第21章一元二次方程（知识梳理+知识框架+习题精练）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第21章一元二次方程 一、知识框架 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 二、知识梳理 1、一元二次方程的概念 （1）定义等号两边都是整式，只含有一个 （一元），并且未知数的最高次数是 二次）的方程，叫做 注意：一元二次方程的“三要素” 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是叫做 ,a是叫做 ;bx是一次项,b是一次项系数;c是叫做 （2）一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. （3）特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 3 、一元二次方程的解( 根) （1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的叫做 .如x=2和x=5 都是方程的解(根). （2）一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 （3）判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 4、直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用 的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝ ； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝ ． 方程x2＝p的解的情况： 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． 5、配方法 （1）将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 ． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到 ； ③方程两边同时加上 的平方； ④把左边配成一个 ，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程 ． 6、 公式法解一元二次方程 （1）求根公式的推导： 一元二次方程（），可用配方法进行求解：得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时，得：， 即： 2 当时，这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程 ． （2）一元二次方程（）的求根公式 一元二次方程（），当 时，有两个实数根： ， （3）用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式 （）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出 的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则 ． 7 、根的判别式 （1）一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的 ，通常用符号“”表示，记作 ． （2）一元二次方程 根的情况 8、因式分解法 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为 ； 　 　②将方程左边分解为两个 ； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个 ； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法， （平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以 ； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中 ； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化 ；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 9、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 有两个实数根，那么 文字语言：一元二次方程的两个根的和等于 ，两个根的积等于 注意：根与系数的的前提条件是方程有解。 10、几种主要的代数式求值问题 11、列一元二次方程解应用题 审→设→列→解→验→答.即 (1)审：审清题目的各量之间的 ： (2)设：恰当地设出 ，可直接设也可间接设： (3)列：根据问题中的等量关系，列 ； (4)解：求出未知数的 ： (5)验：检验方程的解的正确性及是否符合实际情况； (6)答：写出应用题的答案 12、常见相关问题的数量关系及表示方法 （1）传播问题 传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． （2）增长率问题 增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为 ，n为增长次数，b为增长后的量.) 降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为 ，n为降低次数，b为降低后的量.) （3）面积问题 （4）.数字问题 式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： . （5）利润（销售）问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 三、知识精练 一、单选题 1．下列方程属一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（    ） A．1，5，1 B．0，5， C．1，5， D．0，5，1 3．根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 4．已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的（    ） A． B． C． D． 5．下列方程，最适合用公式法求解的是（    ） A． B． C． D． 6．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 7．设，是一元二次方程的两根，则（　　） A． B． C． D． 8．用配方法解一元二次方程时，若原方程变形为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样，如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（   ） A． B． C． D． 10．阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．如：a﹣1，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（    ）个． ①若x为整数，为负整数，则x＝﹣3；②69；③若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于），则m2+n2+mn的最小值为27． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．方程的解是 ． 12．设，是一元二次方程的两个实数根，若，则的值为 ． 13．设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 15．某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛．设九年级共有x个班．根据题意，可列出方程 ． 三、解答题 16．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，，若，求m的值． 18．新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 19．新能源汽车投放市场后，有效改善了城市空气质量，经过市场调查得知，某市2018年新能源汽车总量达到1200辆，2020年增长到1452辆． (1)若新能源汽车每年的年增长率相同，求新能源汽车数量的年增长率； (2)为鼓励市民购买新能源汽车，该市财政部门决定对2021年增加的新能源汽车给予每辆0.8万元的政府性补贴，在（1）的条件下，求该市财政部门今年需要准备多少补贴资金？ 20．如图所示，中，，．    (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P，Q之间的距离为? (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于? (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 【分析】此题主要考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义即可求解．解题的关键是熟知一元二次方程的定义． 【详解】解：A、属于二元二次方程，故错误； B、属于一元二次方程，正确； C、属于二元一次方程，故错误； D、属于分式方程，故错误； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当时，的取值范围为：，即可． 【详解】由上表可知当，关于的方程的一个解的范围为：， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 根据完全平方公式展开，求出p和q的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程可以配方成的形式， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴代入得， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 5．C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据方程的特点分别判断即可． 【详解】解：A、适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意； B、即适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意； C、适合用公式法求解，故本选项符合题意； D、即，适合直接开平方法求解，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．C 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴或， 解得，． 故选：C 7．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可直接得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，可得： ， 故选：． 8．A 【分析】本题考查解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程，即可． 【详解】解：配方法为：， ， ， ， ∵当原方程变形为时，，， ∴． 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得：， 故选：C． 10．D 【分析】利用题干中的方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，利用整数或整式的性质对每个结论进行判断即可． 【详解】解：∵为负整数， 为负整数， 故①的结论正确； ∵， 又， ∴，且有最小值2， ∴有最大值3， ∴， ∴②的结论正确； ∵， ∴m＝x＋2，n−6＝−（x＋2）， ∴m＝x＋2，n＝4−x． ∴m2＋n2＋mn ＝(m＋n)2−mn ＝36−（−x2＋2x＋8） ＝x2−2x＋28 ＝(x−1)2＋27， ∵(x−1)2≥0， ∴m2＋n2＋mn有最小值为27， ∴③的结论正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减法，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法是解题的关键． 11．，/ 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 根据因式分解法解答． 【详解】解：， ， 或， ，. 故答案为：，． 12．4 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，， ∴． 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解． 【详解】解：、b是方程的实数根， ，， ． 故答案为：． 14．3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：3 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设九年级有x个班参加比赛，根据“赛制为单循环形式，且共需安排15场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意，设九年级有x个班参加比赛， 则列方程为， 故答案为：． 16．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（1）整理后，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）整理后，求出的值，再代入公式求出即可． 本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解： ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 17．(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再由（1）中m的取值范围即可确定m的值． 【详解】（1）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴、， ∴， 解得或． ∵， ∴． 18．(1) (2)或 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 19．(1) (2)116.16万元 【分析】（1）设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为，根据“某市2018年新能源汽车总量达到1200辆，2020年增长到1452辆”，列出方程，进行计算即可解答； （2）根据题意列出式子，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为， 由题意，得， 解得，，（舍去）， 答：今、明两年新能源汽车数量的平均增长率为； （2）解：（万元）， 答：该市财政部门今年需要准备116.16万元补贴资金． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的运用，理解题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．(1)点之间的距离不可能为 (2)秒或秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键． （1）设经过秒，点之间的距离为，根据勾股定理列式求解即可； （2）设经过秒，使的面积等于，根据三角形面积公式列式求解即可； （3）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在射线上；③点在射线上，点在射线上． 【详解】（1）解：设经过秒，点之间的距离为， 则， ， ， 在中，， 故， 化简得：， ， 故方程无解， 故点之间的距离不可能为； （2）解：设经过秒，使的面积等于， 则， ， ， 由题意得：， 解得， 故经过秒或秒，的面积等于； （3）解：①点在线段上，点在线段中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得（舍去），， 故符合题意； ②点在线段上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， ， 解得符合题意； ③点在射线上，点在射线中， 设经过秒，，依题意得： ， ， ， 由题意得：， 解得，（舍去）， 故符合题意； 综上所述，经过秒，秒，秒后的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$