专题02 点的坐标变换与规律探究（专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题02 点的坐标变换与规律探究（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据变换方式求变换后的点的坐标 1 题型二、根据坐标变化判断点的变换方式 2 题型三、根据点的对称求点的坐标 3 题型四、点的变换与规律探究问题 4 题型五、点的对称与最值问题 5 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、根据变换方式求变换后的点的坐标 1．已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”字样的艺术字，若定位点A的坐标为，定位点B的坐标为，则打印喷头从点A先向右再向下移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ． 4．若点与点的连线平行于轴，则a的值为 ． 5．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 6．在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标 ． 7．在平面直角坐标系中，已知点，长度为3的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ． 8．在平面直角坐标系中，已知点，点A在第二象限，轴，，则点A的坐标为 ． 9．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若直线平行于轴，求的值． (2)将点向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． 10．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 题型二、根据坐标变化判断点的变换方式 11．将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 12．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 13．平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位 C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位 14．在平面直角坐标系中，若将点平移到点的位置，则下列平移的方法正确的是（   ） A．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 15．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 题型三、根据点的对称求点的坐标 16．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 17．已知点，关于y轴对称，则 ． 18．某班级开展剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于轴对称，则的值为 ． 19．点关于x轴的对称点的坐标是 ． 20．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则 ． 题型四、点的变换与规律探究问题 21．如图，长方形的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，有等腰直角三角形，，，…，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 24．如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ）． A． B． C． D． 25．如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 题型五、点的对称与最值问题 26．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将平移至处，点A，B，C的对应点分别为，，，其中点的坐标为． (1)请在图中画出，并写出点，的坐标； (2)点M在x轴上运动，当线段最短时，求点M的坐标． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形． (1)分别写出点的坐标：A ， ． (2)若点是三角形内部的一点，经上述平移后，对应点的坐标为，求和的值． (3)若直线轴，求当线段最短时，描出P的位置并写出P的坐标． 28．在平面直角坐标系中的位置如图所示（网格单位长为1）． (1)分别写出点的坐标，并求的面积． (2)过点作直线轴，若点在直线上运动，连接，当线段长度最小时，求此时点的坐标． 29．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，点A、B、C都在格点上． (1)作关于直线（所有横坐标为的点所形成的直线）成轴对称的图形； (2)若网格中小正方形的边长为1，求的面积； (3)点在轴上，当周长最小时，点在什么位置，直接写出点坐标． 30．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点B的坐标为．直线经过坐标原点O和点 (1)画出关于y轴得到对称的， (2)画出点B关于直线对称的点，点P在直线上，当最小时，画出点P，并直接写出点P的坐标 1．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（    ） A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 4．平面坐标系中，点A的坐标为，将线段沿y轴翻折得到线段，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．已知点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 7．如图，在平面直角坐标系中， 都是等边三角形，且点的坐标分别是 ．依据图形所反映的规律，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 8．已知点与点关于y轴对称，则的坐标为 ． 9．如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 10．若点关于轴对称，则 ， ． 11．在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 12．如图，三角形（记作）三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到． (1)在图中画出； (2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______； (3)求面积． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 点的坐标变换与规律探究（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据变换方式求变换后的点的坐标 1 题型二、根据坐标变化判断点的变换方式 6 题型三、根据点的对称求点的坐标 8 题型四、点的变换与规律探究问题 8 题型五、点的对称与最值问题 14 B 综合攻坚・能力跃升 题型一、根据变换方式求变换后的点的坐标 1．已知线段，轴，若点A的坐标为，则点B的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】坐标系中的平移、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，由于线段平行于y轴，点A和点B的横坐标相同，均为2，根据线段长度，可确定点B的纵坐标为，从而得到点B的坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两个点的横坐标相同，都是2， ∵，点A的坐标为， ∴点B的纵坐标为：， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 2．如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中的平移 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 3．随着3D打印技术的蓬勃兴起，我们正步入一个前所未有的便捷与创新并存的新时代，这项革命性的技术极大地丰富了我们的生活．如图，这是利用3D打印技术打印的“5G”字样的艺术字，若定位点A的坐标为，定位点B的坐标为，则打印喷头从点A先向右再向下移动至点B时，向右和向下移动的距离之和为 ． 【答案】13 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵平移到点， ∴点A先向右8个单位，再向下移动5个单位至点B， ∴向右和向下移动的距离之和为， 故答案为：13． 4．若点与点的连线平行于轴，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形性质，一元一次方程的应用．根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，恰好与原点重合，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：把原点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标为， 故答案为：． 6．在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标 ． 【答案】或或 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标． 【详解】解：如图，分三种情况： ①为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ②为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ③为对角线时，平行且等于，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 7．在平面直角坐标系中，已知点，长度为3的线段与x轴平行，则点Q的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形．先根据点的坐标为，且轴，得出点和点的纵坐标相同，为4，再根据，分两种情况当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别求出横坐标即可得解． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和点的纵坐标相同，为4， ， 当点在点的左边时，横坐标为，此时点Q的坐标是， 当点在点的右边时，横坐标为，此时点Q的坐标是， 综上所述，点的坐标为或， 故答案为：或． 8．在平面直角坐标系中，已知点，点A在第二象限，轴，，则点A的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数、坐标系中的平移 【分析】本题考查了点的坐标，根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，再根据点A在第二象限，，即可确定横坐标． 【详解】解：∵点，轴， ∴点A的纵坐标为4， ∵点A在第二象限，， ∴则点A的横坐标为， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若直线平行于轴，求的值． (2)将点向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平移变换的性质，坐标系中点的特征，点到坐标轴的距离等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据直线平行于y轴，则点A点B的横坐标相等，据此建立方程求解即可； （2）根据平移法则得到平移后，再根据点C正好在x轴上，即纵坐标为0，得到，求解即可得到m的值，即可求解． 【详解】（1），直线平行于y轴， 点A点B的横坐标相等，即， 解得：； （2）将点B向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点C， 即， 点C正好在x轴上， ， 解得：， ， ． 10．已知点，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求点的坐标． (2)若将点向上平移3个单位恰好落在轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，点的平移，掌握点的坐标与位置的关系是解题的关键． （1）根据“直线轴”得出横坐标相等，列方程求解； （2）先求解平移后的，再根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，直线轴， ∴， 解得：， ； （2）解：∵将点向上平移3个单位恰好落在轴上， ∴且， 解得：， ∴平移后． ∴原来的点， 题型二、根据坐标变化判断点的变换方式 11．将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【答案】C 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了点的坐标平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减，即可得解，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度， 故选：C． 12．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度，在建立平面直角坐标系后，线段的两个端点坐标分别为，．现将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，则以下平移正确的是（   ） ①先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ②先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度． A．①② B．①③ C．③ D．② 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标系，点的平移，根据题意将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或，进而确定平移方式，即可求解． 【详解】解：如图所示， 将线段平移，使平移后线段的两个端点均在坐标轴上，即平移后得到线段或， 由图可得， ∵点A的坐标是，， ∴线段先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， 由图可得， 同理得：线段先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到， 故选：B． 13．平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（   ） A．向上平移了3个单位 B．向下平移了3个单位 C．向右平移了3个单位 D．向左平移了3个单位 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据坐标平移的规律，纵坐标的变化对应上下平移，减3则向下平移3个单位，据此可得答案． 【详解】解：将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，相当于每个点的位置在竖直方向上减少了3．根据平移规律，纵坐标减少表示向下平移，因此所得图形与原图形相比向下平移了3个单位． 故选B． 14．在平面直角坐标系中，若将点平移到点的位置，则下列平移的方法正确的是（   ） A．先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题主要考查了点的平移， 根据平移的规律，横坐标左减右加，纵坐标下减上加，比较点M和平移后的点P的坐标变化即可确定平移方式． 【详解】解：原横坐标为，平移后为，增加了2个单位，故需向右平移2个单位； 原纵坐标为，平移后为，减少了3个单位，故需向下平移3个单位， 综上，平移方法为“先向右平移2个单位，再向下平移3个单位”． 故选：B． 15．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 根据在平面直角坐标系中坐标与图形变化-平移的规律进行判断． 【详解】解：点平移到点， 表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 故选：B． 题型三、根据点的对称求点的坐标 16．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点关于轴的对称点的坐标的求法，关于轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标不变的性质，可得点P关于轴对称的点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 故答案为：． 17．已知点，关于y轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点，关于y轴对称， ，， ， 故答案为：． 18．某班级开展剪窗花活动，小华同学将剪好的兔子放在适当的平面直角坐标系中．若兔子两只耳朵上的点与点恰好关于轴对称，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题主要是考查了关于对称轴的对称的点的坐标特征，能够熟记关于y对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是关键． 根据关于y轴的对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得出a，b的值，再代入要求的代数式求值即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 19．点关于x轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数直接解决即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 20．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽路不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶尖S点的坐标是．此时对应的虚像的坐标是，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等成为解题的关键． 根据点S和关于y轴对称得出、，然后代入进行计算即可． 【详解】 解：∵点S和关于y轴对称，，， ∴、， ． 故答案为：． 题型四、点的变换与规律探究问题 21．如图，长方形的各边分别平行于x轴、y轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，则两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查规律型：点的坐标，由图可知，矩形的周长为12，则甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为（秒），即甲、乙两个物体相遇点依次为，，，...，可知相遇点每3次为一个循环，由，求解作答即可． 【详解】解：由图可知，矩形的周长为12，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动， ∴甲、乙两个物体每次相遇的时间间隔为（秒）， ∴甲、乙两个物体相遇点依次为，，，…， ∴相遇点每3次为一个循环， ∵， ∴第2025次相遇地点的坐标是 ， 故选：C． 22．如图，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆、、，，组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查图形坐标规律探究，理解题意，由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为秒，点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环，根据规律即可求得第秒点位置，得到点的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为（秒）， 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点； 当时间为秒时，点， ； ∴点的横坐标为运动时间的倍，纵坐标以，，，四个数为一个循环， ∴当时间为秒时，点的横坐标为，由，则点的纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：． 23．如图，在平面直角坐标系中，有等腰直角三角形，，，…，点，，，…，则根据图示规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．依次求出点为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为, 点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为， 由此可知，点的坐标为，(为正整数)， 又∵， ∴， ∴点的坐标为． 故选：C 24．如图，小球起始时位于处，沿图中所示方向击球，小球在球桌上的运动轨迹如图所示．如果小球起始时位于处，仍按原来的方向击球，小球第1次碰到球桌边时，小球的位置是，那么小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查坐标位置规律，根据题意，画出相应的运动轨迹，发现点所在的位置变化规律：小球经过6次一个循环回到出发位置，即可得到小球第2025次碰到球桌边时，小球的位置．解答本题的关键是根据题意，作出图形，得到点的坐标位置变化规律，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：根据题意，得到小球运动轨迹，如图所示： 小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是； 小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是； …… 按照上述情况，得到规律是小球经过6次一个循环回到出发位置， ∵， ∴小球第2025次碰到球桌边，与小球第三次碰到球桌边时的位置相同，是， 故选：C． 25．如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移、规律型问题等知识，解题关键是学会套就规律的方法．先求出点，，，的横坐标，再从特殊到一般就出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， …， 按这个规律平移得到点点的横坐标为， 点的横坐标为， 故答案为：． 题型五、点的对称与最值问题 26．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将平移至处，点A，B，C的对应点分别为，，，其中点的坐标为． (1)请在图中画出，并写出点，的坐标； (2)点M在x轴上运动，当线段最短时，求点M的坐标． 【答案】(1)见解析，， (2) 【知识点】坐标与图形综合、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标、平移(作图) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点C和点的坐标可得平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，据此得到，的坐标的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）由垂线段最短可知，当轴，有最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则，； （2）解：由垂线段最短可知，当轴，有最小值， ∵， ∴． 27．如图所示，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形． (1)分别写出点的坐标：A ， ． (2)若点是三角形内部的一点，经上述平移后，对应点的坐标为，求和的值． (3)若直线轴，求当线段最短时，描出P的位置并写出P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点P的位置见解析，点P的坐标为． 【知识点】由平移方式确定点的坐标、垂线段最短、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查坐标与图形，点的平移，解二元一次方程组： （1）根据点所在位置写出坐标即可； （2）根据平移前后对应点位置得出平移方式，进而列出二元一次方程组，即可求解； （3）利用垂线段最短求解即可． 【详解】（1）解：解：由图可知，， 故答案为：；； （2）解：由图可知，点向左平移了5个单位长度，向上平移了4个单位长度，得到对应点的坐标为， 可得， 解得； （3）解：当线段最短时，点P的位置如图所示， 点P的坐标为． 28．在平面直角坐标系中的位置如图所示（网格单位长为1）． (1)分别写出点的坐标，并求的面积． (2)过点作直线轴，若点在直线上运动，连接，当线段长度最小时，求此时点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、垂线段最短、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，点到直线垂线段最短，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据平面直角坐标系写出点的坐标，运用割补法求三角形面积即可； （2）根据题意作出直线，根据点到直线垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，，； （2）解：如图所示， ∵直线过，且与轴平行， ∴当时，的值最小， ∴． 29．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，点A、B、C都在格点上． (1)作关于直线（所有横坐标为的点所形成的直线）成轴对称的图形； (2)若网格中小正方形的边长为1，求的面积； (3)点在轴上，当周长最小时，点在什么位置，直接写出点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查的是轴对称的作图，图形与坐标，利用轴对称的性质确定三角形周长的最小值，掌握轴对称的作图方法是解本题的关键. （1）分别确定A，B，C关于直线对称的对称点，再顺次连接，从而可得答案； （2）利用三角形的面积公式直接可得答案； （3）如图，作关于轴对称的点，连接，交轴于点P，再根据P的位置可得P的坐标. 【详解】（1）解：如图，为所求， ； （2）解：的面积为：； （3）解：如图，作关于轴对称的点，连接，交轴于点P， 则的周长为， 此时三角形的周长最短，由P的位置可得：. 30．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为，点B的坐标为．直线经过坐标原点O和点    (1)画出关于y轴得到对称的， (2)画出点B关于直线对称的点，点P在直线上，当最小时，画出点P，并直接写出点P的坐标 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，平面直角坐标系中点的坐标，利用对称的性质解题是关键． （1）直接利用关于轴对称的点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用关于直线对称的点性质得出点的位置，连接交与点，连接此时值最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点、即为所求．    如图可知． 1．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移．根据点平移的坐标变换规律：左减右加，上加下减解答可得． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标是，即， 故选：B． 2．将点向左平移4个单位长度得到点，且点在y轴上，则a的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了点的平移，坐标轴上的点的特征，掌握相关知识点是解题的关键．根据点向左平移4个单位长度得到点，再根据该点在y轴上横坐标为0，可得答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度得到点， 即． ∵点在y轴上， ∴， 解得． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（    ） A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【知识点】成中心对称、正方形性质理解、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】先根据点坐标推出正方形中的点坐标，再根据正方形的性质，求出对角线交点坐标，也就是对称中心的坐标，最后由正方形的平移转化到正方形的对称中心的平移即可就出平移过程． 【详解】∵四边形为正方形，已知在轴上，且点的坐标为， ∴根据正方形的性质可得正方形的边长， ∴点坐标为，点坐标为， ∵正方形的对称中心为对角线的交点，正方形对角线相互平分， ∴正方形的对称中心的坐标为的中点坐标， ∴对称中心的坐标为， ∵将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心， ∴正方形的平移过程即为对称中心的平移过程， ∵正方形的对称中心的坐标为，平移后的正方形的对称中心为坐标原点， ∴可得出正方形的平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称，正方形的性质,点的平移等知识点，解题的关键是求出原来正方形的对称中心，结合对称中心点的平移方式得到正方形的平移方式． 4．平面坐标系中，点A的坐标为，将线段沿y轴翻折得到线段，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查翻折性质，现出图形，根据对称性解答即可． 【详解】解：如图，点A的对应点的坐标为， 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，经过2025次变换后所得的点A的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标的规律探索，关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据题意发现一般规律是解题关键． 结合关于坐标轴对称的点的坐标特征，得出一般规律：点A的坐标每四次循环一次，依次为、、、，据此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知， 第一次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第二次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第三次轴对称变换后，点A的坐标是；， 第四次轴对称变换后，点A的坐标是；， ……， 观察可知，点A的坐标每四次循环一次， 依次为、、、， ∵， ∴经过2025次变换后所得的点A的坐标是， 故选：A． 6．已知点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】D 【知识点】已知两点关于原点对称求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，点关于原点对称的点的坐标为，由此建立方程求解和的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴点与点的横纵坐标均互为相反数， ∴，． 将和代入，得： 故选D． 7．如图，在平面直角坐标系中， 都是等边三角形，且点的坐标分别是 ．依据图形所反映的规律，则的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是一道关于等边三角形性质及探索规律的题目，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到横坐标为，在x轴正半轴上，纵坐标为0，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，每4个为一组， ∵，，，……； ，的横坐标为， ，的横坐标为， ，的横坐标为， ……； ∵， ∴横坐标为， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∴的坐标是． 故选：A． 8．已知点与点关于y轴对称，则的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，根据关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴的坐标为， 故答案为：． 9．如图，，，为轴上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，连接，得到的最小值为，进行求解即可． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 10．若点关于轴对称，则 ， ． 【答案】 2 4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 11．在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 【答案】(1) (2)点不是不动点；点是不动点 (3) 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形变化——轴对称、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据“优化变换”求解即可； （2）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义可得答案，同理可判断是不动点； （3）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义建立方程可得答案． 【详解】（1）点向左平移5个单位长度为 点关于轴的对称点为； （2）解：把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与不重合，不是不动点； 把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与重合，是不动点； （3）解：点向左平移5个单位，可得对应点坐标为， ∵关于轴的对称点的坐标为：， 而点为不动点， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，点的坐标平移和对称变换，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 12．如图，三角形（记作）三个顶点的坐标分别是，，，先将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到．    (1)在图中画出； (2)若点在轴上运动，当线段长度最小时，点的坐标为______； (3)求面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、坐标与图形、垂线段最短、点到直线的距离 【分析】（1）根据平移规则：向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度可得进而即可解答； （2）根据垂线段最短可知当轴时，线段最小进而即可解答； （3）根据数轴上两点之间的距离公式及网格中三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，且，，， ∴点，，， ∴如图所示即为所求，    （2）解：∵点在轴上运动时，当轴时，线段最小，且， ∴， 故答案为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，网格中三角形的面积，平移作图，掌握平移的定义是解题的关键． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$