专题02 巧用六种运算规律简化有理数的计算（高效培优专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题02 巧用六种运算规律简化有理数的计算 题型一：同号相加，同分母相加 题型二：将和（积）为整数的数相结合 题型三：乘方分配律及其逆用 题型四：将带分数拆分 题型五：裂项相消法 题型六：倒数法 题型一：同号相加，同分母相加 1.计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 2.计算：； 【答案】-12 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键．去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 3.计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式利用减法法则化为加法，再利用交换结合律相加即可得到结果． 【详解】 ． 4.计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键： （1）直接根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）直接根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二：将和（积）为整数的数相结合 5.计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算律及加法运算法则，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先将分数化为小数，再由加法结合律恒等变形，最后由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （2）先由加法交换律与结合律恒等变形，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ． 6.计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式1、3项结合，2、4项结合，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用减法法则变形，计算即可求出值． 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 9.计算： . 【解】原式 . 10.计算：； 【详解】解： ； 11.计算：． 【答案】-3300 【分析】先将除法变为乘法，再运用乘法交换律进行计算即可. 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除运算，根据有理数的乘除法运算法则，运用乘法交换律简便计算是解题的关键 12.计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 【答案】(1) ，(2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 题型三：乘方分配律及其逆用 13.用简便方法计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式． 14．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 【答案】8 【分析】运用乘法分配律和有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查有理数的运算，掌握相关运算法则是关键． 15.乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示：．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 16．（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据有理数的乘法分配律可进行求解； （2）根据乘法分配律可进行求解． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= ． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，熟练掌握利用乘法分配律、有理数的乘法运算是解题的关键． 17．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）直接利用乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是乘法分配律的灵活应用，熟记乘法分配律是解本题的关键． 18．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）老师布置了一道题目：计算，有两位同学的解法如下： 小明：原式． 小军：原式． (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好 (2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的解法吗如果有，请把它写出来． (3)用你认为最合适的方法计算． 【答案】(1)小军 (2)有，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）小军的方法使用了乘法分配律进行运算，更为方便； （2）可将改写为 再用乘法分配律进行运算更方便； （3）将 改写为后再计算即可． 【详解】（1）解：小军的方法更好； （2）解：有更好的解法： 原式 （3）原式 ． 【点睛】本题考查有理数乘法的简便运算，熟练掌握乘法分配率是本题的解题关键． 19.请你用最合适的方法计算：． 【答案】（1）小军；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据两人得计算过程可以判断出小军的解法较好； （2）观察算式转化成（50-）×（-5），再利用乘法分配律进行计算； （3）将9写成（10-），然后利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）小军的解法较好； （2）小强的解法： ； （3）． 【点睛】本题考查了有理数乘法，掌握乘法分配律的应用，把带分数进行适当的转换是解题的关键． 20.计算：； 【答案】； 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 先将化成，再运用乘法分配律计算即可； 【详解】原式 ； 21.简便运算：； 【答案】(1) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律， 将变形为，再利用乘法运算律进行计算即可； 【详解】解：； 题型四：将带分数拆分 22.阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 23.用拆项法计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据拆项法进行求解即可． 【详解】原式 ． 24．用拆项法计算：：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 25．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 26.（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型五：裂项相消法 27.【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式改写成分母为两个连续整数积的形式，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3）原式 ． 28.请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 29．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下面的解答过程： ，，，将这三个等式的两边分别相加，得． 根据以上材料，解答下列相关问题． (1)填空：___________；（写成减法的形式） (2)计算； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意，求解即可； （2）根据题意，展开每一项，然后求解即可； （3）根据题意，展开每一项，然后求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了有理数加减运算规律，解题的关键是理解题意，对每一项正确的进行分解． 题型六：倒数法 30．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 31计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．求出的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可． 【详解】解：原式的倒数为： ， 故原式． 32．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】解：原式的倒数为 ， 则． 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 33.计算 【答案】 【分析】先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】解：原式的倒数为： ， 故原式． 34．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) 【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． 【详解】（1）解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 巧用六种运算规律简化有理数的计算 题型一：同号相加，同分母相加 题型二：将和（积）为整数的数相结合 题型三：乘方分配律及其逆用 题型四：将带分数拆分 题型五：裂项相消法 题型六：倒数法 题型一：同号相加，同分母相加 1.计算：． 2.计算：； 3.计算： 4.计算： (1)； (2)； 题型二：将和（积）为整数的数相结合 5.计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 6.计算：． 7．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：． 8．（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： 9.计算： . 10.计算：； 11.计算：． 12.计算（能用简便方法的用简便方法） (1) (2) 题型三：乘方分配律及其逆用 13.用简便方法计算：． 14．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 15.乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示：．请运用乘法分配律简便计算： ． 16．（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）计算： (1) (2) 17．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1) (2) 18．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）老师布置了一道题目：计算，有两位同学的解法如下： 小明：原式． 小军：原式． (1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好 (2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的解法吗如果有，请把它写出来． (3)用你认为最合适的方法计算． 19.请你用最合适的方法计算：． 20.计算：； 21.简便运算：； 题型四：将带分数拆分 22.阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 23.用拆项法计算：． 24．用拆项法计算：． 25．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算： 26.（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）用拆项法计算 (1)计算：； (2)计算：． 题型五：裂项相消法 27.【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是_________，是第_________个数； 【方法属示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2）； （3）． 28.请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 29．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下面的解答过程： ，，，将这三个等式的两边分别相加，得． 根据以上材料，解答下列相关问题． (1)填空：___________；（写成减法的形式） (2)计算； (3)计算：． 题型六：倒数法 30．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 31计算： 32．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算：． 33.计算 34．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$