1.2.一定是直角三角形吗 预习学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第一章 勾股定理 2. 一定是直角三角形吗 知识点预习 1. 勾股定理的逆定理（核心内容）： 内容： 如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 前提条件： 必须满足 这个等式关系。 最长边： 在等式中，c 代表的是最长边，也就是直角三角形的斜边。应用逆定理时，必须先确定哪条边是最长边，将其视为 c。 结论： 满足条件的三角形是直角三角形，且最长边 c 所对的角是直角。 与勾股定理的关系： 勾股定理（正定理）： 已知是直角三角形 => 则 (直角边; 斜边c)。 勾股定理的逆定理： 已知三角形三边满足 (c是最长边) => 则这个三角形是直角三角形。 2. 勾逆定理的探索与验证（教材常用方法）： “做一做” / 动手操作： 给出几组具体的、满足 的三边长度（如 3, 4, 5； 5, 12, 13； 8, 15, 17 等）。 用木棒、绳子或直尺等工具，实际画出以这些长度为边的三角形。 用量角器测量最长边所对的角，发现它总是直角（90°）。通过实验初步验证逆定理。 3. 定应用逆定理判断直角三角形： 步骤： 确定最长边： 找出三角形三条边中最长的一条，记为 c。 计算验证： 计算两条较短边的平方和 a² + b²，再计算最长边的平方 c²。 比较判断：若 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形（直角在最长边c的对角）；若 a² + b² > c²，则该三角形是锐角三角形；若 a² + b² < c²，则该三角形是钝角三角形（钝角在最长边c的对角）。 4. 本勾股数： 定义： 满足 a² + b² = c² 的三个正整数 a, b, c，称为勾股数。 特点：都是正整数；能构成一个直角三角形的三边；通常把 c 看作是斜边（最大数）。 5. 总结： 第二节的核心是勾股定理的逆定理。它提供了一种强有力的工具：仅通过测量一个三角形的三条边长，就能判断它是否包含一个直角。这是勾股定理的“反过来的应用”。掌握逆定理的关键在于牢记其内容（a² + b² = c² => 直角三角形）、明确使用步骤（先找最长边c，再计算比较平方和），并能与正定理清晰区分。勾股数的学习则为快速识别和应用直角三角形提供了便利。本节将勾股定理的应用范围从“已知直角求边关系”拓展到了“已知边关系判直角”。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．8，11，12 D．6，8，10 2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，1 B．2，3，4 C． D．1，2，3 3．下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．∠A+∠B＝∠C C．a＝1，b＝2，c＝3 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 4．以下列三条线段的长为边，能围成直角三角形的是（　　） A．，， B．2，3，4 C．0.9，1.5，1.8 D．2，2， 5．在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，10 C．3，4，5 D．1，，2 6．三角形的三边a，b，c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 7．下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（　　） A．9 B．24 C．35 D．40 8．如图，在6×7网格中，点A，B，C都是网格线的交点，则∠CAB的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 9．故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）不符合要求（　　） A．，， B．，2， C．1，2，3 D．7，24，25 10．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 二、填空题预习（24分） 11．三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是 　 　 ． 12．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为 　 　 ． 13．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝　 　 ． 14．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　 　 ． 15．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝15，BC＝DE＝9，DE⊥AC于E，S△DAC＝54，则∠ACB的度数等于　 　 ． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　 　 °． 三、解答题（46分） 17．在△ABC中，AC，BC＝2，AB＝3，求证：∠ACB＝90°． 18．如图：四边形ABCD中，，，DA＝1，且AB⊥CB于B．试求：四边形ABCD的面积． 19．如图，已知四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC． （1）求证：AC⊥CD； （2）求四边形ABCD的面积． 20．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB． （1）求CD，AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC． （1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由； （2）在△ABC中，求AC边上高的长． 22．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm． （1）试判断△ABC的形状并说明理由； （2）求点C到AB的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第一章 勾股定理 2. 一定是直角三角形吗 知识点预习 1. 勾股定理的逆定理（核心内容）： 内容： 如果三角形的三边长 满足 ，那么这个三角形是直角三角形。 前提条件： 必须满足 这个等式关系。 最长边： 在等式中，c 代表的是最长边，也就是直角三角形的斜边。应用逆定理时，必须先确定哪条边是最长边，将其视为 c。 结论： 满足条件的三角形是直角三角形，且最长边 c 所对的角是直角。 与勾股定理的关系： 勾股定理（正定理）： 已知是直角三角形 => 则 (直角边; 斜边c)。 勾股定理的逆定理： 已知三角形三边满足 (c是最长边) => 则这个三角形是直角三角形。 2. 勾逆定理的探索与验证（教材常用方法）： “做一做” / 动手操作： 给出几组具体的、满足 的三边长度（如 3, 4, 5； 5, 12, 13； 8, 15, 17 等）。 用木棒、绳子或直尺等工具，实际画出以这些长度为边的三角形。 用量角器测量最长边所对的角，发现它总是直角（90°）。通过实验初步验证逆定理。 3. 定应用逆定理判断直角三角形： 步骤： 确定最长边： 找出三角形三条边中最长的一条，记为 c。 计算验证： 计算两条较短边的平方和 a² + b²，再计算最长边的平方 c²。 比较判断：若 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形（直角在最长边c的对角）；若 a² + b² > c²，则该三角形是锐角三角形；若 a² + b² < c²，则该三角形是钝角三角形（钝角在最长边c的对角）。 4. 本勾股数： 定义： 满足 a² + b² = c² 的三个正整数 a, b, c，称为勾股数。 特点：都是正整数；能构成一个直角三角形的三边；通常把 c 看作是斜边（最大数）。 5. 总结： 第二节的核心是勾股定理的逆定理。它提供了一种强有力的工具：仅通过测量一个三角形的三条边长，就能判断它是否包含一个直角。这是勾股定理的“反过来的应用”。掌握逆定理的关键在于牢记其内容（a² + b² = c² => 直角三角形）、明确使用步骤（先找最长边c，再计算比较平方和），并能与正定理清晰区分。勾股数的学习则为快速识别和应用直角三角形提供了便利。本节将勾股定理的应用范围从“已知直角求边关系”拓展到了“已知边关系判直角”。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．8，11，12 D．6，8，10 【解答】解：A、不是，因为22+32≠42； B、不是，因为0.3，0.4，0.5不是正整数； C、不是，因为82+112≠122； D、是，因为62+82≠102．且6、8、10是正整数． 故选：D． 2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（　　） A．1，1，1 B．2，3，4 C． D．1，2，3 【解答】解：A．∵12+12≠12， ∴以1，1，1为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵22+32≠42， ∴以2，3，4边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵12+（）2＝（）2， ∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵1+2＝3， ∴以1，2，3为边不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．下列条件中，不能判断ABC为直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B．∠A+∠B＝∠C C．a＝1，b＝2，c＝3 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 【解答】解：A、∵a＝3，b＝4，c＝5，即a2+b2＝9+16＝25，c2＝25， ∴a2+b2＝c2， 即△ABC为直角三角形，不合题意； B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°，即△ABC为直角三角形，不合题意； C、∵a＝1，b＝2，c＝3，即a2+b2＝1+4＝5，c2＝9， ∴a2+b2≠c2， 即△ABC不是直角三角形，符合题意； D、由∠A：∠B：∠C＝1：2：3，得到∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， 根据题意得：x+2x+3x＝180°，即x＝30°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，不合题意． 故选：C． 4．以下列三条线段的长为边，能围成直角三角形的是（　　） A．，， B．2，3，4 C．0.9，1.5，1.8 D．2，2， 【解答】解：A、∵（）2+（）2＝（）2， ∴，，能组成直角三角形，符合题意； B、∵22+32≠42， ∴2，3，4不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵0.92+1.52≠1.82， ∴0.9，1.5，1.8不能组成直角三角形，不符合题意； D、∵22+（）2≠22， ∴2，2，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 5．在下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．6，8，10 C．3，4，5 D．1，，2 【解答】解：A、22+32≠42，故不能组成直角三角形，符合题意； B、62+82＝102，故能组成直角三角形，不符合题意； C、32+42＝52，故能组成直角三角形，不符合题意； D、，故能组成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 6．三角形的三边a，b，c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝0， ∴a2+b2＝c2， ∴此三角形是直角三角形． 故选：B． 7．下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（　　） A．9 B．24 C．35 D．40 【解答】解：由勾股数定义逐项分析判断如下： A、92+72≠252，不是勾股数； B、242+72＝252，是勾股数； C、252+72≠352，不是勾股数； D、252+72≠402，不是勾股数， 故选：B． 8．如图，在6×7网格中，点A，B，C都是网格线的交点，则∠CAB的度数是（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【解答】解：连接BC， 由勾股定理得：AC2＝32+52＝34，BC2＝12+42＝17，AB2＝12+42＝17，17+17＝34， ∴AB＝BC，AC2＝BC2+AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， 故选：B． 9．故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）不符合要求（　　） A．，， B．，2， C．1，2，3 D．7，24，25 【解答】解：A、∵（）2， ∴组成的三角形是直角三角形，不符合题意； B、∵，与相等， ∴，组成的三角形是直角三角形，不符合题意； C、12+22＝1+4＝5，与32＝9不相等，不能组成直角三角形，符合题意； D、72+242＝49+576＝625，与252＝625相等，能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 10．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角形ABC，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（　　） A．C1 B．C2 C．C3 D．C4 【解答】解：AB2＝10，5，5， ∴AB2， ∴△ABC1是直角三角形， ∵10，AB2＝10，20， ∴AB2， ∴△ABC2是直角三角形， ∵AB2＝10，20，10， ∴AB2， ∴△ABC3是直角三角形， ∵16，18，AB2＝10， ∴AB2， ∴△ABC4不是直角三角形， 所以△ABC2，△ABC3，△ABC1是直角三角形，但△ABC4不是直角三角形， 故选：D． 二、填空题预习（24分） 11．三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是 　6　 ． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， ∴52＝32+42， ∴此三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积3×4＝6． 故答案为：6． 12．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则DC的长为 　9　 ． 【解答】解：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴△ADB是直角三角形，∠ADB＝90°， ∴△ADC是直角三角形， 在Rt△ADC中，CD9． 故答案为：9． 13．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝　45°　 ． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4， ∴∠ABC＝45°，BC＝4， ∵BD＝7，DC＝9， ∴BD2+BC2＝49+32＝81＝92＝DC2， ∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°， ∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°， 故答案为：45°． 14．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BCA+∠DCE＝　45°　 ． 【解答】解：连接AD， 由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， 观察图形可知，△BFC和△CGE都是等腰直角三角形， ∴∠BCF＝45°，∠ECG＝45°， ∴∠BCA+∠DCE＝180°﹣45°﹣45°﹣45°＝45°， 故答案为：45°． 15．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝15，BC＝DE＝9，DE⊥AC于E，S△DAC＝54，则∠ACB的度数等于　90°　 ． 【解答】解：∵DE＝9，S△DAC＝54， ∴， 解得AC＝12， ∵AB＝15，BC＝9， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°， 故答案为：90°． 16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝　45　 °． 【解答】解：连接AC， 由题意得：AC2＝12+22＝5， BC2＝12+22＝5， AB2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°， 故答案为：45． 三、解答题预习（48分） 17．在△ABC中，AC，BC＝2，AB＝3，求证：∠ACB＝90°． 【解答】证明：在△ABC中，AC，BC＝2，AB＝3， ∴AC2＝5，BC2＝4，AB2＝9， ∴AC2+BC2＝AB2． ∴∠ACB＝90°． 18．如图：四边形ABCD中，，，DA＝1，且AB⊥CB于B．试求：四边形ABCD的面积． 【解答】解：连接AC， ∵AB⊥CB于B， ∴∠B＝90°， ∴AB2+BC2＝AC2， 又∵AB＝CB， ∴AC＝2， ∵CD，DA＝1， ∴CD2＝5，DA2＝1，AC2＝4， ∴AC2+DA2＝CD2， 由勾股定理的逆定理得：∠DAC＝90°， ∵AB⊥CB于B， ∴S△ABCBC•AB，S△DACAC•AD， ∵AB＝CB，DA＝1，AC＝2， ∴S△ABC＝1，S△DAC＝1， ∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△DAC， ∴S四边形ABCD＝2． 19．如图，已知四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC． （1）求证：AC⊥CD； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BC， ∴∠B＝90°， ∵AB＝1，BC＝2， ∴AC， ∵CD＝2，AD＝3， ∴，AD2＝32＝9， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴AC⊥CD； （2）解：四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ACD AB×BCAC×DC 1×22 ＝1， 故答案为：1． 20．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB． （1）求CD，AD的值； （2）判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB且CB＝3，BD，故△CDB为直角三角形， ∴在Rt△CDB中，CD， 在Rt△CAD中，AD． （2）△ABC为直角三角形． 理由：∵AD，BD，∴AB＝AD+BD5， ∴AC2+BC2＝42+32＝25＝52＝AB2， ∴根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形． 21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了△ABC． （1）小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由； （2）在△ABC中，求AC边上高的长． 【解答】解：（1）我同意他的观点， 理由：由勾股定理得：AB，BC，AC2， ∴AB2+BC2＝20＝AC2， ∴△ABC是直角三角形； （2）由（1）知：△ABC是直角三角形，AB＝BC，∠ABC＝90°， 设AC边上高的长为h， ∴△ABC的面积为：AB•BC•AC•h， ∴2h， ∴h， 即AC边上高的长为． 22．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm． （1）试判断△ABC的形状并说明理由； （2）求点C到AB的距离． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AC＝24cm，CB＝18cm，AB＝30cm． ∴AC2+CB2＝242+182＝576+324＝900＝302＝AB2， ∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形． （2）设点C到AB的距离为h， ∵AC•BC＝AB•h， ∴h（cm）． 答：点C到AB的距离为cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$