第2讲 两条直线的位置关系 讲义-2026届高三数学一轮复习

课时2 两条直线的位置关系 知识点一：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 题型一：两直线位置关系的判定 【例1】已知直线：，：，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，：，即；：， 即，两直线的斜率相等，所以，即“”是“”的充分条件； 当时，，解得或，当时，两直线方程不同，符合题意， 当时，：，：即，不符合题意， 所以，当时，，即“”是“”的必要条件， 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：C． 【例2】直线和直线垂直，则实数__________． 【答案】0或1 【解析】因直线和直线垂直， 则有，即，解得或， 所以或． 故答案为：0或1 变式1 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（       ） A． B．2或 C．2 D． 【答案】D 【解析】直线斜率必存在， 故两直线平行，则，即，解得， 当时，两直线重合，∴． 故选：D． 变式2 直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（       ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 【答案】C 【解析】由直线与直线互相垂直， 可得，解得或3， 当时，联立，解得交点坐标为，不合题意； 当时，联立，解得交点坐标为，合乎题意， 故实数a的值为， 故选：C 知识点二：三种距离 1．两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2．点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3．两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4．双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离． 题型二：有关距离的计算 【例3】已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______． 【答案】直角三角形     5 【解析】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以． 故答案为：直角三角形； 【例4】已知两点到直线的距离相等，则（       ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【解析】因为两点到直线的距离相等， 所以有，或， 故选：D 【例5】已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是． 故选：D． 【例6】求函数的最小值为___________． 【答案】5 【解析】函数 表示轴上动点到和的距离和，当 为与轴的交点时，函数取最小值， 故答案为：5 变式3 直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】显然直线l的斜率存在，故设直线l为：，即， 则或或， ∴l方程为：， ． 故选：C． 变式4 若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（       ） A．或11 B．或10 C．或12 D．或11 【答案】A 【解析】因为两条平行线与之间的距离是2， 所以，或， 故选：A 变式5 ，的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：A 题型三：对称 （1）．点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 【例7】已知，，点是线段的中点，则______． 【答案】 【解析】由中点坐标公式知：，，解得：，，． 故答案为：． 【例8】过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则，解得：，，， ． 故选：D． 变式6 已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________． 【答案】 【解析】由，， 得线段的中点坐标为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即． 故答案为：． 变式7 直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】设直线与和，分别交于点和， 因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得， 所以和，则， 可得直线的方程为，即． 故答案为：． （2）．点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 【例9】在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　） A．（－1，2） B．（2，－1） C．（1，3） D．（3，1） 【答案】D 【解析】设点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点是（a，b）， 则，解得：， 故选：D． 【例10】已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程． 【解析】直线l：即为， 所以直线过定点， 因为一条光线经定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点， 如图所示： 易知 则， 即光线在这个过程中走过的路程为． 变式8 已知A（4，－3）关于直线l的对称点为B（－2，5），则直线l的方程是（       ） A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0 C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0 【答案】B 【解析】由题意得AB的中点C为（1，1），又A，B两点连线的斜率为， 所以直线l的斜率为，因此直线l的方程为，即3x－4y＋1＝0． 故选：B． 变式9 在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点（如图）．若光线经过的重心，且则_________ 【答案】 【解析】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设， 因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或（舍）． 故答案为：． （3）．直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为， 关于直线的对称点为． 【例11】直线关于点对称的直线方程（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求直线上任一点为，则其关于点对称的点为， 因为点在直线上， 所以，化简得， 所以所求直线方程为， 故选：B 变式10 直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 【答案】 【解析】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为． 故答案为：． （4）．直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【例12】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】． 【解析】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为． 故答案为： 变式11 与直线关于对称的直线的方程为__________． 【答案】 【解析】联立，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以点关于直线的对称点为， 由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为： ，即． 故答案为： 知识点四：直线系方程 （1）．平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． （2）．垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． （3）．过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 【例13】求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程． 【解析】设过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0， 即（1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率为2， 解得λ， ∴所求的直线方程为2x+y+8＝0． 变式12 求经过直线与的交点，且过点的直线方程． 【解析】易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为， 将点的坐标代入，得，解得， 故所求直线方程为，整理得． 【方法技巧与总结】 利用直线系方程求解． 题型五：有关距离的最值问题 【例14】原点到直线的距离的最大值为（       ） A． B． C． D． 点到直线的距离的最大值等于点到定点的距离。 【答案】C 【解析】因为可化为， 所以直线过直线与直线交点， 联立可得 所以直线过定点， 当时，原点到直线距离最大，最大距离即为， 此时最大值为， 故选：C． 【例15】已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）． （1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 和差距离的最值，三点共线时取到 【解析】（1）如图①，设点C关于l的对称点为C′（a，b）， 则，解得，所以C′（－1，1）． 所以直线AC′的方程为y＝1． 由，得直线AC′与直线l的交点为，此时|AP|＋|CP|取最小值． （2）如图②，设点B关于l的对称点为B′（m，n）， 则，解得，所以B′（3，3）． 所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0． 由，得直线AB′与直线l的交点为Q（2，5），此时|AQ|－|BQ|取最大值． 【例16】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 利用两直线互相垂直的特点，找到动点所在的圆轨迹，再利用基本不等式求表达式的最值 【答案】A 【解析】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得 解得，当且仅当时取得最大值． 故选：A． 变式13 已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________． 【答案】3 【解析】如图，可得两点在直线的同侧，设点关于直线的对称点， 则， 所以的最小值为， 因为，直线为，所以， 所以， 所以的最小值是3 故答案为：3 变式14 已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（       ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【解析】由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点， 又，所以，即在以为直径的圆上， ，由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径，即， 所以面积的最大值为． 故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 两条直线的位置关系 知识点一：两直线平行与垂直的判定 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 题型一：两直线位置关系的判定 【例1】 已知直线：，：，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】 直线和直线垂直，则实数__________． 变式1 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（       ） A． B．2或 C．2 D． 变式2 直线与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（       ） A．1 B．3 C．－1 D．－3 知识点二：三种距离 1．两点间的距离 平面上两点的距离公式为． 特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离 2．点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3．两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 4．双根式 双根式型函数求解，首先想到两点间的距离． 题型二：有关距离的计算 【例3】 已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为______；的面积为______． 【例4】 已知两点到直线的距离相等，则（       ） A．2 B． C．2或 D．2或 【例5】 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（       ） A．4 B． C． D． 【例6】 求函数的最小值为___________． 变式3 直线l过点，且到l的距离相等，则直线l的方程是（       ） A． B． C．或 D．或 变式4 若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（       ） A．或11 B．或10 C．或12 D．或11 变式5 函数，的最小值为（       ） A． B． C． D． 题型三：对称 （1）．点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 【例7】 已知，，点是线段的中点，则______． 【例8】 过点的直线与轴､轴分别交于两点，且恰好是的中点，则的斜率为（       ） A． B．、 C． D． 变式6 已知点，，其中，若线段的中点坐标为，则直线的方程为________． 变式7 直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______． （2）．点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 【例9】 在平面直角坐标系xOy中，点（0，4）关于直线x－y+1＝0的对称点为（　　） A．（－1，2） B．（2，－1） C．（1，3） D．（3，1） 【例10】 已知直线l：，一条光线经直线的定点T射入，先后被x轴、x+y=0反射回T点，求光线在这个过程中走过的路程． 变式8 已知A（4，－3）关于直线l的对称点为B（－2，5），则直线l的方程是（       ） A．3x＋4y－7＝0 B．3x－4y＋1＝0 C．4x＋3y－7＝0 D．3x＋4y－1＝0 变式9 在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点（如图）．若光线经过的重心，且则_________ （3）．直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为． 点关于直线的对称点为， 关于直线的对称点为． 【例11】 直线关于点对称的直线方程（       ） A． B． C． D． 变式10 直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_____． （4）．直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线. 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 【例12】 已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 变式11 与直线关于对称的直线的方程为__________． 知识点四 直线系方程 （1）．平行直线系 与已知直线平行的直线系方程（为参数）． （2）．垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程（为参数）． （3）．过两直线交点的直线系 过直线与的交点的直线系方程：（为参数）． 题型四：直线系方程 【例13】 求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程． 变式12 求经过直线与的交点，且过点的直线方程． 题型五：有关距离的最值问题 【例14】 原点到直线的距离的最大值为（       ） A． B． C． D． 点到直线的距离的最大值等于点到定点的距离。 【例15】 已知直线l：3x－y－1＝0及点A（4，1），B（0，4），C（2，0）． （1）试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小； （2）试在l上求一点Q，使|AQ|－|BQ|最大． 和差距离的最值，三点共线时取到 【例16】 （★★★）．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 利用两直线互相垂直的特点，找到动点所在的圆轨迹，再利用基本不等式求表达式的最值 变式13 已知点和点，P是直线上的一点，则的最小值是__________． 变式14 已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（       ） A． B． C．5 D．10 学科网（北京）股份有限公司 $$