第3讲 圆的方程 讲义——2026届高三数学一轮复习

第3讲 圆的方程 知识点一：圆标准方程与一般方程 1．圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是： 题型一：求圆的标准方程 方法一：待定系数法求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点． 方法二：用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等． 【例1】过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆心为，半径为， 则， 解得，所以圆心为， 半径． 所以圆的方程为． 【例2】 已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，为等腰直角三角形， 所以圆心到直线的距离，即，解得， 所以圆C的方程为， 故选：C． 【例3】 已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________． 【答案】（1，3） 【解析】设圆的方程为， 则，解得， 所以圆方程为，即， 所以圆心坐标为． 故答案为：． 变式1 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为． 故选：A 变式2 圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______． 【答案】 【解析】因为所求圆的圆心在直线y＝－2x上， 所以可设圆心为，半径为， 由题意知，， 又圆C与直线x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得， ， 所以， 解得，， 所以所求圆C的方程为． 故答案为： 变式3 若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________． 【答案】4 【解析】圆的圆心为， 因为圆关于直线和直线都对称， 所以圆心在直线上，也在直线上， 所以， 解得， 所以， 故答案为：4 题型二：圆的一般方程 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 【例4】已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（       ） A．（－2，－4） B． C．（－2，－4）或 D．不确定 【答案】A 【解析】 根据圆的一般式方程中平方项系数相等且非零，得到参数a值，再代入验证是否表示圆，即得结果． 【详解】 ∵方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴，解得或． 当时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0．配方，得标准式方程（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，所得圆的圆心坐标为（－2，－4），半径为5； 当时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中，方程不表示圆． 故选：A． 【例5】设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程表示圆，则，解得：； ∵，，，甲是乙的必要不充分条件． 故选：B． 变式4 方程表示的曲线为（       ） A．两条线段 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆 【答案】C 【解析】， 则或， 又其表示线段 其表示半圆， 故选：C． 变式5 “”是“方程是圆的方程”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若方程表示圆，则， 即，解得或， 故 “”是“方程是圆的方程”的充分不必要条件， 故选：A 2．点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 题型三：点与圆的位置关系判断 【例6】已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，解得，或． 故选：A． 【例7】已知直线过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得点在单位圆上， 所以直线和圆有公共点． 所以圆心到直线的距离，即得到． 故选：D 变式6 已知点在圆的内部，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点在圆的内部，则， 解得． 故选：D． 知识点二：圆系方程 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 题型四：直线系方程和圆系方程 【例8】 过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 设圆的方程为， 则， 即，所以圆心坐标为， 把圆心坐标代入，可得， 所以所求圆的方程为． 故答案为：． 变式7 已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为． （2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 知识点三：圆的第二，第三定义 第二定义：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足为定值，点的轨迹是个圆，特别是当，点的轨迹是以为直径的圆。 第三定义：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 求轨迹的五种方法。 方法一：相关点法： 方法二：点差法： 方法三：几何定义法： 方法四：直接法： 方法五：参数法： 题型五：与圆有关的轨迹问题 【例9】 已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________． 【答案】 【解析】， ， 化简得：，所以，点P的轨迹为圆： 故答案为： 【例10】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆即，半径 因为，所以 又是的中点，所以 所以点的轨迹方程为 故选：B 【例11】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，即 设，则，整理得 故选：B． 【例12】已知圆C过点，，． （1）求圆C的标准方程； （2）已知点P是直线与直线的交点，过点P作直线与圆C交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程． 【解析】（1）设圆的方程为 把点，，代入得： 解得： 所以圆的方程为：，化为标准方程为： （2）联立，解得： 所以 设弦的中点M的坐标为 由垂径定理得：，即，则 由第一问知，圆心坐标为 所以，整理得： 故中点M的轨迹方程为 【例13】已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易得弦中点为直线和的交点，设，则直线的方程为，又均与圆相切，故，故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦．又以为直径的圆的方程为，即，故的方程为相减，即．又，所以，代入有，化简得．当时，；当时，均满足方程． 又当时，不满足题意． 综上有点的轨迹方程为 故选：B 变式8 若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（       ） A． B． C．中点的轨迹方程为 D．中点的轨迹方程为 【答案】C 【解析】两圆方程相减可得直线AB的方程为， 即， 因为圆的圆心为，半径为1， 且公共弦AB的长为1，则到直线 的距离为， 所以，解得， 故A、B错误； 由圆的性质可知直线垂直平分线段， 所以到直线的距离 即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为， 因此， 即，故C正确，D错误； 故选：C 变式9 （多选题）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（       ） A．定点 B．定点 C．点的轨迹方程为 D．的最大值为 【答案】BC 【解析】对于A选项，直线过定点，A错； 对于B选项，直线的方程可化为， 由可得，故定点，B对； 对于C选项，，所以，，所以，， 线段的中点为，且，所以，， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 所以，点的轨迹方程为，即，C对； 对于D选项，设点，，， 所以，， 所以，， 记点，则， 因为且， 所以，， 所以，，当且仅当、、三点共线且点在线段上时， 等号成立，故的最大值为，D错． 故选：BC． 变式10 （多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设点C的坐标为 则 对于A：由得，即，故A错误； 对于B：由得，整理得，即，故B正确； 对于C：由得，即，故C正确； 对于D：由得，即，故D正确； 故选：BCD 变式11 已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【解析】选择条件①，设点，令定点为P， 因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C（0，0）时，则，有， 当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立， 因此有，而，于是得，即， 由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内， 由点M在圆C内，得且， 所以AB中点M的轨迹方程是：（且）． 选择条件②，设点， 因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则， 则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外）， 当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上， 因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为， 由解得或，而点M在圆C内，则有， 所以AB中点M的轨迹方程是：． 变式12 在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上． （1）求圆的方程； （2）已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【解析】（1）由， 令，解得或；令，得， 所以圆过． 设圆的方程为， ，解得， 所以圆的方程为． （2）设，则， 将的坐标代入圆的方程得， 即． 知识点四：利用参数方程求取值范围 ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 【例14】 圆，，，，为圆上任一点，设。 （注意尝试从代数法和几何法两个角度去求解） 1、 求取值范围。 2、 求的范围。 3、 求的范围。 4、 求的范围。 5、 求的范围。 6、 求的范围。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 圆的方程 知识点一：圆标准方程与一般方程 1．圆的四种方程 （1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为 （2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径 （3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是： 题型一：求圆的标准方程 方法一：待定系数法求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点． 方法二：用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等． 【例1】 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【例2】 已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A． B． C． D． 【例3】 已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________． 变式1 过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 变式2 圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______． 变式3 若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为____． 题型二：圆的一般方程 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径。 【例4】 已知a∈R，若方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（       ） A．（－2，－4） B． C．（－2，－4）或 D．不确定 【例5】 设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4 方程表示的曲线为（       ） A．两条线段 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．一条射线和半个圆 变式5 “”是“方程是圆的方程”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．点与圆的位置关系判断 （1）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． （2）点与圆的位置关系： ①点P在圆外； ②点P在圆上； ③点P在圆内． 题型三：点与圆的位置关系判断 【例6】 已知点在圆C：的外部，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例7】 已知直线过点，则（       ） A． B． C． D． 变式6 已知点在圆的内部，则（       ） A． B． C． D． 知识点二：圆系方程 求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）． 圆系方程：若圆与圆相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为： 简记为：，不含 当时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴） 注意：与圆C共根轴l的圆系 题型四：直线系方程和圆系方程 【例8】 过圆与的交点，且圆心在直线上的圆的方程是_______． 变式7 已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 知识点三：圆的第二，第三定义 第二定义：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足为定值，点的轨迹是个圆，特别是当，点的轨迹是以为直径的圆。 第三定义：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线） 求轨迹的五种方法。 方法一：相关点法： 方法二：点差法： 方法三：几何定义法： 方法四：直接法： 方法五：参数法： 题型五：与圆有关的轨迹问题。 【例9】 已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________．（直接法） 【例10】 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ）（定义法） A． B． C． D． 【例11】 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ）（圆的第二定义+直接法） A． B． C． D． 【例12】 过点P作直线与圆C：交于点A，B，求弦的中点M的轨迹方程．（点差法） 【例13】 已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（       ）（参数法） A． B． C． D． 变式8 若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（       ）（几何定义法+直接法） A． B． C．中点的轨迹方程为 D．中点的轨迹方程为 变式9（多选题）已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则（       ） A．定点 B．定点 C．点的轨迹方程为 D．的最大值为 变式10（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（       ） A． B． C． D． 变式11 已知圆，直线l且与圆C交于A，B两点， ①若l过点，求AB中点M的轨迹方程． ②l斜率为2，求AB中点M的轨迹方程． 变式12 在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上． （1）求圆的方程； （2）已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 知识点四：利用参数方程求取值范围 ①的参数方程为（为参数）； ②的参数方程为（为参数）． 注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 【例14】 圆，，，，为圆上任一点，设。 （注意尝试从代数法和几何法两个角度去求解） 1、 求取值范围。 2、 求的范围。 3、 求的范围。 4、 求的范围。 5、 求的范围。 6、 求的范围。 学科网（北京）股份有限公司 $$