的速度平行于轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小为，方向沿轴负方向，边界分别与轴、轴交于坐标的两点，其边界均有粒子射入，且所有粒子都从坐标为（0，-L）的点射出电场，进入第四象限的匀强磁场中，其中速度平行轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到轴的正半轴上。若打到轴上的粒子中只有离坐标原点最近的粒子能够射入第一象限，其它粒子均被吸收，第一象限内有边界平行于轴且宽度均为的若干区域，交替分布着空白区域和方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。 求： (1)第三象限内，粒子射入匀强电场的初速度大小； (2)所有粒子打到轴正半轴上的区域长度； (3)若第一象限的匀强磁场的大小，射入第一象限的粒子离轴的最远距离； (4)若在第一象限内的空白区域存在匀强电场，电场强度的大小也为、方向沿轴正方向。改变第一象限内磁场区域磁感应强度的大小，恰能使射入第一象限的粒子运动到离轴的距离也为第（3）问中的，且此时速度沿轴正方向。求第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小。 12．（2025·山东济宁·二模）如图所示，一儿童在房间内向地面上的O点投掷弹力球（可视为质点），弹力球从O点反弹到右侧竖直墙壁上的M点后，又直接反弹到左侧竖直墙壁上的N点。已知两竖直墙壁间的距离L=6m，O点距右侧墙壁d=1.8m，M点与N点等高，弹力球在空中离水平地面的最大高度H=3.2m。弹力球与墙壁碰撞前后瞬间沿墙壁的速度不变，垂直于墙壁的速度大小不变，方向相反。不计空气阻力，忽略弹力球与墙壁的碰撞时间，取g=10m/s²。求： (1)弹力球在O点弹起时的速度大小v₀； (2)弹力球与M点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值。 13．（2025·山东聊城·二模）开有凹槽的斜面固定在地面上，斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。槽内上端紧挨放置四个半径均为r的相同小球，各球编号如图所示。将四个小球由静止同时释放，小球落地后均静止，不计一切摩擦。各小球在运动过程中，下列说法正确的是（   ） A．球4的机械能守恒 B．球1处在OA段时动量不变 C．四个球最终的落地点各不相同 D．四个小球中球1离开轨道时的速度最小 14．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，正方体物块A放在离地高度的粗糙平台上，直径与A棱长相同的小球B静置在与A等高处，与平台右端距离，光滑固定斜面MN与水平方向夹角，N点与水平轨道NP平滑相连，PQ是半径的足够长光滑圆弧，P点是圆弧最低点，圆心未画出。现对A施加水平拉力，使A由静止开始向右运动，后撤去F，A继续滑行后从平台右端水平飞出，A飞离平台的同时B由静止释放，一段时间后A、B发生弹性对心碰撞，碰撞时间极短，分开后A落到地面上，B到达M处时速度恰好沿MN方向滑入斜面，从P点滑上圆弧轨道PQ，减速到0后返回P点。已知，，A与平台间动摩擦因数，g取，A和B的大小可忽略不计。 (1)求A离开平台时的速度； (2)求碰撞过程中， A、B形变量最大时系统的弹性势能； (3)求A与B到达地面的时间差； (4)某同学认为可以利用单摆周期，计算小球B离开P点到返回P点所用时间。你认为是否合理？请通过计算分析说明。 15．（2025·山东菏泽·二模）水平地面上放置一个倾角为的斜面体，斜面体上放置一个由铁架台制作的单摆，斜面体质量为M，铁架台质量为m，摆球质量为。现将摆线拉紧，使摆球从靠近铁架台金属杆位置由静止开始运动（整个过程铁架台和斜面体均保持静止状态）。摆球运动到最低点时（　　） A．地面对斜面体的摩擦力水平向右 B．地面对斜面体的支持力 C．斜面对铁架台的支持力 D．斜面对铁架台的摩擦力 16．（2025·山东聊城·二模）如图甲所示，纸面内存在上、下宽度均为L的匀强电场和匀强磁场，匀强电场竖直向下，匀强磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。现有一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力）从电场的上边界的a点由静止释放，运动到磁场的下边界的b点时正好与下边界相切。若把电场下移至磁场所在区域，如图乙所示，粒子从上边界c点由静止释放，经过一段时间粒子第一次到达最低点d（图中位置仅为示意），下列说法正确的是（   ） A．a、b两点之间的距离为 B．匀强电场的场强大小为 C．粒子在d点的速度大小为 D．粒子从c点到d点的竖直位移为 17．（2025·山东济南省实验中学·二模）跳台滑雪是一项极富有挑战性的运动。运动简化过程如图乙所示，运动员起跳瞬间速度大小v1，方向与水平方向的夹角为α，着陆瞬间速度大小为v2，方向与水平方向的夹角为β。运动员与滑雪板的总质量为m，所受空气阻力与速度大小成正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．在运动过程中运动员始终处于超重状态 B．运动员在空中的运动为匀变速曲线运动 C．从起跳点A到着陆点C运动员的重力势能减少量为 D．起跳点A到着陆点C的水平距离为 18．（2025·山东青岛平度·二模）如图所示，将一可视作质点、质量为m的小球从倾角为的斜面底端斜抛，小球恰好在运动轨迹的最高点位置通过斜面顶端。已知斜面高为h、斜面底边水平长度为L。重力加速度为g，不考虑空气阻力。设小球的初速度大小为v0，小球初速度方向与水平方向的夹角为α，则下列说法正确的是（　　） A．小球初速度方向与水平方向夹角的正切值为 B．小球从抛出到通过斜面最高点所经历的时间为 C．小球的初速度大小为 D．整个运动过程重力的平均功率为 19．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，长为1.0m的细绳一端固定在P点，另一端拴接质量为1.0kg的小球，小球与P点等高，细绳自然伸直。小球由静止释放后，摆动到某位置时，细绳突然断裂，继续运动0.5s后，落在地面上。已知细绳能承受的最大拉力为24N，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．轻绳断裂时小球的速度大小为2m/s B．轻绳断裂时小球的速度大小为4m/s C．小球落地点与P点的水平距离为1m D．小球落地点与P点的水平距离为1.6m 20．（24-25·山东菏泽单县二中·二模）如图所示，A、B两平行板间存在相互垂直的电场和磁场，方向如图所示，电场强度和磁感应强度分别为和。在A、B板右边存在以和为边界，宽度为d，方向竖着向下，大小也为的匀强电场，电场右边空间存在无限大的匀强磁场，磁感应强度为，方向如图。现有两个不同的带电粒子a和b，其比荷分别为k和，先后从A、B板的左侧沿中线垂直电场方向射入，两粒子都沿A、B中线运动后进入偏转电场，最后从进入磁场。（不计粒子的重力）则： （1）求粒子进入偏转电场的速度大小； （2）a粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，粒子从边界进出右边磁场两点间的距离为，求与之比； （3）若两粒子从边界上同一点射出磁场，求磁感应强度的大小。 21．（2025·山东济南·山师附中二模）运动员在某次投篮时，出手点距离地面竖直高度为h，距篮圈中心水平距离为3h，篮球到达篮圈中心时速度方向与水平方向成53°斜向下。已知篮圈平面距离地面高度为2h，重力加速度为g，，忽略一切阻力，篮球可视为质点，求： (1)篮球到达篮圈中心时速度大小v； (2)篮球出手时的速度大小v0。 22．（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图（a）所示，一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。打开花洒后，如图（b）所示，水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度大小相同，从花洒中喷出的水落于水平地面（分别为最左、最右端两落点），不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是（　　）    A． B． C． D． 圆周运动 23．（2025·山东名校联盟·二模）如图所示的平面直角坐标系，在轴上范围内有一线状粒子源，可向第一象限发射速度为、与轴正方向成角的质量为，电量为的带正电的粒子。在第一象限的范围内，存在沿轴负方向的匀强电场，粒子通过电场后，速度方向恰好沿着轴正方向。以点为圆心，半径为的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小。轴的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小；不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求第一象限匀强电场的场强； (2)求粒子在圆形磁场中运动的最长时间； (3)求粒子穿过轴以后，再次回到轴上的坐标范围； (4)若其他条件不变，在轴下方再叠加一沿着轴负方向的电场，求：从点射出的粒子在轴下方运动时，到轴的最远距离。 24．（2025·山东九五高中协作体·质监）如图甲所示，两平行金属板A、B水平放置，两板间距为d，紧靠两板右端宽度为d的两虚线间为电磁场区域，紧靠B板右端有一长度为且与竖直方向的夹角为的倾斜挡板C，挡板C的中心有一小孔D，挡板C将电磁场区域分成上下两部分，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。区域Ⅰ中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ中有垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度为。A、B板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。粒子源位于O点，可持续不断地沿板间中线以速度发射带负电粒子，粒子质量为m，带电量为q。已知时刻进入两板间的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出交变电场，打在挡板C上的粒子均被挡板吸收，只有穿过小孔D的粒子才能进入区域Ⅱ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，计算结果只能选用m、q、d、T表示。求 (1)A、B板之间的电压； (2)能够穿过小孔D的粒子进入两板间的时刻t； (3)粒子在区域Ⅱ的出射点与小孔D的竖直距离y。 25．（2025·山东名校·联考）电磁场在现代科学技术中有着广泛的应用。通过电、磁场可以实现对带电粒子的控制。如图所示，在平面直角坐标系中存在着多处电场、磁场，第一象限存在区域足够大的匀强磁场（未画出）；第二象限存在沿轴正向的匀强电场；第四象限存在交替出现的边界与轴平行的匀强电场与匀强磁场，电场与磁场宽度都是，电场强度大小，磁感应强度大小。现一质量为、电量为的带正电粒子从点沿轴正向以初速度垂直射入第二象限匀强电场，后又经过点进入第一象限，最后经过点，沿轴负向射入第四象限。已知点坐标为，点处粒子速度方向与轴正向夹角，虚线边界有电场，忽略磁场边界效应和粒子重力。求： (1)第二象限中电场强度大小； (2)第一象限中磁感应强度大小； (3)整个运动过程中，粒子距轴的最远距离。 26．（2025·山东潍坊·二模）如图所示，在真空建立坐标系O-xyz，z轴正方向垂直于纸面向外（未画出），xOy平面的第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着沿y轴负方向的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场；区域存在方向均沿着x轴正方向的匀强磁场和匀强电场（未画出），磁感应强度大小，电场强度大小，k为常数。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好从坐标原点O进入区域，过O点时速度大小为、方向与y轴负方向的夹角。不计粒子重力，求：    (1)在平面坐标系xOy的第二象限中电场强度大小； (2)在区域内，粒子偏离xOy平面的最大距离； (3)在区域内，粒子偏离xOy平面距离最大时的x坐标； (4)在平面坐标系xOy的第二象限中磁感应强度大小。 27．（2025·山东聊城·二模）华为麒麟芯片（又称海思麒麟芯片），是华为旗下海思半导体公司自主研发的系列芯片之一，是业界领先的智能手机处理器。在芯片制造过程中，离子注入是一道重要工序，如图所示是离子注入部分工作的原理示意图。从离子源M处连续飘出带正电的离子（初速度不计），经匀强电场加速后，从P点以速度沿半径方向射入圆形磁分析器。磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场（大小未知），与长方体离子控制区相切于Q点，其中abcd为该控制区中间竖直平面（与圆形磁分析器处于同一竖直平面），离子从Q点离开磁分析器。由于边缘效应，离子进入控制区的速度方向会有一定波动（速度大小不变），波动范围在以垂直ab方向为轴的角范围内。若控制区无任何电、磁场，离子在水平底面的硅片上的落点会形成一个圆形区域。已知离子质量为m，电荷量为q，加速电场两极板间的距离为d，在圆形磁分析器中运动的时间为t，图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形，ad边长为L，bQ足够长。不计离子的重力和离子间的相互作用，因角较小，离子不会从控制区的四个侧面射出。 (1)求加速电场的电场强度和圆形磁分析器的半径r； (2)若离子注入硅片时，垂直硅片的速度至少达到才能有效注入。为使所有离子均能有效注入，现在控制区加上沿ad方向的匀强磁场和同样方向的匀强电场（强场大小可调），则匀强电场的场强大小应满足什么条件？离子有效注入硅片上的面积最大可达多少？ (3)若在控制区撤去和加上垂直于纸面向里磁场，其磁感应强度大小沿ad方向按的规律均匀变化，x为该点到ab边的距离，k为已知的常数且。要使在平面abcd内运动的离子都打不到硅片上，ab边所在位置的磁感应强度至少为多少？ 28．（2025·山东济宁·二模）如图甲所示，在xOy平面内，虚线与x轴垂直并相交于P（−L，0）点，在虚线左侧有一加速电场，电压为U0。一质量为m，带电量为+q的带电粒子从A点飘入加速电场（忽略初速度），当粒子运动到P点时，在虚线与y轴之间的区域加上如图乙所示的与y轴平行的交变电场（T未知），y轴正方向为电场的正方向，粒子经时间T从y轴上的Q点（0，L）进入第一象限。某一时刻在第一象限加上如图丙所示的变化磁场，磁场变化周期为T0，垂直xOy平面向里为磁场的正方向，粒子恰好不会回到第二象限。已知，不计粒子重力，忽略电场、磁场突变的影响。求： (1)带电粒子经过P点时速度的大小v0； (2)交变电场的电场强度大小E0； (3)加上磁场后，粒子在时刻所处的位置坐标。 29．（2025·山东济宁·二模）如图所示，绝缘轨道MNPQ位于同一竖直面内，其中MN为长度L=1m的粗糙水平轨道，NP为半径R=0.3m的光滑四分之一圆弧轨道，其圆心为O，PQ为足够长的光滑竖直轨道。竖直线NN'右侧有方向水平向左的匀强电场，电场强度E=40N/C。在正方形ONO'P区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度为的匀强磁场。轨道MN最左端M点处静置一质量为、电荷量为q=0.1C的带负电的物块A。一质量为的物块C，从左侧的光滑水平轨道上以速度撞向物块A，A、C发生弹性碰撞，且A、C恰好不发生第二次碰撞。已知A、C均可视为质点，且与轨道MN的动摩擦因数相同，物块A所带电荷量始终保持不变，取g=10m/s²，，。求： (1)在M点碰撞后瞬间A、C的速度大小v1、v2； (2)A、C与轨道MN之间的动摩擦因数； (3)A运动过程中对轨道NP的最大压力F的大小。 30．（2025·山东菏泽·二模）半径为R的半圆形细玻璃管固定在竖直平面内，其右端是坐标原点，内壁光滑。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度。一质量为m、电荷量为q的带正电小球从第二象限某一位置P点以大小为、与水平方向成的速度斜向下进入匀强电场，恰好无碰撞进入细管的左端A，已知细管的内径略大于小球的直径，重力加速度。 (1)求小球到达A点的速度大小及时间； (2)小球到达细管中Q点（图中未标出）时速度达到最大，求小球从P点到Q点的过程中合外力的冲量大小； (3)若已知小球到达细管右端的速度大小为v，小球从原点运动到最高点时轨迹与x轴所围成的面积。 31．（2025·山东青岛平度·二模）如图，在水平虚线上方区域有竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，在虚线下方区域有垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为的粒子从距虚线高度为h的a点向右水平发射，当粒子进入磁场时其速度方向与水平虚线的夹角为。不计重力。 (1)求粒子进入磁场时的速度大小； (2)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子距a点的距离为，求磁场的磁感应强度大小的可能值； (3)若粒子第一次回到电场中高度为h时，粒子在电场中运动的时间与在磁场中运动的时间相等，求粒子此时距a点的距离。 32．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，带电小球A、B、C位于光滑绝缘水平面内的一直线上，质量均为m，A、C的电荷量均为q，与B的距离均为r。当B球带电量为Q时，三小球均能处于静止状态；当B球电量变为（电性不变），A、C球能够以相同的角速度（k为静电力常量）绕B球做半径为r的匀速圆周运动，则等于（　　）    A． B． C． D． 33．（2025·山东枣庄八中·二模）如图所示，空间直角坐标系（轴未画出，正方向向外）中，平面内半径为的圆形区域与轴相切于点，圆心在处，区域内的匀强磁场沿轴正方向，磁感应强度为，区域内，匀强电场和匀强磁场的方向均沿轴正方向，电场强度为，磁感应强度为。平面的第三象限内有一平行于轴的线状粒子发射器，中点在处，与的连线平行于轴，粒子发射器可在宽度为的范围内沿轴正方向发射质量为，电荷量为的同种粒子，发射速度大小可调，，。 (1)若从点发出的粒子，飞出磁场时速度偏转了角，求该粒子的速度大小； (2)若粒子的发射速度大小，求在磁场中运动时间最长的粒子进入圆形磁场时的位置到的距离； (3)调整粒子发射速度的大小为某一值时，所有粒子均从点飞出圆形磁场。求从发射器最左端发射的粒子进入区域后，运动轨迹上与轴距离最远点的位置坐标。 34．（2025·山东济南·山师附中二模）某型号离子实验装置的工作原理可简化为图甲所示。M为竖直放置的屏，以垂直于屏为x轴、平行于屏为y轴建立直角坐标系，y轴到屏的距离为d，屏的左侧存在平行于y轴向下的匀强电场和平行于x轴向右的匀强磁场，电场和磁场的大小和分布范围可调节。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以初速度v0进入xOy平面第一象限，初速度v0与x轴正方向的夹角为53°。若空间只存在匀强电场，粒子打到屏上P点（未画出）。已知，不计粒子重力，忽略电磁场的边界效应。 (1)求P点的y坐标； (2)若空间只存在磁场，粒子打到屏上Q点，求PQ的距离L； (3)如图乙所示，分界面N把区域分为左右两部分：N的左侧充满电场E，N的右侧充满平行于x轴向右的匀强磁场B2，若使粒子仍然打到屏上P点，求分界面N到y轴的距离x及B2的大小。 35．（2025·山东青岛城阳二中·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy内，过原点的直线l与+x轴的夹角为φ（），将y轴右侧分成上下两个区域Ⅰ和Ⅱ。Ⅰ区（含+y轴）中有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。Ⅱ区有垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度可调。现将一个质量为m、电量为+q的带电粒子P从O点沿+y方向以初速度v0射出，带电粒子重力不计。 (1)若使Ⅱ区磁感应强度为0，求P到达x轴的位置； (2)若使P不能到达x轴，求Ⅱ区磁场的磁感应强度应满足的条件； (3)将Ⅱ区磁场调成与Ⅰ区相同，并使整个空间均匀分布黏性介质。P仍从O点沿+y方向以初速度v0射出，运动中受到大小正比于速率（比例系数为常数k，未知）、方向与速度反向的介质阻力作用，且P速度第一次沿－y方向的位置在直线l上。求比例系数k的大小及粒子最终停止的位置坐标。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$