第4讲 直线与圆的位置关系 讲义——2026届高三数学一轮复习

第4讲 直线与圆的位置关系 知识点一：直线与圆的位置关系判断 1. （1）几何法（圆心到直线的距离和半径大小关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 2. 弦长问题 利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．。 题型一：直线与圆的相交关系 【例1】 已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ） A． B． C． D． 【例2】 已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（       ）（圆内接三角形问题转化为圆心到弦AB的距离） A．－2 B．2 C． D． 变式1 若直线与圆相交所得的弦长为，则_____． 变式2 已知直线与圆C：相交于点A，B，若是直角三角形，则实数 . 3. 圆的切线方程的求法 （1）点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2） 点在圆外， 则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 4. 有关圆的极点极线结论。 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）若在圆外部，过点P可以做两条切线，两个切点所在直线方程，即切点弦方程，与上面的切线方程形式相同。 题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题 【例3】 过点与圆相切的直线是_________． 【例4】 过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则直线的方程为_______． 变式3 已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________． 变式4 已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________． 题型三：存在点P满足***，求参数的范围。（交轨法：找到点P满足的两种轨迹的交点） 【例5】 已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（       ） A．3 B．2 C．1 D．0 【例6】 已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【例7】 已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 变式5（多选题）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（       ） A．当时，直线与圆相离 B．若直线是圆的一条对称轴，则 C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为 D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为 变式6 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型四：直线与圆的最值 （1）直线与圆相交 【例8】 直线过点且与圆交于两点。 1、 求圆心到直线的距离的最大值。 2、 求的取值范围。 3、 求的最大值。 变式7（多选）已知圆，直线．则以下几个命题正确的有（       ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 变式8 在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______． （2）直线与圆相离 【例9】 为直线上任一点，过点做圆的两条切线，切点为。 1、 求的最小值。 2、 求的最小值。 3、 求的最大值。 4、 求的最小值。 5、 求的最小值。 变式9（多选题）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（       ） A．四边形面积的最小值为4 B．当直线的方程为时，最小 C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则 D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与圆的位置关系 知识点一：直线与圆的位置关系判断 1. （1）几何法（圆心到直线的距离和半径大小关系） 圆心到直线的距离，则： 直线与圆相交，交于两点，； 直线与圆相切； 直线与圆相离 （2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由， 消元得到一元二次方程，判别式为，则： 直线与圆相交； 直线与圆相切； 直线与圆相离． 2. 弦长问题 利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法．。 题型一：直线与圆的相交关系 【例1】已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：B. 【例2】已知直线与圆C：相交于点A，B，若是正三角形，则实数（       ）（圆内接三角形问题转化为圆心到弦AB的距离） A．－2 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】设圆的半径为，由可得， 因为是正三角形，所以点到直线的距离为 即，两边平方得， 故选：D 变式1 若直线与圆相交所得的弦长为，则_____． 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 变式2 已知直线与圆C：相交于点A，B，若是直角三角形，则实数 . 3. 圆的切线方程的求法 （1）点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． （2）点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上． 4. 有关圆的极点极线结论。 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）若在圆外部，过点P可以做两条切线，两个切点所在直线方程，即切点弦方程，与上面的切线方程形式相同。 题型二：直线与圆的相切关系、切点弦问题 【例3】过点与圆相切的直线是_________． 【答案】 【解析】由题意，因为，所以点在圆上， 所以过点与圆相切的直线的斜率， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 【例4】过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为_______． 【答案】 【解析】方法1：由题知，圆的圆心为，半径为， 所以过点作圆的两条切线，切点分别为、， 所以， 所以直线的方程为，即； 方法2：设，，则由，可得， 同理可得， 所以直线的方程为. 故答案为： 变式3 已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________． 【答案】或. 【解析】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：，满足与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：， 则：，解得，此时切线方程为：，即， 故答案为：或 变式4 已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________． 【答案】(1，－1) 【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有，解得，则直线AB恒过定点(1，－1). 题型三：存在点P满足***，求参数的取值范围。 【例5】已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（       ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】设点，则， 且，由，得 ， 即， 故点P的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 则两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点P有2个. 【例6】已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上，若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 设圆心的坐标为，则圆的方程为， 设点，由可得， 整理可得， 由题意可知，圆与圆有公共点，所以，， 即，解得. 所以，圆心的横坐标的取值范围是. 【例7】已知圆，圆，若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，使得，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知圆O的半径为，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线， 切点分别为A，B，使得，则， 在中，， 所以点在圆上， 由于点P也在圆M上，故两圆有公共点. 又圆M的半径等于1，圆心坐标， ， ∴， ∴. 变式5 （多选题）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（       ） A．当时，直线与圆相离 B．若直线是圆的一条对称轴，则 C．已知点为圆上的动点，若直线上存在点，使得，则的最大值为 D．已知，，为圆上不同于的一点，若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】当时，直线：，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆心相离，故A正确； 若直线是圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，即，解得，故B正确； 当与圆相切时，取得最大值，只需此时，即时，故圆心到直线的距离，解得，故C错误； 设的中点为，，则，，故，当且仅当且点在点正上方时，等号成立，故D正确． 故选：ABD． 变式6 若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数a的取值范围为， 题型四：直线与圆的最值 1. 直线与圆相交 【例8】直线过点且与圆交于两点。 1、 求圆心到直线的距离的最大值。 2、 求的取值范围。 3、 求的最大值。2 变式7（多选）已知圆，直线．则以下几个命题正确的有（       ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 【答案】ABC 【解析】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确； 在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确； ，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确； 直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错． 变式8 在平面直角坐标系中，点，直线-1），动点满足，则动点的轨迹的方程为______，若的对称中心为与交于两点，则的方程为面积的最大值为______． 【答案】     【解析】设，由题意得， 化简得的方程为，； 直线的方程可化为，由 解得，所以直线过定点， 又，所以点在圆的内部； 作直线，垂足为， 设，易求，所以， 所以， 所以， 所以当，即时，； 故答案为：，. 2. 直线与圆相离 【例9】为直线上任一点，过点做圆的两条切线，切点为。 1、 求的最小值。 2、 求的最小值。 3、 求的最大值。 4、 求的最小值。 5、 求的最小值。 变式9（多选题）已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线，切点为A，B，则下列说法正确的是（       ） A．四边形面积的最小值为4 B．当直线的方程为时，最小 C．已知圆上有且仅有两点到直线l的距离相等且为d，则 D．若动直线，且交圆M于C、D两点，且弦长，则直线纵截距的取值范围为 【答案】ACD 【解析】四边形面积的最小值即为时，而，，所以，A正确； 当直线的方程为时，此时最小，最大，且为，B错误； 圆上点到直线l的距离取值范围为，除去最远以及最近距离外均有两点到直线的距离相等，即为，C正确； 设M到直线的距离为d，因为，且，所以，则， 设，即，所以，D正确， — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $$