第1讲 直线的方程 讲义-2026届高三数学一轮复习

第1讲 直线的方程 知识点一 直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 题型一：倾斜角与斜率的计算 【例1】 过点的直线的倾斜角为（       ） A． B． C．1 D． 【例2】 （多选题）下列四个命题中，错误的有（       ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【例3】 如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【例4】 已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______． 【例5】 若三点共线，则a的值为_________． 变式1 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ） A． B． C． D． 变式2 已知、、三点共线，则的值为（       ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识． 题型二：过定点的直线与线段相交问题（观察可行的直线里面有没有竖线，有竖线则答案包含） 【例6】 已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例7】 已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________． 变式3 经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围． 变式4 点在函数的图象上，当时，的取值范围是（       ） A． B． C． D． 知识点二：直线的方程 1．直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线（所以设点斜式之前需要先讨论斜率不存在） 斜截式 不含垂直于轴的直线（同理设斜截式之前也需要先讨论斜率不存在） 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线（设截距式之前需要先讨论直线过原点） 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用（注意不能同为0） 题型三：直线的方程 【例8】 下列四个命题中真命题有_________个． ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两点的直线都可以用方程表示； ③不经过原点的直线都可以用方程表示； ④经过定点的直线都可以用方程表示． 【例9】 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【例10】 已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（       ） A．1 B． C．或1 D．2或1 变式5 已知直线过点，，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 变式6 （多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（       ） A． B． C． D． 题型四：直线过定点问题（合并参数） 【例11】 直线经过的定点坐标是______． 【例12】 已知实数m，n满足，则直线必过定点________________． 变式7 动直线，恒过的定点是________ 变式8 对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________． 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 【例13】 已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【例14】 设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值． 变式9 直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)求的最小值及此时直线l的方程. 3．线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 题型六：中点公式 【例15】 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________． 变式10 已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值. — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 直线的方程 知识点一 直线的倾斜角和斜率 1．直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2．直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3．过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4．三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 题型一：倾斜角与斜率的计算 【例1】过点的直线的倾斜角为（       ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为， 故选：A． 【例2】（多选题）下列四个命题中，错误的有（       ） A．若直线的倾斜角为，则 B．直线的倾斜角的取值范围为 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 【答案】ACD 【解析】因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以， 当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确； 对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误； 故选：ACD 【例3】 如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由斜率的定义可知，. 故选：A． 【例4】已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______． 【答案】          【解析】由题易知直线l的斜率存在，故. 则，当且仅当，即时，等号成立. 所以或，即直线l的倾斜角的取值范围是或. 故答案为：；或. 【例5】若三点共线，则a的值为_________． 【答案】 【解析】由三点共线 故 故答案为：. 变式1 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的斜率为，且， ，因为， . 故选：A. 变式2 已知、、三点共线，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值. 【详解】 由于、、三点共线，则，即，解得. 故选：C. 【方法技巧与总结】 斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 题型二：过定点的直线与线段相交问题 【例6】已知直线：，点，，若直线与线段相交，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线方程变形得：. 由得，∴直线恒过点， ，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或， 又， ∴或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， ∴的取值范围为. 故选：C. 【例7】已知，，点是线段（包括端点）上的动点，则的取值范围是 ________． 【答案】[1，2] 【解析】设，则可以看成过点与坐标原点的直线的斜率. 当点在线段上由点运动到点时，直线的斜率由增大到，如图所示. 又，，所以，即的取值范围是[1，2]. 故答案为：[1，2] 变式3 经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，求直线l的倾斜角和斜率k的取值范围． 【解析】因为，，由与线段相交， 所以， 所以或， 由于在及均为增函数， 所以直线的倾斜角的范围为：. 故倾斜角的范围为，斜率k的范围是. 变式4 点在函数的图象上，当时，的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 故选：B. 知识点二：直线的方程 1．直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2．直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线（所以设点斜式之前需要先讨论斜率不存在） 斜截式 不含垂直于轴的直线（同理设斜截式之前也需要先讨论斜率不存在） 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线（设截距式之前需要先讨论直线过原点） 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用（注意不能同为0） 题型三：直线的方程 【例8】下列四个命题中真命题有_________个． ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过任意两点的直线都可以用方程表示； ③不经过原点的直线都可以用方程表示； ④经过定点的直线都可以用方程表示． 【答案】1 【解析】①由于直线过定点，当直线斜率存在时，可用方程表示， 当直线斜率不存在时，方程是，①不正确； ②当时，经过任意两个不同的点的直线方程是，满足方程， 当时，经过任意两个不同的点的直线的斜率是， 则直线方程是，整理得，②正确； ③当直线斜率不存在时，不经过原点的直线方程是，不可以用方程表示， 当直线的斜率存在时，不经过原点的直线可以用方程表示，③不正确； ④当直线斜率不存在时，经过点的直线方程是，不可以用方程表示， 当直线的斜率存在时，经过点的直线可以用方程表示，④不正确， 所以给定的4个命题中，真命题只有1个. 故答案为：1 【例9】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为. 故选：C. 【例10】已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（       ） A．1 B． C．或1 D．2或1 【答案】D 【解析】当时，直线，此时不符合题意，应舍去； 当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意； 当且，由直线可得：横截距为，纵截距为. 由，解得：. 故的值是2或1. 故选：D 变式5已知直线过点，，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的两点式方程可得， 直线l的方程为，即． 故选：C． 变式6（多选题）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】若直线过原点，则直线的方程为， 将点代入得，所以直线方程为，即； 若直线不过原点，根据题意，设直线方程为， 将点代入得，故直线的方程为； 所以直线的方程为：或． 故选：AB． 题型四：直线过定点问题 【例11】 直线经过的定点坐标是______． 【答案】 【解析】把直线的方程改写成：， 由方程组，解得：，所以直线总过定点， 故答案为： 【例12】已知实数m，n满足，则直线必过定点________________． 【答案】 【解析】由已知得， 代入直线得， 即， 由，解得， 直线必过定点， 故答案为:. 变式7 动直线，恒过的定点是________ 【答案】 【解析】∵， ∴ ∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直线恒过定点（2，2）． 故答案为：． 变式8对任意的实数，，直线恒经过的一个定点的坐标是________． 【答案】 【解析】由直线整理得 对任意的实数，，直线恒经过的一个定点. 所以，解得 由点代入直线， 满足 所以点在直线上， 即直线恒过定点 故答案为: 题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 【例13】 已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知， 令，所以直线与轴的交点为， 令，所以直线与轴的交点为， 所以， 当且仅当即时取等，所以此时直线为：. 故选：C. 【例14】设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的一般式方程； (2)若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值． 【解析】(1)对于直线的方程为， 当直线经过原点时，，求得，此时它的方程为； 当直线不经过原点时，它的方程即，由于它两坐标轴上的截距相等， 故有，求得，它的方程为， 综上可得，的一般式方程为，或． (2)因为，令，则，令，则，所以，， 与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为， 的横坐标，的纵坐标，求得． 所以 ，当且仅当时取等号， 故为坐标原点）面积的最小值为6． 变式9 直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点. (1)当面积最小时，求直线l的方程； (2)求的最小值及此时直线l的方程. 【解析】(1)设直线，且 ∵直线过点 则 当且仅当即时取等号 所以的最小值为， 直线1即. (2)由 ∴， 当且仅当即时取等号， ∴此时直线, 故的最小值为9，此时直线l的方程. 题型六：中点公式 【例15】过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________． 【答案】x＋4y－4＝0 【详解】设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4， 即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 故答案为：x＋4y－4＝0. 变式10 已知直线 ：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值. 【解析】 则直线过定点 设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点 在中令，则，即 所以， 即，将其代入直线中可得解之得 【方法技巧与总结】 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$