第4章 平面直角坐标系（复习讲义）数学苏科版2024八年级上册

第四章 平面直角坐标系（复习讲义） 1. 会正确画出平面直角坐标系，会利用平面直角坐标系确定点的位置； 2. 会在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，会根据点的位置写出点的坐标； 3. 能根据实际问题的需要建立适当的平面直角坐标系，将实际问题数学化，利用平面直角坐标系解决简单的实际问题； 4. 知道点的平移与坐标变化的特点及关于坐标轴成轴对称的点的坐标之间的关系； 知识点 重点归纳 常见易错点 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系： 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系。简称为直角坐标系。 2. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。 象限的顺序是从右上角开始，按逆时针方向排序 点的坐标 1. 点的坐标的概念： 在平面直角坐标系中，用有序实数对可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用有序实数对来表示，这样的有序实数对称为点的坐标。其中称为点的横坐标，成为点的纵坐标。 2.确定点的坐标的方法： （1）过该点向横轴作垂线，垂足在横轴上对应的实数就是点的横坐标； （2）过该点向纵轴作垂线，垂足在纵轴上对应的实数就是点的纵坐标； （3）把横坐标写在前面，纵坐标写在后边，中间用逗号隔开，并用小括号将它们括起来，就是该点的坐标。 3.由点的坐标确定点的位置的方法： （1）过横轴上表示实数的点作横轴的垂线； （2）过纵轴上表示实数点作纵轴的垂线； （3）两条垂线的交点即为点的位置。 点的坐标与点到坐标轴的距离的关系容易弄错，要结合图形理解，特别是根据点到坐标轴的距离写出满足条件的点的坐标要分类讨论 点的坐标的特征 1.象限内的点 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 数学结合牢记点的坐标特征，不要死记硬背 2.坐标轴上的点 x轴 y轴 3. 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线第二、四象限角平分线 平移与坐标变化 负减正加 轴对称与坐标变化 1.关于轴对称的点的坐标为； 2.关于轴对称的点的坐标为； 3.关于原点对称的点的坐标为； 记忆口诀：关于谁，谁不变，另一个，变相反，关于原点，都相反。最重要的是数形结合，理解记忆！ 题型一 位置的确定 【例1】江西省丰城市是干将、莫邪宝剑藏地，又名“剑邑”，以下能准确表示丰城市地理位置的是（   ） A．东接抚州市 B．北纬 C．距离南昌60公里处 D．东经，北纬 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】此题主要考查了确定地理位置，解答此题的关键是熟知地理上关于某点的表示方法． 根据在地理上常用经纬度来表示某个点的位置，既有经度，又有纬度进行求解即可． 【详解】解：根据地理上表示某个点的位置的方法可知选项D符合条件． 故选：D． 【变式1-1】A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（    ） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了写出图中点的位置，根据图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，A地的位置是东经，北纬， 故选：D． 【变式1-2】在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键．根据题干中的例子，分别判断每个选项即可． 【详解】解：由题意可得： A、点D中数对位置颠倒，故不符合题意； B、点E表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； C、点F表示从开始顺时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意； D、点G表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置相符，故符合题意； 故选：D． 题型二 点的坐标与点到坐标轴的距离 【例2】在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相同是解题的关键． 根据平行于x轴的线段纵坐标相等，结合两点间距离公式求解． 【详解】解：∵轴， ∴点A与点B的纵坐标相同． ∵点， 故点A的纵坐标为． ∵ ∴ 解得：或， ∴点A的坐标为或． 故选：B． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，第一象限内的点距离轴个单位长度，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第一象限内的点的坐标特点，点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，第一象限内的点横纵坐标都为正，据此求解即可． 【详解】解：∵第一象限内的点到轴的距离是个单位长度， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2-2】点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据第四象限点的横坐标为正数，纵坐标为负数，进行作答即可． 【详解】解：∵点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴点的坐标是， 故选：A 题型三 根据坐标判断点所在象限 【例3】下列哪个点在第四象限（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：．根据第四象限内点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）进行判断． 【详解】第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负． 选项A：，横纵坐标均为正，属于第一象限，排除． 选项B：，横坐标正，纵坐标负，符合第四象限的特征． 选项C：，横坐标负，纵坐标正，属于第二象限，排除． 选项D：，横纵坐标均为负，属于第三象限，排除． 故选B． 【变式3-1】若点在第三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据第三象限点的坐标特征确定a、b的符号，再分析点B的坐标符号即可判断所在象限． 【详解】解：点在第三象限， 横坐标，纵坐标， ， 点在第四象限． 故选D． 【变式3-2】平面直角坐标系中的点一定不在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与象限的关系，以及如何通过代数不等式判断点可能所在的象限．明确各象限坐标符号特征∶第一象限第二象限，第三象限，第四象限 ．分析点的坐标符号，分别假设点P在四个象限，建立不等式组，判断是否存在解．若某个象限对应的不等式组无解，则点P一定不在该象限． 【详解】解：假设点P在第一象限： 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 假设点P在第二象限 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 假设点P在第三象限 则且， 解不等式∶ 且，矛盾，无解． 假设点P在第四象限： 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 综上，点一定不在第三象限． 故选：C． 题型四 根据点所在象限求参数范围 【例4】在平面直角坐标系中，若点位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正，列出关于m和n的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限点的坐标特征，横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴ 即， 故选：B 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标特征，解一元一次不等式组，根据题意列出关于a的不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 在数轴上表示为： 故选：A． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，若点位于第四象限，则点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据第四象限点的坐标符号特征确定m、n的取值范围，再判断点的横纵坐标符号，确定所在象限。 【详解】解：∵点位于第四象限， ∴，， 解得，， ∴，， ∴点在第三象限， 故选：C． 题型五 点的平移与坐标变化 【例5】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：把原点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为， 故答案为：． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． 根据向左边平移，点的纵坐标不变可得点的纵坐标为3 ，根据向上平移，点的横坐标不变可得点的横坐标为4，由此即可得． 【详解】解：∵将点向左平移可得到点， ∴点的纵坐标为， ∵将点向上平移可得到点， ∴点的横坐标为4， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式5-2】如图，已知点，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，且，则四边形的周长为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移、利用平移的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由坐标可得，，从而得出，由平移的性质易证四边形是平行四边形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：， ，， ， ， ， 由平移的性质可知，，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为， 故答案为：． 题型六 点的对称与坐标变化 【例6】在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式6-1】若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称、已知字母的值 ，求代数式的值、求一个数的立方根 【分析】本题考查关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根，掌握关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根是解题关键．根据关于轴对称的两点坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出、的值，进而求出，最后根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 的立方根为， 故答案为：． 【变式6-2】如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    【答案】点 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、坐标系中的对称 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是根据题意，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，根据平面直角坐标系的性质，找到坐标原点，即可． 【详解】解：其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 如图所示：点和点关于轴对称， ∴当原点为点时，其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称， 故答案为：点．    题型七 中点坐标问题 【例7】如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，点的纵坐标与点的纵坐标相等，从而即可得到点的坐标． 【详解】解：，， ， 为平行四边形， ，， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式7-1】如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及中点坐标公式，熟练掌握平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键；因此此题可根据中点坐标公式可进行求解． 【详解】解：连接，交于一点E，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴点E为的中点， 设，则有： ，解得：； ∴， 故答案为． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，点，，若三角形的面积为6，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握平面直角坐标系中点的坐标特征、三角形和梯形面积计算公式是解题的关键． 分为 两种情况，画图求出、、，根据列方程求出值即可． 【详解】解：如图，当时，过点作轴的垂线，垂足为点， ， ， ，， ∵， ， 解得 如图， 当时，过点作轴的垂线交轴于点，交过点平行于轴的直线于点， ，， ， ， ， ， 解得 综上， 或， 故答案为： 或． 题型八 坐标规律问题 【例8】2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“箭头”方向飞行，根据这个规律，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得，点，而，据此得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现： ，，，，…… ∴点，点 ∵， ∴点． 故答案为：． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D→A路径循环运动，则第2025秒时点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，，则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度，即第2025秒点所在的位置是， 故答案为：． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，根据点，，，，，，，，，得点的纵坐标个点一循环，从而求出点为，然后根据规律即可得出点的坐标，解题的关键是根据点的变化得到规律． 【详解】解：∵点，，，，，，，，， ∴点的纵坐标个点一循环， ∵， ∴在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点为， 由条件可知：点为， 故答案为：． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是某动物园的平面地图，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是（    ） A．熊猫馆 B．孔雀馆 C．鸵鸟馆 D．金丝猴馆 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了用有序数对表示实际位置，利用数形结合的思想解决问题是关键．由平面地图可知，横线和竖线相交的地方就是景点位置． 【详解】解：由平面地图可知，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是熊猫馆， 故选：A． 2．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是(　　) A．(0,4)→(0,0)→(4,0) B．(0,4)→(4,4)→(4,0) C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0) D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0) 【答案】C 【知识点】用有序数对表示路线 【分析】根据点的坐标的定义结合图形对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、（0，4）→（0，0）→（4，0）都能到达，故本选项错误； B、（0，4）→（4，4）→（4，0）都能到达，故本选项错误； C、（3，4）→（4，2）不都能到达，故本选项正确； D、（0，4）→（1，4）→（1，1）→（4，1）→（4，0）都能到达，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握点的坐标的定义并准确识图是解题的关键． 3．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，弄清题意，准确确定坐标是解题的关键． 根据以点A为原点重新建立直角坐标系，点B的横坐标与纵坐标分别为点A的横坐标与纵坐标的相反数解答． 【详解】解：以B为原点建立平面直角坐标系，A点的坐标为， ∴若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点左2个单位，上1个单位处， ∴B点坐标为． 故选：A． 4．点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据第四象限点的横坐标为正数，纵坐标为负数，进行作答即可． 【详解】解：∵点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴点的坐标是， 故选：A 5．已知点A的坐标为，轴且，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据轴，可得点B的横坐标与点A相同，均为2．再利用两点间距离公式求出点B的纵坐标，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，轴， ∴点B的横坐标也为2， ∵， ∴点B的纵坐标为或， ∴点B的坐标为或， 故选：D． 6．下列哪个点在第四象限（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：．根据第四象限内点的坐标特征（横坐标为正，纵坐标为负）进行判断． 【详解】第四象限的点的横坐标为正，纵坐标为负． 选项A：，横纵坐标均为正，属于第一象限，排除． 选项B：，横坐标正，纵坐标负，符合第四象限的特征． 选项C：，横坐标负，纵坐标正，属于第二象限，排除． 选项D：，横纵坐标均为负，属于第三象限，排除． 故选B． 7．如图，五角星盖住的点的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点位于第二象限， 横坐标小于0，纵坐标大于0， 选项C符合题意． 故选：C 8．若点在第二象限，则a的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据坐标系中各象限点的坐标符号特征，第二象限点的横坐标为负，纵坐标为正，由此确定a的取值范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：点在第二象限， ∴，故A符合题意， 故选：A． 9．若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查点的坐标．根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，两点间的距离等于横坐标的差的绝对值，据此进行求解即可． 【详解】解：∵将向右移动3个单位，再向下移动1个单位， ∴M点的坐标为， ∵直线轴，且线段，点N在点M的左侧， ∴点N的坐标为， 故选：A． 10．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查的知识点是关于轴对称的点的特征，解题关键是熟练掌握关于轴对称的点的特征． 由“关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数”即可得解． 【详解】解：关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数， 若点与点关于轴对称，则，． 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为 ． 【答案】17 【知识点】用勾股定理解三角形、已知两点坐标求两点距离、求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的点到原点的距离，勾股定理， 先确定点Ａ到坐标轴的距离，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：点到x轴的距离是15，到y轴的距离是， ∴点到原点的距离是． 故答案为：17． 12．已知点在第二象限，且到轴距离是2，到轴的距离是3，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第二象限，到轴距离是2，到轴的距离是3， ∴点P的横坐标是，纵坐标是2， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，点位于第 象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标的特点，第一象限点的坐标是，第二象限点的坐标是，第三象限点的坐标是，第四象限点的坐标是，根据点的横坐标是负数，纵坐标是正数，可知点在第二象限． 【详解】解：点的坐标为， 横坐标是负数，纵坐标是正数， 点位于第二象限． 故答案为：二 ． 14．已知点在x轴上，则 ． 【答案】1 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握点在y轴上时的横坐标是0，点在x轴上时的纵坐标是0是解决本题的关键． 根据点在x轴上时的纵坐标是0，即可求出问题的结果． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得． 故答案为：1． 15．若点在第四象限，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了已知点所在的象限求参数、求一元一次不等式组的解集等知识点，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 根据点在第四象限列出关于x的不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 16．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：把原点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为， 故答案为：． 17．已知点，，若，且轴，则点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形性质，点的平移，根据轴，则点的纵坐标与点的横坐标相同，然后由即可求出点的坐标，解题的关键是正确理解与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，与轴平行的直线上所有点的横坐标相同． 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的横坐标相同， ∵， ∴点的坐标是或， 故答案为：或． 18．若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【答案】4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题考查了坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴成轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 19．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，则第30秒瓢虫所在位置的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标，规律型：数字变化类，两点间距离，根据点的坐标求出矩形的周长并求出瓢虫爬行一周需要的时间是解题的关键．根据点、、、的坐标可得，的长，从而求出矩形的周长，进而求出瓢虫爬行一周需要秒，然后再进行计算即可解答． 【详解】解：∵，，，， ，， ， （秒）， 瓢虫爬行一周需要秒， ，， 即瓢虫在30秒是爬了周，且继续前进4个单位长度， 则，， 第30秒瓢虫所在位置的坐标为． 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次 “跳马运动”．例如∶如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是 ． ① P 进行一次“跳马运动”可能到达的点有8 个； ② P 进行三次“跳马运动”后可以到达； ③ P 进行四次“跳马运动”后可以到达． 【答案】①②/②① 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标的平移，根据题中“跳马运动”的移动规则逐项进行分析判断即可，熟练掌握坐标移动规则是解题关键． 【详解】解：①由题可知，进行一次跳马运动， 首先沿任一坐标轴方向平移2个单位，可以到达，，，四个点， 再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位， 以上4个点都有向上或向下2种情况， 故可能到达的点有8 个，故①正确； ②，可以先向下平移2各单位， 再向右平移到，再向右平移2个单位， 再向上平移1个单位得到，第三次向左平移2个单位， 再向上平移1各单位得到，故②正确； ③按照规则如何移动四次都无法到达，故③错误， 综上所述正确的有：①②， 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请作出关于x轴对称的； (2)写出的坐标； 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形 【分析】本题考查画轴对称图形，平面直角坐标系点的坐标． （1）根据轴对称的性质画出图形即可； （2）根据的位置，写出坐标即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可得，点的坐标为． 22．（本题8分）在平面直角坐标系中， (1)若点在x轴上，求点M的坐标； (2)若点在第一象限，且点M到y轴的距离为1，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，象限符号特征，点到坐标轴的距离等； （1）由坐标轴上点的坐标特征得，求出代入即可求解； （2）由象限符号特征得，由点到轴的距离得，二者结合即可求解； 能熟练利用坐标轴上点的坐标特征，象限符号特征，点到坐标轴的距离进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：点在x轴上， ， 解得：， ， ； （2）解：点在第一象限， ， 解得：， 点M到y轴的距离为1， ， 解得：或（舍去）， 故． 23．（本题8分）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）由轴上的点的纵坐标为进行计算； （2）由平行于轴的点的横坐标相同可得答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 24．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标分别为，，．过点作轴的垂线，垂足为、在的延长线上取一点，使得，平移线段，使点移动到点，点的对应点是点． (1)在平面直角坐标系中描出点； (2)结合题意，画出平移后的线段； (3)直接写出、两点的坐标为______； (4)直接写出三角形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)12 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、平移(作图)、利用网格求三角形面积、坐标系中的平移 【分析】本题考查平面直角坐标系中的点的坐标，点与线段的平移，网格中求三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据，即可解答． （2）点平移后的对应点为根据平移的性质，点平移后的对应点为，即可解答． （3）由图即可解答． （4）根据的面积等于直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示 （2）如图所示 （3）由图可知． （4） 由图可知． 故答案为：12． 25．（本题8分）在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【知识点】坐标与图形综合 【分析】（1）利用分割法计算即可． （2）设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． 本题考查了坐标系中的作图，分割法求面积，解绝对值方程，数轴上两点间距离计算，熟练掌握分割法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，，得的面积为：． （2）解：设，则， 又， 根据题意，得， 解得或， 故点或． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列数据中能确定物体位置的是（    ） A．某小区26号楼二单元301号 B．长安大街东 C．南偏西 D．北纬 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了有序数对表示位置，理解位置的确定需要两个数据是解题的关键． 根据有序数对表示位置需要两个数据对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、某小区26号楼二单元301号，物体的位置明确，故本选项符合题意； B、长安大街东, 物体的位置不明确，故本选项不符合题意； C、南偏西，只确定方向，不确定距离，即无法确定物体位置，故本选项不符合题意； D、北纬，只确定方向，不确定距离，即无法确定物体位置，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特点，根据直角坐标系中轴上点的纵坐标为的特征得，解出的值，再代入横坐标表达式即可确定点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点在直角坐标系的轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 3．下列说法：①若，则点在原点处；②点一定在第二象限；③若点，，且，则直线轴；④若点，，则线段．其中正确是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的相关知识．逐一分析各命题的正确性即可． 【详解】解：①：若，则或，此时点在坐标轴上，但不一定在原点，故①错误； ②：点的横坐标为负，纵坐标，满足第二象限的条件，故②正确； ③：点与的横坐标相同，且纵坐标不为0，因此直线平行于轴，故③正确； ④：点与的纵坐标相同，线段的长度为横坐标之差的绝对值：，故④正确； 综上分析可知：正确的有②③④． 故选：A． 4．在平面直角坐标系中，第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则的是（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点所在象限的特点；根据点P在第四象限，得，再由此点到两坐标轴的距离相等得：，即可求得a的值． 【详解】解：∵点P在第四象限， ∴； ∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴． 故选：D． 5．若点在第三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据第三象限点的坐标特征确定a、b的符号，再分析点B的坐标符号即可判断所在象限． 【详解】解：点在第三象限， 横坐标，纵坐标， ， 点在第四象限． 故选D． 6．平面直角坐标系中的点一定不在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、判断点所在的象限 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与象限的关系，以及如何通过代数不等式判断点可能所在的象限．明确各象限坐标符号特征∶第一象限第二象限，第三象限，第四象限 ．分析点的坐标符号，分别假设点P在四个象限，建立不等式组，判断是否存在解．若某个象限对应的不等式组无解，则点P一定不在该象限． 【详解】解：假设点P在第一象限： 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 假设点P在第二象限 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 假设点P在第三象限 则且， 解不等式∶ 且，矛盾，无解． 假设点P在第四象限： 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 综上，点一定不在第三象限． 故选：C． 7．已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标系中的平移、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质． 利用平行四边形对边平行且相等，结合坐标平移规律求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴； ∵，沿轴方向， ∴点是点向左平移个单位（因为长度为3）． ∴向左平移个单位，横坐标，纵坐标不变，即， 故选：C． 8．已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形．根据题意得出的纵坐标为，根据，得出点的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴则点的坐标为或， 故选：D． 9．在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 【答案】A 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形性质，垂直于轴的直线上点的横坐标相同是解题的关键． 根据两点的横坐标相等，纵坐标不等，即可得出过两点的直线垂直于轴． 【详解】， 轴， 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查图形坐标规律探究，理解题意，由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为秒，点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环，根据规律即可求得第秒点位置，得到点的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点， ； ∴点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环， ∴当时间为秒时，点的横坐标为，由，则点的纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标与图形综合、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，点的纵坐标与点的纵坐标相等，从而即可得到点的坐标． 【详解】解：，， ， 为平行四边形， ，， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， 点的坐标为， 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是 ． 【答案】或3 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，由此可得，分情况讨论即可． 【详解】解：点到两条坐标轴的距离相等， ， 或 解得或， 故答案为：或3． 13．在平面直角坐标系中，点坐标，点为轴上一动点，当的长度最短时，其长度为 ． 【答案】4 【知识点】求点到坐标轴的距离、垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，点到坐标轴的距离，根据垂线段最短，得到当轴时，的长度最短，即为点纵坐标的绝对值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：当轴时，的长度最短， ∵点A坐标为， ∴轴时，的长度最短，为4； 故答案为：4． 14．平面直角坐标系中，若点在第二象限，则 0（填“”或“”）． 【答案】 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是掌握各象限内点的坐标符号特点． 根据平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征进行判断． 【详解】在平面直角坐标系中，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 已知点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 所以． 故答案为：． 15．已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键．根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值，再根据各个象限中点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 16．已知点在第二象限，点到轴的距离是点到轴的距离的3倍，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查坐标系中点的坐标特征，由点在第二象限，可知，再由点到轴的距离是点到轴的距离的3倍，列方程求解即可得到答案．熟记坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点在第二象限，点到轴的距离是点到轴的距离的3倍， ， ， 解得， ， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为 ． 【答案】或． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，要掌握平行于y轴的直线上的点横坐标相等，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标． 线段轴，A、B两点横坐标相等，又，B点在A点上边或者下边，根据距离确定B点坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两点的横坐标相同， 又， ∴B点纵坐标为：或， ∴B点的坐标为：或． 故答案为：或． 18．在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标 ． 【答案】或或 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标． 【详解】解：如图，分三种情况： ①为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ②为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ③为对角线时，平行且等于，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 19．若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【答案】4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题考查了坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴成轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 20．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查新定义，以及坐标轴对称的特点，理解新定义并掌握坐标点关于轴对称的规律是解题的关键．根据题目的定义，可求出有序数对的“阶结伴数对”为 ，再利用与关于轴对称，得到，联立两个等式即可求出的值． 【详解】解：由题意得，有序数对的“阶结伴数对”为 ， 有序数对（）与它的“阶结伴数对”关于轴对称， 与关于轴对称， ， ， ， 又， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)请在平面直角坐标系上画出，并写出点A及点的坐标； (2)的面积 ； (3)若点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，则点P的坐标为 ． 【答案】(1)见解析；， (2) (3)或 【知识点】平移(作图)、利用网格求三角形面积、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了作图—平移变换，三角形面积公式，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可，再结合图形写出坐标即可； （2）利用三角形面积公式计算即可得解； （3）设点的坐标为，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ， 由图可得：，； （2）解：的面积； （3）解：设点的坐标为， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 22．（本题8分）已知点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标． (2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标． (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值． 【答案】(1)点A的坐标为 (2)点A的坐标为 (3)或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，平移的性质是解题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）根据点A在过点且与y轴平行的直线上，得到A，B两点的横坐标相同，求出x的值，则可得出答案； （3）由题意得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）∵点A在x轴上， ∴ ∴， ∴， ∴点A的坐标为． （2）∵点A在过点且与y轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 （3）∵将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上， ∴， ∴或． 23．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的． (1)分别写出下列各点的坐标：______；______；______； (2)是由经过怎样的平移得到的？ (3)平面内一点经过（2）中的平移后得到，则点是内部的一点吗？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)向左平移4个单位再向下平移2个单位 (3)不是，理由见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了根据图形的平移确定坐标，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据坐标系直接写出即可求解． （2）观察和的顶点位置，即可求解； （3）根据题意得出平面内一点经过（2）中的平移后得到，进而求得，则，结合坐标系，即可求解． 【详解】（1）解：；；． 故答案为：；；． （2）向左平移4个单位再向下平移2个单位得到 （3）平面内一点经过（2）中的平移后得到即 ∴ 解得： ∴，根据坐标系可得点不是内部的一点 24．（本题8分）在平面直角坐标系中，对于点A，若点B的坐标为，其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A的“4级关联点”点B的坐标为，即B． (1)点P的“3级关联点”是_________； (2)若点C的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（2）求出点的坐标） 【答案】(1)； (2)； (3)点的坐标为或． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义即可求解； （2）由题意可得点C的“2级关联点”点D的坐标为，再根据点D在x轴上，得到，求解即可得出答案； （3）由轴，得到点的横坐标为，设点的纵坐标为，根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 点P的“3级关联点”是，即， 故答案为：； （2）解：由题意可得： 点C的“2级关联点”点D的坐标为：， ∵点D在x轴上， ∴， ∴， ∴，点； （3）解：由（2）可知，点， ∵轴， ∴点的横坐标为， 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 25．（本题8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都是格点，点A的坐标是，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并回答下列问题． (1)点B的坐标是___________；点C的坐标是___________； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请在图中画出三角形； (3)在（2）的条件下，连，则四边形的面积为___________； (4)在线段上画点P，使． 【答案】(1) (2)见解析 (3)28 (4)见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、根据平行线判定与性质证明、平移(作图)、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查坐标与图形-平移变换、涉及平移性质、三角形的面积公式、平行线的判定与性质，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据直角坐标系中点的位置即可解答； （2）根据点坐标平移的规律作图即可； （3）连接，利用割补法求解即可； （4）利用格点的特征过点O作的平行线，交于点P即可． 【详解】（1）解：根据图形得， 故答案为：； （2）解：如图所示，三角形为所求， （3）解：四边形的面积为， 故答案为：； （4）解：如图所示，点为所求， ∵， ∴， ∵， ∴． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 平面直角坐标系（复习讲义） 1. 会正确画出平面直角坐标系，会利用平面直角坐标系确定点的位置； 2. 会在给定的平面直角坐标系中根据点的坐标描出点的位置，会根据点的位置写出点的坐标； 3. 能根据实际问题的需要建立适当的平面直角坐标系，将实际问题数学化，利用平面直角坐标系解决简单的实际问题； 4. 知道点的平移与坐标变化的特点及关于坐标轴成轴对称的点的坐标之间的关系； 知识点 重点归纳 常见易错点 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系： 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系。简称为直角坐标系。 2. 象限：在平面直角坐标系中，两条坐标轴将平面分成4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。 象限的顺序是从右上角开始，按逆时针方向排序 点的坐标 1. 点的坐标的概念： 在平面直角坐标系中，用有序实数对可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用有序实数对来表示，这样的有序实数对称为点的坐标。其中称为点的横坐标，成为点的纵坐标。 2.确定点的坐标的方法： （1）过该点向横轴作垂线，垂足在横轴上对应的实数就是点的横坐标； （2）过该点向纵轴作垂线，垂足在纵轴上对应的实数就是点的纵坐标； （3）把横坐标写在前面，纵坐标写在后边，中间用逗号隔开，并用小括号将它们括起来，就是该点的坐标。 3.由点的坐标确定点的位置的方法： （1）过横轴上表示实数的点作横轴的垂线； （2）过纵轴上表示实数点作纵轴的垂线； （3）两条垂线的交点即为点的位置。 点的坐标与点到坐标轴的距离的关系容易弄错，要结合图形理解，特别是根据点到坐标轴的距离写出满足条件的点的坐标要分类讨论 点的坐标的特征 1.象限内的点 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2.坐标轴上的点 x轴 y轴 3. 象限角平分线上的点 第一、三象限角平分线第二、四象限角平分线 平移与坐标变化 轴对称与坐标变化 1.关于轴对称的点的坐标为； 2.关于轴对称的点的坐标为； 3.关于原点对称的点的坐标为； 记忆口诀：关于谁，谁不变，另一个，变相反，关于原点，都相反。最重要的是数形结合，理解记忆！ 题型一 位置的确定 【例1】江西省丰城市是干将、莫邪宝剑藏地，又名“剑邑”，以下能准确表示丰城市地理位置的是（   ） A．东接抚州市 B．北纬 C．距离南昌60公里处 D．东经，北纬 【变式1-1】A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（    ） A．东经，北纬 B．东经，北纬 C．东经，北纬 D．东经，北纬 【变式1-2】在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 题型二 点的坐标与点到坐标轴的距离 【例2】在平面直角坐标系中，点，点，，且轴，则点A的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，第一象限内的点距离轴个单位长度，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【变式2-2】点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据坐标判断点所在象限 【例3】下列哪个点在第四象限（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若点在第三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】平面直角坐标系中的点一定不在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四 根据点所在象限求参数范围 【例4】在平面直角坐标系中，若点位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，若点位于第四象限，则点所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五 点的平移与坐标变化 【例5】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是 ． 【变式5-2】如图，已知点，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，且，则四边形的周长为 ． 题型六 点的对称与坐标变化 【例6】在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【变式6-1】若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 【变式6-2】如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是 ．    题型七 中点坐标问题 【例7】如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为 ． 【变式7-1】如图，已知四边形为平行四边形，则点B的坐标为 ． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，点，，若三角形的面积为6，则的值为 ． 题型八 坐标规律问题 【例8】2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“箭头”方向飞行，根据这个规律，点的坐标为 ． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，点，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D→A路径循环运动，则第2025秒时点P的坐标是 ． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，，那么点的坐标为 ． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图是某动物园的平面地图，若海洋馆的位置用有序数对表示，则数对表示的位置是（    ） A．熊猫馆 B．孔雀馆 C．鸵鸟馆 D．金丝猴馆 2．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是(　　) A．(0,4)→(0,0)→(4,0) B．(0,4)→(4,4)→(4,0) C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0) D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0) 3．方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知点A的坐标为，轴且，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 6．下列哪个点在第四象限（   ） A． B． C． D． 7．如图，五角星盖住的点的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 8．若点在第二象限，则a的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．若将向右移动3个单位，再向下移动1个单位，得到点，若直线轴，且线段，点在点的左侧，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 10．在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为 ． 12．已知点在第二象限，且到轴距离是2，到轴的距离是3，则点的坐标为 ． 13．在平面直角坐标系中，点位于第 象限． 14．已知点在x轴上，则 ． 15．若点在第四象限，则x的取值范围是 ． 16．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 17．已知点，，若，且轴，则点的坐标是 ． 18．若点与点关于轴成轴对称，则 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点坐标分别为，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，则第30秒瓢虫所在位置的坐标为 ． 20．在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次 “跳马运动”．例如∶如图，点A做一次“跳马运动”，可以到达点B，但是到达不了点C．点P从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是 ． ① P 进行一次“跳马运动”可能到达的点有8 个； ② P 进行三次“跳马运动”后可以到达； ③ P 进行四次“跳马运动”后可以到达． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请作出关于x轴对称的； (2)写出的坐标； 22．（本题8分）在平面直角坐标系中， (1)若点在x轴上，求点M的坐标； (2)若点在第一象限，且点M到y轴的距离为1，求m的值． 23．（本题8分）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求出点的坐标． 24．（本题8分）在平面直角坐标系中，已知、、三点的坐标分别为，，．过点作轴的垂线，垂足为、在的延长线上取一点，使得，平移线段，使点移动到点，点的对应点是点． (1)在平面直角坐标系中描出点； (2)结合题意，画出平移后的线段； (3)直接写出、两点的坐标为______； (4)直接写出三角形的面积为______． 25．（本题8分）在平面直角坐标系中，． (1)求的面积； (2)已知为轴上一点，若，求点的坐标． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列数据中能确定物体位置的是（    ） A．某小区26号楼二单元301号 B．长安大街东 C．南偏西 D．北纬 2．点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法：①若，则点在原点处；②点一定在第二象限；③若点，，且，则直线轴；④若点，，则线段．其中正确是（   ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 4．在平面直角坐标系中，第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则的是（   ） A．3 B． C．1 D． 5．若点在第三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．平面直角坐标系中的点一定不在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知平面直角坐标系内有三个点，若四边形是平行四边形，则点C的坐标为（） A． B． C． D． 8．已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 9．在平面直角坐标系中，过，两点作直线，下列说法正确的是（    ） A．轴 B．轴 C．轴 D．AB经过原点 10．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．如图，平行四边形的顶点的坐标分别是、、，则点的坐标为 ． 12．在平面直角坐标系中，点到两条坐标轴的距离相等，则a的值是 ． 13．在平面直角坐标系中，点坐标，点为轴上一动点，当的长度最短时，其长度为 ． 14．平面直角坐标系中，若点在第二象限，则 0（填“”或“”）． 15．已知点在轴上，点在轴上，则点位于第 象限． 16．已知点在第二象限，点到轴的距离是点到轴的距离的3倍，则点的坐标为 ． 17．在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，，则点的坐标为 ． 18．在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标 ． 19．若点与点关于轴成轴对称，则 ． 20．已知有序数对及常数，我们称有序数对，为有序数对的“阶结伴数对”．如的“1阶结伴数对”为即．若有序数对与它的“阶结伴数对”关于轴对称，则此时的值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． (1)请在平面直角坐标系上画出，并写出点A及点的坐标； (2)的面积 ； (3)若点P在y轴上，且的面积是的面积的2倍，则点P的坐标为 ． 22．（本题8分）已知点A的坐标为． (1)若点A在x轴上，求点A的坐标． (2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标． (3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值． 23．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的． (1)分别写出下列各点的坐标：______；______；______； (2)是由经过怎样的平移得到的？ (3)平面内一点经过（2）中的平移后得到，则点是内部的一点吗？请说明理由． 24．（本题8分）在平面直角坐标系中，对于点A，若点B的坐标为，其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A的“4级关联点”点B的坐标为，即B． (1)点P的“3级关联点”是_________； (2)若点C的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若存在点，使得轴，且，求点的坐标．（提示：先由（2）求出点的坐标） 25．（本题8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都是格点，点A的坐标是，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，并回答下列问题． (1)点B的坐标是___________；点C的坐标是___________； (2)将三角形先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形，点的对应点分别是点，请在图中画出三角形； (3)在（2）的条件下，连，则四边形的面积为___________； (4)在线段上画点P，使． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$