浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 一、选择题(每小题3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 2． 在，，，0四个数中，最大的数是（　　） A． B． C． D．0 3． 我们从电视上看到一些大型比赛，通常有若干个评委现场打分，在公布得分时，主持人会说：“去掉一个最高分，去掉一个最低分，×××的最后得分是”根据你的经验，去掉一个最高分和一个最低分之后，统计量一定不会发生变化的是（　　） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 4． 已知平行四边形的最小内角为，则该平行四边形的最大内角的度数是（　　） A． B． C． D． 5． 若反比例函数 () 的图象经过点 ，则图象必经过点（　　） A． B． C． D． 6． 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 7． 如图，已知，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使成为正方形. ①；②；③；④ . 则下列四种选法中错误的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8． 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数 () 的图象恰好经过正方形ABCD的中心点E（即对角线的交点）. 则k的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 9． 已知 ，，三点在反比例函数 的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 10． 将四块直角三角形按图示方式围成，其中，，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若要求出的面积，则只需知道（　　） A．AB的长 B．BC的长 C．AE的长 D．ED的长 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　． 12． 已知 ，则 m 的值为　 　. 13． 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离S(m)成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为40N时，此物体在力的方向上移动的距离是　 　 m. 14． 如图，在▱ABCD中，，，的平分线交AD于点E，的平分线交AD于点F，则线段EF的长是　 　. 15． 如图，由两个全等菱形（菱形ABCD与菱形EFGH）组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形（阴影部分），点A，C在EG上，点F，H在BD上，若，则BD的长为　 　. 16． 如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在边AD，AB上，，把沿EF折叠，点A恰好落在边BC上的点G处，连接EG，FG，延长FE交CD的延长线于点H，若，则BF的长为　 　. 三、解答题(本大题有8小题，共72分) 17．计算： （1） . （2） . 18．解方程： （1） . （2） . 19．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按条件画图，要求所画图形的顶点均在格点上. （1）在图 1 中以线段 AB 为边画一个面积为 12 的平行四边形 ABCD. （2）在图 2 中以线段 AB 为边画一个面积为 8 的菱形 ABEF. 20．某校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名参加了三项素质测试，各项得分如下表（单位：分）. 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 84 89 73 丙 80 78 85 （1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，82分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序. （2）如果学校认为这三项的重要程度有所不同，每位应聘者的价格文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按5：2：3的比例计算成绩，并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分.问谁能成功应聘？ 21．在中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF. （1） 求证： 四边形DEBF是平行四边形. （2） 求证： . 22．小明准备进行如下实验操作：把一根长为 32cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 . 你认为他的说法正确吗？请说明理由. 23．在直角坐标系中，反比例函数 ( 为常数，) 的图象与一次函数 (， 为常数，) 的图象交于点 ，. （1） 求 m 的值和一次函数的表达式. （2） 当 时，直接写出 x 的取值范围. （3） 若点 和点 在函数 的图象上，且 ，设 ，当 时，求 P 的取值范围. 24．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，点F在边CB的延长线上，且，连接EF交边AB于点N，过点A作，垂足为H，交BC于点M，连结BH. （1） 求的度数. （2） 当，时，求BM的长. （3） 若点M是BC的中点，求证：. 答案解析部分 浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 一、选择题(每小题3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任．下列四幅图是垃圾分类标志图案，每幅图案下配有文字说明．则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．有害垃圾 B．可回收物 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【答案】A 【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】A.既是轴对称图形也是中心对称图形 B.不是轴对称图形也不是中心对称图形 C.是轴对称图形而不是中心对称图形 D.不是中心对称图形也不是轴对称图形 故答案为：A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知． 2． 在，，，0四个数中，最大的数是（　　） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【解析】【解答】解：∵，， ∴-3<0<3， ∴ ∴最大的数是：. 故答案为：B. 【分析】分别计算每个数的值，再比较大小. 3． 我们从电视上看到一些大型比赛，通常有若干个评委现场打分，在公布得分时，主持人会说：“去掉一个最高分，去掉一个最低分，×××的最后得分是”根据你的经验，去掉一个最高分和一个最低分之后，统计量一定不会发生变化的是（　　） A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数 【答案】D 【知识点】中位数 【解析】【解答】解：得分按从大到小或从小到大顺序排列后，去掉一个最高分和一个最低分，处于中间位置的数据不受影响， ∴中位数不变. 故答案为：D. 【分析】中位数是将一组数据按从大到小或从小到大顺序排列后，只与最中的数据有关，去掉首尾数据不影响其中间数据即可. 4． 已知平行四边形的最小内角为，则该平行四边形的最大内角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平行四边形的性质 【解析】【解答】解：根据平行四边形邻角互补，根据题意得： 该平行四边形最大角的度数为180°-60°=120° 故答案为：B. 【分析】根据平行四边形的性质分析即可. 5． 若反比例函数 () 的图象经过点 ，则图象必经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【解答】解：∵反比例函数(k≠0)的图象经过点(-4，3)， ∴k=3×(-4)=-12， ∴反比例函数， ∴当x=-3时，y=4，故选项A不符合题意； 当x=3时，y=-4，故选项B符合题意； 当x=-6时，y=2，故选项C不符合题意； 当x=2时，y=-6，故选项D不符合题意， 故答案为：B. 【分析】根据反比例函数(k≠0)的图象经过点(-4，3)，可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意. 6． 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2+3x-m2=0， ∴Δ=32-4×1×(-m2)=9+4m2≥9>0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：C. 【分析】先计算根的判别式，再利用配方的办法确定根的判别式与0的关系，最后得结论. 7． 如图，已知，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使成为正方形. ①；②；③；④ . 则下列四种选法中错误的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】C 【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质 【解析】【解答】解：A、四边形ABCD是平行四边形， 当①∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当②AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项不符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形， 当①∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当③AB=BC时，矩形ABCD是正方形，故此选项不符合题意； C、四边形ABCD是平行四边形， 当②AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， 当③AB=BC时，菱形ABCD不判定是正方形，故此选项符合题意； D、四边形ABCD是平行四边形， ③AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当④AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可. 8． 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作正方形ABCD，反比例函数 () 的图象恰好经过正方形ABCD的中心点E（即对角线的交点）. 则k的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：作DF⊥x轴于点F， 在y=-3x+6中，令x=0，则y=6，即B(0，6)， 令y=0，则x=2，即A(2，0)， 则OB=6，OA=2， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAO+∠DAF=90°， ∵Rt△ABO中，∠BAO+∠DAF=90°， ∴∠DAF=∠OBA， 在△OAB与△FDA中， ∴△OAB≌△FDA(AAS)， ∴AF=OB=6，DF=OA=2， ∴OF=8， ∴D(8，2)， ∴正方形ABCD的中心点E的坐标为(4，4)， ∵反比例函数(x>0)的图象经过点E， ∴k=4×4=16. 故答案为：D. 【分析】作DF⊥x轴于点F，先求出A、B两点的坐标，故可得出OB=6，OA=2，再根据AAS定理得出△OAB≌△FDA可得出OF的长，进而得出D点坐标，进一步求得点B的坐标，把B点坐标代入反比例函数的解析式求出k的值即可. 9． 已知 ，，三点在反比例函数 的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】B 【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：由题知， 当m<-1时，A，B，C三点都在第二象限， ∵m-2<m<m+1， ∴0<y1<y2<y3， 故A选项不符合题意. 当-1<m<0时，点A，B在第二象限，点C在第四象限， ∴y3<0<y1<y2. 故B选项符合题意. 当0<m<2时，点A在第二象限，点B和点C在第四象限， ∴y2<y3<0<y1. 故C选项不符合题意. 当m>2时，点A，B，C都在第四象限， ∴y1<y2<y3<0. 故D选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次判断即可. 10． 将四块直角三角形按图示方式围成，其中，，其内部四个顶点构成正方形EFGH，若要求出的面积，则只需知道（　　） A．AB的长 B．BC的长 C．AE的长 D．ED的长 【答案】A 【知识点】三角形的面积；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°， ∴∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°， ∵∠ABF=45°， ∴AF=BF， ∵△ABF≌△CDH ∴AF=BF=CH=DH， 设EF=FG=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y， ∴BG=DE=x+y，AE=CG=x-y，AF2+BF2=2y2=AB2， ∴的面积=2△ABF的面积+2△BCG的面积+正方形EFGH的面积 ， 故答案为：A. 【分析】根据正方形的性质得到EF=FG=HG=EH，∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°，求得∠AED=∠AFB=∠CHD=∠AED=90°，得到AF=BF，根据全等三角形的性质得到AF=BF=CH=DH，设EF=FC=HG=EH=x，AF=BF=CH=DH=y，根据三角形的面积公式和勾股定理得到的面积= AB2，即可得到答案. 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　． 【答案】 【知识点】二次根式有无意义的条件 【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数不能为负数”，列出关于字母x的不等式，解不等式即可． 12． 已知 ，则 m 的值为　 　. 【答案】1 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：(x-3)2+m=x2-6x+9+m， ∴9+m=10， ∴m=1 故答案为：1. 【分析】通过将左边二次多项式转化为右边的完全平方形式，比较两边的常数项来求解m的值. 13． 在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离S(m)成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力为40N时，此物体在力的方向上移动的距离是　 　 m. 【答案】15 【知识点】反比例函数的实际应用 【解析】【解答】解：∵力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系， ∴其函数关系式为(k≠0)， ∵点(20，30)是反比例函数图象上的点， ∴k=20×30=600， ∴此函数的解析式为， 把F=40N代入函数关系式得， ∴s=15m. ∴此物体在力的方向上移动的距离是15m， 故答案为：15. 【分析】首先利用给定的点(20，30)求出常数k，然后利用求得的k值和给定的力F=40N计算出距离s. 14． 如图，在▱ABCD中，，，的平分线交AD于点E，的平分线交AD于点F，则线段EF的长是　 　. 【答案】3 【知识点】平行四边形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DFC=∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF=∠FCB， ∴∠DFC=∠DCF， ∴DF=DC， 同理可证：AE=AB， ∵AB=6，AD=BC=9， ∴2AB-BC=AE+FD-BC=EF=3 故答案为：3. 【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC=∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，则∠DFC=∠DCF，则DF=DC，同理可证AE=AB，那么EF就可表示为AE+FD-BC=2AB-BC，继而可得出答案. 15． 如图，由两个全等菱形（菱形ABCD与菱形EFGH）组成的“四叶草”图案，其重叠部分是正八边形（阴影部分），点A，C在EG上，点F，H在BD上，若，则BD的长为　 　. 【答案】 【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】解：设BC交EH于点L，连结CH， ∵菱形ABCD与菱形EFGH全等，且重叠部分是正八边形， ∴AB=FE，∠ABC=∠FEH，CB=HE， 在△ABC和△FEH中， ∴△ABC≌△FEH(SAS) ∴AC=FH， ∵AC⊥BD，，， ∴∠EOH=90°，OC=OH， ∴CL=HL，EH=GH，， ∴ ∴CH=CE=1， ∵， ∴ ∴， 在Rt△BOC和Rt△EOH中， ∴Rt△BOC≌Rt△EOH(HL)， ∴ ∵OD=OB， ∴ 故答案为：. 【分析】设BC交EH于点L，连结CH，因为菱形ABCD与菱形EFGH全等，且重叠部分是正八边形，所以AB=FE，∠ABC=∠FEH，CB=HE，可证明△ABC≌△FEH得，AC=FH，推导出∠EOH=90°，OC=OH，由CL=HL， EH=GH，∠CLH=∠EHG=135°，求得∠CHE=∠LCH=∠CEH=∠HGE=22.5°，则CH=CE=1，由，求得，则，再根据“HL”证明Rt△BOC≌Rt△EOH，进而即可得出结论. 16． 如图，在矩形ABCD中，，点E，F分别在边AD，AB上，，把沿EF折叠，点A恰好落在边BC上的点G处，连接EG，FG，延长FE交CD的延长线于点H，若，则BF的长为　 　. 【答案】 【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系 【解析】【解答】解：延长HF交BC的延长线于点M，过点E作EK⊥BC于K，则∠EKB=∠EKG=90°，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠ABC=∠BCD=90，AB//CD，AD//BC，AD=BC=9， ∴∠HDE=∠FBM=90°，∠H=∠BFM ∵DH=BF， ∴△DEH≌△BMF(ASA)， ∴DE=BM=2， ∴CM=BC+BM=9+2=11， ∵AD=9，DE=2， ∴AE =7， ∵AD//BC， ∴∠AEM=∠M， 由折叠可得EG=AE=7，∠AEM=∠GEM，AF=GF， ∴∠M=∠GEM， ∴EG=MG=7， ∴BG=MG-BM=7-2=5， ∵∠ABC=∠A=∠EKB=90° ∴四边形ABKE是矩形， ∴AB=EK，BK=AE=7. ∴KG=BK-BG=7-5=2， ∴， ∴， 设BF=x，则， ∵BF2+BG2=GF2， ∴， 解得 ∴ 故答案为：. 【分析】延长HF交BC的延长线于点M，过点E作EK⊥BC于K，则∠EKB=∠EKG=90°，证明△DEH≌△BMF(ASA)，可得DE=BM=2，由折叠可得EG=AE=7，∠AEM=∠GEM，AF=GF，从而求得BG=MG-BM=7-2=5，再由勾股定理求出，设BF=x，由勾股定理列方程可求出BF. 三、解答题(本大题有8小题，共72分) 17．计算： （1） . （2） . 【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= . 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】(1)先化简二次根式，计算乘法，再算加法即可； (2)根据完全平方公式计算，同时化简二次根式，然后算加减法即可. 18．解方程： （1） . （2） . 【答案】（1）解：，， ， ； （2）解：， a=2，b=-3，c=-4， ，. 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】(1)利用因式分解求解即可； (2)利用公式法即可求解. 19．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为 1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按条件画图，要求所画图形的顶点均在格点上. （1）在图 1 中以线段 AB 为边画一个面积为 12 的平行四边形 ABCD. （2）在图 2 中以线段 AB 为边画一个面积为 8 的菱形 ABEF. 【答案】（1）解：如图，四边形ABCD 为所求作的四边形； （2）解：如图，四边形 ABEF 为所求作的四边形. 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定 【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定与性质画图即可； (2)根据菱形的判定作图即可. 20．某校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名参加了三项素质测试，各项得分如下表（单位：分）. 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 84 89 73 丙 80 78 85 （1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，82分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序. （2）如果学校认为这三项的重要程度有所不同，每位应聘者的价格文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按5：2：3的比例计算成绩，并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分.问谁能成功应聘？ 【答案】（1）解：丙的平均分=（分）. 平均分从高到低排序为：乙，丙，甲. （2）解：因为乙的创意设计能力低于75分，所以乙首先被淘汰， 甲的加权平均分是：（分）， 丙的加权平均分是：（分）， 因为甲的加权平均分高，所以甲将成功应聘. 【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算 【解析】【分析】(1)利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； (2)利用加权平均数公式求解，即可判断. 21．在中，点E，F分别在AB，CD上，且AE=CF. （1） 求证： 四边形DEBF是平行四边形. （2） 求证： . 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，. ∵AE=CF， ∴BE=DF， ∴四边形BEDF是平行四边形. （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=CB，∠A=∠C， 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF(SAS)， ∴∠AED=∠BFC 【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系 【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，进而即可证明四边形DEBF是平行四边形； (2)由平行四边形的性质得AD=CB，∠A=∠C，再根据SAS证明△ADE≌△CBF，即可求解. 22．小明准备进行如下实验操作：把一根长为 32cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，则这两个正方形的边长各是多少？ （2）小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于 . 你认为他的说法正确吗？请说明理由. 【答案】（1）解：设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为.依题意列方程得. 整理得：， ， 解方程得，， 因此这两个正方形的边长分别是3cm，5cm. （2）解：两个正方形的面积之和不可能等于.理由： 若两个正方形的面积和为，则 ， ， ， 此方程无解， 两个正方形的面积之和不可能等于. 【知识点】一元二次方程的应用-几何问题 【解析】【分析】(1)设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(8-x)cm，根据题意得到方程，解方程即可得到结论； (2)根据两个正方形的面积和为30cm2，得到x2+(8-x)2=30求出b2-4ac<0，得到此方程无解，于是得到结论. 23．在直角坐标系中，反比例函数 ( 为常数，) 的图象与一次函数 (， 为常数，) 的图象交于点 ，. （1） 求 m 的值和一次函数的表达式. （2） 当 时，直接写出 x 的取值范围. （3） 若点 和点 在函数 的图象上，且 ，设 ，当 时，求 P 的取值范围. 【答案】（1）解：将点A坐标代入反比例函数表达式得：， 所以反比例函数的表达式为. 将点B坐标代入反比例函数表达式得：， 所以点B的坐标为（-3，-2）. 将A，B两点坐标代入一次函数表达式得： ，解得， 所以一次函数的表达式为. （2）解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是：或. （3）解：∵点M(a，b)和点N(c，d)在函数y1的图象上， ∴，， 由a+c=6得：c=6-a， ∴， ∴1<a<c<5， ∴1<a<6-a<5， ∴1<a<3， ∴， ∴P的取值范围为. 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】【分析】(1)先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式后，再将点B坐标代入反比例函数解析式，最后把A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； (2)利用数形结合的数学思想即可解决问题； (3)根据题意先推出推出1<a<c<5，进而即可得P的取值范围. 24．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，点F在边CB的延长线上，且，连接EF交边AB于点N，过点A作，垂足为H，交BC于点M，连结BH. （1） 求的度数. （2） 当，时，求BM的长. （3） 若点M是BC的中点，求证：. 【答案】（1）解：如图，连接AF， 在正方形ABCD中，，， ， ， 在和中 ， ，， ， ， . （2）解：如图，作于点N，且， ∴四边形是矩形， ，， ， ，， 又，， ， ， ， . （3）解：如图，连接EM， 是BC的中点， ， 设BM=CM=a，DE=BF=b， 则AB=CD=BC=2a，EC=2a-b，FM=a+b， 由（1）知，AH垂直平分EF， ， 在中，， ， ， ， 又由（2）知，EI=BM， ， ， ， 取EC的中点K，连接HK，取FC的中点G，连接HG， 则HK，HG为的中位线， ，，可得四边形HGCK为矩形， ，， ， ， ， ， ， . . 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理 【解析】【分析】(1)连接AF，证明△ABF和△ADE全等得AE=AF，∠BAE=∠DAE，进而可证明∠EAF=90°，则△AEF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质即可得出∠AEF的度数； (2)过点N作NI⊥CD于点I，则四边形BCIN是矩形，EI=CE-CI=10，证明△ABM和△NIE全等得BM=EI，由此即可得出BM的长； (3)连接EM，设EC中点为K，连结HK，设FC中点为G，连结HG，设BM=a，DE=BF=b，则 BM=CM=a，AB=CD=BC=2a，EC=2a-b，FM=a+b，FC=2a+b，由(1)知AH垂直平分EF，则EM=FM=a+b，在Rt△EMC中，由勾股定理得2a=3b，进而得EC=2a-b=2b，FC=2a+b=4b，BC=CD=3b，由(2)知El=BM=a，则BN=IC=EC-El=a-b，继而得AN-BN=AB-2BN=2b，再根据三角形中位线定理得四边形HGCK为矩形，则，，在Rt△BHG中，由勾股定理得，则，由此即可得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$