专题16 二次函数（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题16 二次函数 · · 考情概览 · 考点1 二次函数综合 · 考点1 二次函数综合 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若对于，，都有，求m的取值范围． 2．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 4．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围． 5．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 6．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 7．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 8．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 9．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 10．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 12．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求的值； (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 13．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线与轴交点坐标； (2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 14．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 15．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 16．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 17．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）； (3)已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 18．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 19．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 20．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过． (1)求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 21．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； (2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 22．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 23．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 24．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线与轴交点的坐标； (2)若对于任意的，总有，求的取值范围． 25．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 26．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 27．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 6/7 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 二次函数 · · 考情概览 · 考点1 二次函数综合 · 考点1 二次函数综合 1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，和都在对称轴右侧， 此时y随x的增大而增大， ∵， ∴ 如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)（0，2）；2 (2)的取值范围为，的取值范围为 【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴当x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）； ∵， ∴点关于对称轴对称， ∴； （2）解：当x=0时，y=c， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c）， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c）， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ， ∵1＜3， ∴2t＞3，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵1＜3， ∴2t＞3，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为； （2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得： ①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾； ②当时， ∵抛物线始终过定点， ∴此时抛物线的对称轴的范围为， ∵点在该抛物线上， ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ∵，开口向上， ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)m的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴公式即可求得； （2）分两种情况讨论，根据二次函数的性质对称关于m的不等式，解不等式即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∵对于，，都有， ∴， 解得， ∵， ∴这种情况不存在． 综上，m的取值范围是． 2．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标； （2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得， ∴ ， ∴顶点坐标为． （2）∵， ∴， 将点，和分别代入表达式得， ， ， ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 当时， ， ， ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 解不等式组①得： 解不等式组②得：无解． ∴ 同法可求，当时，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把化成顶点式，利用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把问题转化为不等式求解． 3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线对称轴为， ①若， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ， ， 设点M关于对称轴的对称点为， 则， ， ， （i）当时，有， ， ，符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，令， ， ，不符合题意； ②若， 则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， （i）当时，令， ， ， ，不符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，有， ， ，符合题意， 综上所述，a的取值范围是或． 4．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)点，，在抛物线上．若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）利用二次函数的对称性和增减性列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为， ， 顶点为； （2）解：抛物线， 点，，在抛物线上， ，，， ， ，即， 解可得或， 或， ， 或， 解， ， ， ， ， ， ， 则， ， ， 综上所述，或． 5．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可； （2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 （2）∵，所以分为两种情况， ①当时，对称轴为，开口向上， ∵,, ∴此时、都在对称轴的右侧， 又∵当时，y随x的增大而增大， 结合图象，若对于，，都有 则：， ∴ ②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵,, ∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧, 又∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， 结合图象，若对于，，都有． ∴   ∴   ∴ 综上，a的取值范围是或． 6．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)或或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． （1）利用二次函数的性质即可解答； （2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可； （3）表示出，再表示出，最后解不等式即可． 【详解】（1）解：对称轴为； （2）解：令，， 解得， 二次函数与轴的交点为， 当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时； 当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 综上所述，或或； （3）解：对称轴为， 为顶点， 二次函数开口向上， ， ， 可得， ， ， ， 可得， 解得． 7．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)当时，求的值； (2)点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是或． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）当时，抛物线，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，且．然后分和两种情况，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线． 所以该抛物线的对称轴为，即． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，且． 当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立； ①若，此时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （ⅰ）当时，，成立． （ⅱ）当时， 点关于对称轴的对称点为． ． ． 当时，成立． （ⅲ）当时，不合题意，舍去． ②若，此时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 满足题意． 综上所述，的取值范围是或． 8．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解． （2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，对称轴为直线 ∵， ∴点关于直线对称. ∴， ∵； （2）∵点是抛物线上的两个不同点． ∴，， ∵当时，都有 ∴即在时恒成立， 当时，不等式化简为， 则， 解得， ∴，解得， 当时，不等式化简为， 解得或， ∴，解得， ∴， 综上可知，的取值范围是或． 9．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)已知，是抛物线上的两点．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称轴公式进行计算即可； （2）分和两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，则：， ∴对称轴为直线； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为：， 当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，是抛物线上的两点，且对于，都有， ∴； 当时，抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于的对称点为：， ∵，是抛物线上的两点，且对于，都有， ∴， ∴， 综上：或． 10．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据函数解析式确定对称轴即可； （2）根据题意得出，再分两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线． （2）解：∵点，是抛物线上的两点，， ， 又 ∵， ， 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ， ； 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 12．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求的值； (2)当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）当时，点的坐标为，根据抛物线上点的坐标特征得出，，根据题意求得，根据抛物线的性质即可求出； （2）分为抛物线的对称轴在点的左侧和右侧两种情况进行分析，当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时，根据抛物线的对称性求出点关于对称的点为，结合抛物线的性质得出点在的左侧，即，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时，结合抛物线的性质得出点在的左侧，点在的左侧，结合题意列出不等式，即可求出的取值范围是；即可求解． 【详解】（1）解：当时，点的坐标为， ∵点，在抛物线上， ∴，． 又∵， ∴． 即， ∵抛物线的对称轴为， 故． （2）解：分两种情况： 情况1：当抛物线的对称轴在点的左侧时，即时， 点关于对称的点为， 根据抛物线的对称性可得点也在抛物线上， 则； ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，随的增大而减小． ∵， ∴点在的左侧， 即， ∵时，都有成立， ∴， 解得； 又∵， 故的取值范围是； 情况2：当抛物线的对称轴在点的右侧时，即时， ， ∴抛物线开口向上， 故当时，随的增大而减小， ∵， ∴点在的左侧， 即， ∵时，都有成立， ∴， 解得， 又∵， 故的取值范围是． 综上，的取值范围是． 13．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线与轴交点坐标； (2)已知，为该抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）令，求得，则该抛物线与轴交点坐标为； （2）根据题意得出且，求解即可． 【详解】（1）解：当时，则抛物线为． 令，则， ∴该抛物线与轴交点坐标为； （2）解：∵抛物线，对于，，都有， ∴且， 则，即，， 解得：或； ，即，， 解得：或； 综上，或． 14．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)若对于，有，求抛物线的对称轴； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等． （1）利用轴对称的性质求解即可； （2）直接代入得到整理得，推出或，再分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，有， ∴这两点关于轴对称，抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵，，又， ∴， 整理得， ∴或， ①若，即， ∵， ∴且， ∴且， ∴； ②若， 同理且， ∴且， ∴； 综上，或． 15．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 【答案】(1) (2)或． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， 整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当时，抛物线开口向上． 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． ∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大， ∴，同时 解不等式组 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． 若，； ∵， ∴ ． 解得 ． 若，． ∴ ． 解得：， ∵， ∴不等式无解 ． ∴当时，的取值范围是； 综上，a的取值范围是或． 16．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解； （2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 顶点的横坐标为，代入纵坐标为 ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当有， 可得或， ， 解得； 综上，或； 17．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，对于任意的正数，若是抛物线上的两点，则_____（填“”“”“”）； (3)已知直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与抛物线图象的交点问题，数形结合是解题的关键； （1）根据二次函数的性质，利用对称轴公式，即可求解； （2）根据抛物线的对称轴为直线，当，抛物线开口向下，进而求得 关于对称轴的对称点为，根据当时，随的增大而减小，即可求解； （3）分和两种情况讨论，分别画出图形，结合函数图象，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为 ∵，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 又∵ ∴ 故答案为：． （3）①当时，抛物线过点，关于的对称点为 直线：上两点，其中点的横坐标为1，点的纵坐标为， 如图 ∵B， ∴当时，由图象可知，抛物线与线段恒有一个公共点. ∴当时，抛物线与线段恒有一个公共点. ②当时， ∵点的横坐标为1，则，即 把代入 得 ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴ 解得： 综上所述，或时，抛物线与线段恰有一个公共点， 18．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先配方成顶点式，即可求解对称轴； （2）分两种情况讨论，①；②，分别根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解： 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：由题意，得． ． ， ． ①当时， 可得，． 又， ． 点总在点的右侧，且点都在对称轴右侧． 时，随增大而增大． 又， ． 当时，恒成立 ②当时， 可得． 点在对称轴左侧． 设点关于对称轴的对称点为， ． ． , ． ， ． ． 综上，或． 19．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，是抛物线上的两点． (1)当时，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上的点等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意可得点为，然后代入抛物线解析式得到关于a的方程求解即可； （2）由二函数的性质可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．然后根据题意分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：当时，点为． 点在抛物线上， ．解得． （2）解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 对于： ①若， ， ． （i）当时，有． ． ，不符合题意． （ii）当时，取． ． ，不符合题意． （iii）当时，有．取，则． 设点关于对称轴的对称点为，则． ． ， ． ． ，不符合题意． （iv）当时，有． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ． ， ． ． ，符合题意． ②若，则，必有，不符合题意． ③若， ， ． ，符合题意． 综上所述，的取值范围是或． 20．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，已知，是抛物线上两点，且抛物线经过． (1)求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线经过，得到且，求抛物线的对称轴即可． （2）根据，，都有，分和，解答即可． 【详解】（1）解：根据抛物线经过， 得到且， 故即， 故抛物线的对称轴为：直线． （2）解：根据题意，得，， ∴ 解得， ∴， ∵，是抛物线上两点，且对称轴为直线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当，且时，，即， 根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴中点在对称轴的右侧， 则即， 解得，无解； 当，且时，，即， 根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴中点在对称轴的左侧， 则即， 解得； 当，且时，，即， 则即，无解； 当，且时，，即， 则，无解， 综上所述，符合题意的范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键． 21．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． (1)直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； (2)将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)且且且 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论． （1）令，解方程即可得解； （2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：抛物线的对称轴为直线． 由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，． ∵，，，四点中，任意两点不重合， ∴且且且． ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ①当时， ∵， ∴． ∴． 由知，不符合题意． ②当时，点在对称轴的左侧． 点关于直线的对称点为． ∵， ∴． ∴且． ∴． 综上所述，的取值范围是且且且． 22．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，结合函数的图象可得或， 当时，结合函数的图象可得， 当时，结合函数的图象可得或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 23．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为． 对于，，； ①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ∵，， ∴，． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴． （Ⅰ）当时，有． ∵， ∴， ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有． ∵，， ∴． ∴，符合题意； （Ⅲ）当时，令，则． ∴，不符合题意． ②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ∵，， ∴． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． （Ⅰ）当时，有，． 令，则，即． ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有，则． 若，有，则，符合题意； 若， 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴， ∴． ∴，符合题意． （Ⅲ）当时，有． ∴，不符合题意． 综上所述，的取值范围是或． 24．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求抛物线与轴交点的坐标； (2)若对于任意的，总有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线与轴交点的坐标为 (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）当时，抛物线为．令，解方程即可求出答案； （2）分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线为． 令，则． 解得． 抛物线与轴交点的坐标为． （2）由可知，抛物线的对称轴为，抛物线与轴交点的坐 标为． ． ①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （i）当时，令，则，不符合题意． （ii）当时，则． ． ． ， ，符合题意． （iii）当时，则． ． 由可知． ，符合题意． （iiii）当时，． 令，则，不符合题意． ②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ， ． ． ， ，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 25．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且它的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)如果点，在抛物线上，当时，比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把代入，求出，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式求解； （2）先确定点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出点关于对称轴直线的对称点为：，可得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，把代入， 则， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ∴点关于对称轴直线的对称点为：， ∵， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴． 26．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)当时，求的值； (2)点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质； （1）由抛物线为，得对称轴是直线，又，进而可得，故可得解； （2）由（1）对称轴是直线，则，又，从而，又抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又点，，在该抛物线上，且对称轴是直线，从而，故可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又， ． （2）解：由（1）对称轴是直线， ． 又， ． 抛物线开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值越小． 点，，在该抛物线上，且对称轴是直线， ，，． ， ，． ． ． 27．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)或或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． （1）利用二次函数的性质即可解答； （2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可； （3）表示出，再表示出，最后解不等式即可． 【详解】（1）解：对称轴为； （2）解：令，， 解得， 二次函数与轴的交点为， 当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时； 当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 综上所述，或或； （3）解：对称轴为， 为顶点， 二次函数开口向上， ， ， 可得， ， ， ， 可得， 解得． 48/48 47/48 学科网（北京）股份有限公司 $$