专题2.7 直线与圆的位置关系（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题2.7 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 2 【题型3 圆的切线长问题】 3 【题型4 圆的切线方程的求解】 3 【题型5 已知切线求参数】 4 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 6 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 6 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 7 【题型9 直线与圆中的面积问题】 8 【题型10 直线与圆有关的最值问题】 9 【题型11 直线与圆的方程的实际应用】 9 知识点1 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【变式1-1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【变式1-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【变式1-3】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式2-2】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 知识点2 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【变式3-1】（24-25高二上·河南安阳·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【变式4-3】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【题型5 已知切线求参数】 【例5】（24-25高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【变式5-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·山东青岛·期中）过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 知识点3 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·河南开封·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. (1)当时，求的长； (2)当弦被点P平分时，求直线l的方程. 【变式6-3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 【例7】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7-1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·天津静海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 【变式7-3】（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知一圆过、两点，圆心不在坐标轴上，且在轴上截得的线段长为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于A、两点，且弦的长为，求的值. 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 【例8】（24-25高二上·河北·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型9 直线与圆中的面积问题】 【例9】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高二上·安徽·期末）已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【题型10 直线与圆有关的最值问题】 【例10】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 【变式10-2】（24-25高二上·广西南宁·开学考试）已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 【变式10-3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【题型11 直线与圆的方程的实际应用】 【例11】（24-25高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【变式11-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【变式11-3】（24-25高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 2 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 3 【题型3 圆的切线长问题】 5 【题型4 圆的切线方程的求解】 6 【题型5 已知切线求参数】 8 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 12 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 13 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 17 【题型9 直线与圆中的面积问题】 19 【题型10 直线与圆有关的最值问题】 23 【题型11 直线与圆的方程的实际应用】 27 知识点1 直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【解题思路】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【解答过程】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】C 【解题思路】确定直线过定点，而定点在圆内，从而可得结论． 【解答过程】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5， 直线恒过定点， ，点在圆内，所以直线与圆相交， 故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【解题思路】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系. 【解答过程】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（   ） A．点在圆上，直线与圆相切 B．点在圆内，直线与圆相交 C．点在圆外，直线与圆相切 D．点在圆上，直线与圆相交 【答案】A 【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【解答过程】圆的圆心，半径， 又，所以点在圆上， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：A. 【题型2 根据直线与圆的位置关系求参数】 【例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若直线与圆相切，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用直线和圆相切的条件及点线距离公式列方程可得答案. 【解答过程】因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·重庆北碚·期末）若直线与圆只有一个公共点，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】分析直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式可求的值. 【解答过程】因为直线与圆只有一个公共点，所以直线与圆相切. 又 ，所以圆心为，半径为1. 由 . 故选：C. 【变式2-2】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）“”是直线与圆相交的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【解题思路】根据直线与圆相交的判定方法，以及充分条件和必要条件的定义分别判断即可. 【解答过程】当时，直线为，即，显然此时直线和圆相交， 当直线与圆相交时， 圆心到直线的距离， 化简得，显然恒成立，故不能推出. 所以“”是直线与圆相交的充分非必要条件. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解题思路】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【解答过程】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 知识点2 圆的切线及切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点P的切线方程为. ②经过圆上一点P的切线方程为. ③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为. 【题型3 圆的切线长问题】 【例3】（24-25高二上·贵州贵阳·期末）过点的直线与圆相切于点，则切线段长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【解题思路】求出圆的圆心坐标和半径，求出，根据勾股定理求出. 【解答过程】圆心，半径， ， 由勾股定理得. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·河南安阳·期末）过直线上一动点作圆的一条切线，切点为，则线段长度的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小， 则，所以. 故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，求得圆心的轨迹方程为圆，得到圆上到点的最大距离为，结合圆的切线长公式，即可求解. 【解答过程】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 【题型4 圆的切线方程的求解】 【例4】（24-25高二上·河北石家庄·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】经分析知点在圆上，根据过圆上点的切线与圆心和切点所在直线垂直，得到切线斜率为，结合直线点斜式方程即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为：，故圆心， 点在圆上， 过点P的切线与CP垂直，且 ， 过点的切线斜率为， 故所求直线方程为： ， 整理，得： 故选：A. 【变式4-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由圆E的方程可得圆心E的坐标，将P点的坐标代入圆的方程，可得P点在圆上，求出直线PE的斜率，得到过P点的切线的斜率，再求出过P点的切线方程. 【解答过程】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得. 【解答过程】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切， 则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或， 所以直线的方程为或. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 【题型5 已知切线求参数】 【例5】（24-25高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由结合切线长定理可得，再借助圆心到直线的距离建立不等式求解. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足，于是点到该直线的距离， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（    ） A．或 B．1或 C．或3 D．或 【答案】C 【解题思路】借助圆心到切线的距离等于半径，计算即可得. 【解答过程】由圆心为，半径为， 即， 则， 解得或. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线，圆，若在直线上存在一点，使得过的圆C的切线（为切点）满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】连接，结合圆的切线性质可推得点在以点为圆心，为半径的圆上，再由题意可知该圆与直线有公共点，利用点到直线的距离公式列不等式，即可求得答案. 【解答过程】连接，则.圆的圆心为，半径为； 又，所以四边形为正方形，所以， 于是点在以点为圆心，为半径的圆上. 则该圆与直线有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二上·山东青岛·期中）过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由切线长及勾股定理可得，可得点轨迹方程为一个圆，结合点在直线上，进而可得此圆与直线相交，由列式求解即可. 【解答过程】如图所示， 由题意知，的圆心，半径，设， 因为，， 所以点轨迹方程为， 又因为点在直线上，且使得切线长的点有两个， 所以与相交， 又因为圆心到直线距离为， 所以，即，解得. 故选：A. 知识点3 圆的弦长 1．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A，B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 2．解与圆有关的最值问题 (1)利用圆的几何性质求最值的问题 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. ①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离； ②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r； ③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r. (2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. ①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. ②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. ③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 【题型6 求圆的弦长与中点弦】 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）直线被圆所截得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心到直线的距离，再根据半径为5，利用弦长公式求得弦长． 【解答过程】圆心到直线的距离为，圆的半径， 故弦长为， 故选：C． 【变式6-1】（24-25高二上·河南开封·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【解答过程】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·四川自贡·期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. (1)当时，求的长； (2)当弦被点P平分时，求直线l的方程. 【答案】(1)) (2) 【解题思路】（1）写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长； （2）求出圆心与点连线斜率，从而得直线l斜率，得直线方程； 【解答过程】（1）由题意直线的斜率为，直线方程为，即， 圆心为，圆半径为， 到直线距离为， 所以； （2）弦AB被点P平分，则，又，所以， 直线方程为，即. 【变式6-3】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 【答案】(1)或； (2)最大，此时. 【解题思路】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【解答过程】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 【题型7 已知圆的弦长求方程或参数】 【例7】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【解答过程】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为. 把，代入可得.   当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时不满足条件.   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.对进行求解. 两边平方得，展开得. 解得或.   当时，直线的方程为，即. 当时，直线的方程为，即.   故选：A. 【变式7-1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可得圆心到直线的距离，结合弦长可得，代入求解即可. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得：，解得， 即，整理可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·天津静海·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆所截得弦长为8，求该直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【解题思路】（1）设出圆的标准方程为，并将与坐标代入并结合圆心在直线上，即可求解. （2）分情况讨论直线斜率是否存在，再结合直线与圆相交弦长公式建立相关等式，即可求解. 【解答过程】（1）设圆的标准方程为，得到圆心坐标为，半径为， 将与坐标代入圆方程得：， ， 消去，整理得：， 将圆心坐标代入得：， 联立①②解得：，， ， 则圆的标准方程为． （2）当直线的斜率存在时，设过点的直线， 圆半径为5，弦长为8， 圆心到直线的距离， 由，解得， 直线方程为，即． 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 直线与圆的交点坐标为，， 直线被圆所截得的弦长为8； 故直线的方程为或． 【变式7-3】（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知一圆过、两点，圆心不在坐标轴上，且在轴上截得的线段长为. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于A、两点，且弦的长为，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设圆的方程为，根据弦长可得，将坐标代入列式求解即可； （2）根据弦长可得圆心直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 令，得， 可知方程有2个根，则， 据题设知， 可得， 将坐标代入得，解得或， 故所求圆的方程为或， 即或， 又因为圆心不在坐标轴上，所以圆的方程为. （2）由（1）可知：圆心为，半径， 则圆心直线的距离， 因为弦的长为，则，可得， 即，整理可得，解得. 【题型8 直线与部分圆的相交问题】 【例8】（24-25高二上·河北·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题设易得直线为恒过点的直线，曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），进而结合图象求解即可. 【解答过程】由，得， 则曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），如图， 直线为恒过点的直线， 结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时； 当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时， 综上所述，所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【解答过程】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围. 【解答过程】曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点）， 在坐标平面内作出半圆及直线， 当直线与半圆相切时，且，则， 当直线过点时，，即，此时该直线与半圆有一个公共点， 当直线在直线与之间平行移动时，直线与半圆始终有公共点， 此时直线的纵截距在到之间， 当直线在直线与所夹区域外移动时，该直线与半圆无公共点， 所以直线与曲线有公共点，. 故选：B. 【变式8-3】（24-25高二·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和去掉的绝对值，作出直线与曲线的图象，根据图象求解. 【解答过程】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图象如图所示： 当直线位于与之间或与之间时， 直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切， 则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是. 故选：C. 【题型9 直线与圆中的面积问题】 【例9】（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出圆心坐标和半径，推导出，可得出，设，利用二倍角公式计算出的值，进而可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【解答过程】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 由圆的几何性质可得，，，， 所以，，所以，， 设，则， 因为。 易知为锐角，则，， 所以，， 因此，. 故选：C. 【变式9-1】（24-25高二上·安徽·期末）已知是圆上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意知四边形的外接圆的直径为，设圆的圆心为,半径为，则，进而可求四边形的外接圆的面积的最大值. 【解答过程】圆，即为，圆心， 圆即为，设圆心为,半径为，则，， 因为是圆上一动点， 所以. 因为 为四边形的外接圆的直径. 所以四边形的外接圆的面积的最大值为. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点，，在圆上，点为圆心． (1)求圆的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据圆的对称性可确定圆心为线段垂直平分线的交点，由此可求得圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程； （2）根据垂直关系可求得切线长，根据四边形面积可求得结果. 【解答过程】（1）由圆的对称性可知：圆心为线段垂直平分线的交点， ，线段中点为，线段垂直平分线方程为：，即， 又线段的垂直平分线为，，圆的半径， 圆的方程为：. （2） ，，， ，， 四边形的面积. 【变式9-3】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，圆 (1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； (2)已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【解题思路】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【解答过程】（1）直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 【题型10 直线与圆有关的最值问题】 【例10】（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式10-1】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【解题思路】由相切的关系可得出都是直角三角形，根据几何关系可知四边形的面积取决于M的位置，可得当时四边形面积可取得最小值，进而求出此时四边形面积的值. 【解答过程】如图所示， 因为MC，MD都与圆相切，所以， 因为在Rt和Rt中，，OM为公共边， . 又因为， 所以当取得最小值时，面积最小， 此时四边形面积也取得最小值， 又由勾股定理，， 所以当取最小值时，最小. 由题意，当时，取得最小值，， 所以此时，， 故四边形面积的最小值. 故选：D. 【变式10-2】（24-25高二上·广西南宁·开学考试）已知圆：，直线：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标， 【答案】(1)或 (2)， 【解题思路】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可， （2）当时，直线的方程为，而四边形的面积，由圆的性质可得当最小时，切线长最短，此时，求出直线的方程，联立两直线方程可得点的坐标. 【解答过程】（1）由已知，圆心到直线：的距离等于半径， 即. 解得：或. （2）当时，直线的方程为，四边形的面积 ∵为直角三角形， 当最小时，切线长最短，显然当时， ∴ 四边形的面积最小值为. 此时，，， ∴直线：，即. 由，解得，即. 【变式10-3】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【解题思路】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【解答过程】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 【题型11 直线与圆的方程的实际应用】 【例11】（24-25高二上·安徽芜湖·期末）“陶辛水韵”于1999年被评为芜湖市新十景之一，每年入夏后，千亩水面莲叶接天，荷花映日，吸引远道游客纷至沓来，坐上游船穿过一座座圆拱桥，可以直达“香湖岛”赏荷．圆拱的水面跨度20米，拱高约5米．现有一船，水面以上高3米，欲通过圆拱桥，船宽最长约为（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，根据已知条件求出圆的方程为.代入，得出，即可得出答案. 【解答过程】 如图，拱形桥， 以所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，如图建立平面直角坐标系， 则，，，圆心在轴上，设为， 则有，即， 整理可得，解得， 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的方程为. 设，则有，解得. 所以，要使小船通过圆拱桥，船宽最长为. 因为，所以. 故选：B. 【变式11-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【解题思路】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解答过程】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式11-2】（24-25高二上·上海·期中）某高速公路隧道内设双行线公路，某截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成，已知隧道总宽度米，行车道总宽度米，和为相对的两个车道，侧端面米，弧顶高米. (1)求圆弧所在圆的半径的长度； (2)为进一步保证安全，要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米，则该隧道应规定的车辆限制高度为多少米. 【答案】(1)半径为； (2) 3.5米 【解题思路】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设圆的方程为，通过，在圆上，求出参数值，即可得到半径； （2）设限高为，作交圆弧于，则，将的横坐标代入圆的方程，求出，然后求出限高． 【解答过程】（1）由题，设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的直角坐标系， 因为，和为相对的两个车道，侧墙面米，弧顶高米， 则，，， 易知圆心在轴上，设圆的方程为， 又，在圆上，则， 解得：，， 所以，圆弧所在圆的半径为； （2）设限高为，作交圆弧于，则， 由（1）知，圆的方程为：， 将的横坐标代入圆的方程， 有，解得：或（舍， 所以， 即车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 【变式11-3】（24-25高二上·吉林·期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点． (1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程； (2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【解答过程】（1）如图，分别以，所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得． 因为点P需在矩形场地内，所以， 故所求轨迹方程为． （2）当线段与（1）中的圆相切时，， 所以，所以． 若机器犬在线段上都能逃脱，则N点横坐标的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$