专题15 一次函数（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题15 一次函数 · · 考情概览 · 考点1 一次函数图象性质 · 考点2 一次函数求参数 · 考点1 一次函数图象性质 1．（2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 考点2 一次函数求参数 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 4．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 5．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 1．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 2．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 3．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出m的取值范围． 4．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 5．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 7．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围． 8．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，与轴交于点．    (1)求这个一次函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 9．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 10．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5，直接写出n的值． 11．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点． (1)求k与b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 12．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 13．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 14．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 15．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 16．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 17．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． 18．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 19．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 20．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 6/6 5/6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 一次函数 · · 考情概览 · 考点1 一次函数图象性质 · 考点2 一次函数求参数 · 考点1 一次函数图象性质 1．（2022·北京·中考真题）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x； ③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由图象可知：当y最大时，x为0，当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，再结合题意即可判定． 【详解】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示； ②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示； ③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为， 则矩形的面积为：， 故③不可以利用该图象表示； 故可以利用该图象表示的有：①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 考点2 一次函数求参数 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 4．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：．      【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 5．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式即可求解． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，得， ∴点A的坐标为． （2）由题意得， ，即， 又由，得， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关键． 6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式； （2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得：，然后结合函数图象可进行求解． 【详解】解：（1）由一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得：一次函数的解析式为； （2）由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为，则由（1）可得： ，解得：， 函数图象如图所示： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值时，根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时，符合题意，当时，则函数与一次函数的交点在第一象限，此时就不符合题意， 综上所述：． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 1．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：将点和代入中得： ， 解得：， ∴该函数解析式为：； （2）解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意， ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于0， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 2．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，当时，有函数，，，由当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，可得，进而解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴ 将点、代入，得 解得 答：的值为1，的值为． （2）由（1）得， 当时，，，， ∵当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值， ∴，解得． 故答案为：． 3．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查一次函数图象的平移，两条直线的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）平移，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出交点横坐标，根据交点坐标在直线的右侧，列出不等式进行求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）令， ∴， ∵图象有交点， ∴， ∴， ∵函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧， ∴， 当，即：时，不等式恒成立； 当，即：时，，解得：， 又∵， ∴m的取值范围为：或或． 4．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入，先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方，在的下方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：函数与的图象交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）得：，， 如图，记， 当时，，即在的图象上， 当过时，， 要满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，即函数与的交点在点及点左侧， 即， 如图，当函数的图象平行函数的图象时，， 此时满足：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， 综上：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，的取值范围为：且． 5．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，函数的图象由函数的图象平移得到， ． 函数为． 又函数过， ． ； （2）解：由题意，结合（1）可得为，为， 在同一坐标系中画出，的图象如下． 当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得，． 6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 7．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数的值又大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键． （）先求出，再把点代入求出的值，进而可得出答案； （）画出图象，然后根据图象即可求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 当时，对于的每一个值，一次函数的值既大于函数即的值，又大于函数的值， ∴． 8．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过和两点，与轴交于点．    (1)求这个一次函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质． （1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标； （2）在同一坐标系中，作出和的图象，根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过和两点， ， 解得， 该一次函数的表达式为， 令，得， ； （2）解：在同一坐标系中，作出和的图象如下；    结合图象可得， ∵当时，对于的每一个值．一次函数的值小于一次函数的值且大于1， ∴． 9．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象由函数的图象平移得到且与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的性质，一次函数图象的性质等，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． （1）利用待定系数法和平移的性质即可求得结果； （2）根据一次函数图象的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得； ∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ， ， 将代入得， 解得； （2）解：由（1）得的解析式为，的解析式为， 如图所示，当时，对于的每一个值，函数（）的值既大于函数的值，也大于函数的值， 则． 10．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5，直接写出n的值． 【答案】(1)；点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式等知识，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法即可求得一次函数解析式，再求出点函数值为5时的自变量值，即可得点C的坐标； （2）把点C的坐标代入中，求得n的值． 【详解】（1）解：把A、B两点坐标代入中，得：， 解得：， 即函数解析式为； 由于与过点且平行于x轴的直线交于点C，则， 解得：， 即点C的坐标为； （2）解：把点C的坐标代入中，即， ∴， 如图所示，当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于5． 11．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移2个单位得到的直线经过点． (1)求k与b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）先根据直线向上平移 2 个单位得出，再将点代入，求出的值即可； （2）根据点结合一次函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移 2 个单位得到的直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴． （2）解：把代入，得， 把点代入，得． ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴的取值范围是． 12．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，图象法确定不等式的解集是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得，， ∴， 解得，； （2）解：由（1）可得，，， ∴当时，对于函数，则，对于函数，则， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值， 如图所示， ∴， ∴的取值范围为． 13．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能结合函数图象进行分析是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）依据题意，在同一坐标系中画出直线，，又当时，，故；当时，，可得令，故，结合结合题意，即可判断得解． 【详解】（1）解：把点，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由题意，在同一坐标系中画出直线，如下． 由题意，当时，， 则，故． 又∵当时，， ∴令，则，故． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值， ∴． 14．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：联立， ∴， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又∵当时，在的下方， ∴要大于等于， ∴． 15．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式可判断出在中，y随x增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可． 【详解】（1）解：把和代入到中得， 解得； （2）解：由（1）得函数的解析式为 ∵在中，， ∴在中，y随x增大而减小， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于， ∴当时，， ∴； 当时，解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， ∴， ∴， 综上所述，． 16．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值是； 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）将点代入一次函数解析式即可解决问题． （2）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入，得， ； （2）解：如图， 当时，， 把代入，求得， 当时，， 把代入，求得， ∵当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， ∴的最小值为的取值范围是． 17．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合思想是解题的关键． （1）运用待定系数法的方法即可求解； （2）求出直线经过点时的值，再根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入， 则， 解得：， 再将代入， 则， 解得：； （2）解：由（1）得， 可得，当， ∴， 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4， 由图象可得：． 18．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 【答案】(1)函数的解析式为， (2)1 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点和代入得： ， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为3， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于3， 所以当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 19．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 【答案】A 【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误． 【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， 当时，，则；当时，，则； A、、， ，且，则为等腰直角三角形， 故该选项正确，符合题意； B、， 点坐标为错误，不符合题意； C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， ，且、，则图象经过第一、二、四象限， 故该选项错误，不符合题意； D、过点作于点，如图所示： 是等腰直角三角形，， 由勾股定理可得， ， 由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线， ，即点到的图象距离为， 故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 20．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入,求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）结合图象即可求得． 【详解】（1）解：一次函数的图象是由的图象平移得到， ， 把点代入可得， 解得， 所以一次函数的表达式为 （2）解：设， 当时，， 把代入，可得，解得， 当时，对于的每一个值都有， 即当时，对于的每一个值都有， 结合图象可得且． 30/31 31/31 学科网（北京）股份有限公司 $$