精品解析：广东省深圳市福田区深圳大学附属中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

深大附中2024-2025学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 说明：1．全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记． 3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分） 4．考试结束，请将答题卡上交． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且，特别要注意的条件，根据一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故A选项不符合题意； B、由已知方程得到，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C、该方程不是整式方程，故C选项不符合题意； D、该方程符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意； 故选：D． 3. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质．不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．据此进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； C、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意； D、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察函数图象得到当x≥-1时，直线l1：y1=k1x+b1都在直线l2：y2=k2x的上方，即y2≤y1． 【详解】解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1， ∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，考查了学生观察函数图象的能力，解题时要注意应用数形结合思想． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 B. 两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形 C. 矩形的对角线相等且互相垂直 D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判定，等腰三角形三线合一，正方形，矩形的判定，正多边形的性质，中位线，根据上述知识点进行判定即可．逐一分析各选项是否符合几何图形的性质或公式． 【详解】解：A中，等腰三角形的顶角角平分线、底边中线和底边高线重合，但底角的角平分线、中线和高不满足，故A错误． B中，对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，当且仅当原四边形对角线相等且垂直时才是正方形，故B错误． C中， 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当为正方形时成立，故C错误． D中，设正多边形边数为，由内角和公式得，正六边形每个外角为，故D正确． 故选：D． 6. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案． 【详解】解：设月平均增长率为x， 由题意得，， 故选：C． 7. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，P为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∵是的垂直平分线， ∴P为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， ∴由折叠的性质得到， 在中，． 故选：D． 8. 如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，得到，然后结合等边对等角得到，然后结合即可判断③；连接，证明出，得到，然后结合，即可证明出四边形是平行四边形，进而可判断④；由，，而，从而得到，即可判断⑤． 【详解】∵，但不一定等于， ∴不一定等于，故①错误； ∵， ∴ ∵平分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵中点为F ∴，故②正确； 如图所示，延长，交于点H ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵点F为的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的中位线 ∴ ∴，故③错误； 如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∵，，而不一定等于 ∴不一定等于，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②④． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、平行四边形的判定等知识点．掌握相关结论是解题关键． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式的结果是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 10. 用换元法解分式方程：，若设，则，原方程可化成关于y的整式方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设 ，则，把原方程化为：，再把前面的整体换元，即可得到答案． 【详解】解：因为： 所以： 设，原方程化为；， 所以去分母得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用换元法解方程，整体代入换元是解答本题的关键． 11. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，推出为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到， ，， 等腰三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键． 12. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】由题意得出∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=8，证四边形BGDH是菱形，得出BH=DH=DG=BG，设BH=DH=x，则AH=8-x，在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF， ∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=8， ∴四边形BGDH是平行四边形， ∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE， ∴BG=BH， ∴四边形BGDH是菱形， ∴BH=DH=DG=BG， 设BH=DH=x，则AH=8-x， 在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2， 解得：x=， ∴BG=， ∴四边形BGDH的周长=4BG=25； 故答案为：25． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键． 13. 如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，． 有以下结论： ①当，时，能得到形状唯一的． ②当，时，不能得到形状唯一的． ③当，时，不能得到形状唯一的． ④当，时，能得到形状唯一的． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法、直角三角形的性质等知识点，关键是确定以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数是解题的关键． 分别在以上四种情况下以P为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为Q点，作出进行判断即可． 【详解】解：如图，当，时，由垂线段最短可知：以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有一个交点，作出，故唯一，故①正确，符合题意； 如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故②正确，符合题意； 如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③错误，不符合题意； 如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是①②④． 故答案为①②④． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并将解集在数轴上表示． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 【详解】解：， 解①得x＜3， 解②得x≥-1， 所以不等式组的解集为， 用数轴表示为 ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 15. 先化简，再求值，从、3、中选择一个合适的值代入． 【答案】． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 因为，， 所以当时， 原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值及分式的化简求值，熟知二次根式及分式混合运算的法则是解题的关键． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 ∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 17. 在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F． （1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线． （2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF． 【答案】（1） 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BDE与△DCF是直角三角形． 在Rt△BDE与Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF． 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线； （2） 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE＝DF， ∵AD是BC边的中线， ∴BD＝CD． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝CF． 【解析】 【分析】（1）根据D是BC的中点可得，根据 DE⊥AB可得，利用直角三角形全等的判定和性质可得，DE＝DF，再用角平分线得判定定理即可证明； （2）根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据D是BC的中点可得，再用HL证明，最后用全等三角形对应边相等证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定（HL），角平分线的性质定理和判定定理，用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键． 18. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍． （1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？ 【答案】（1）购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元 （2）该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设使用材料生产的吉祥物的单价为元个，则使用材料生产的吉祥物的单价为元个，利用数量=总价单价，结合用3000元购买用材料生产吉祥物的数量是用1500元购买材料生产吉祥物数量的4倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出使用材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用材料生产的吉祥物的单价； （2）设该学校此次购买m个使用材料生产的吉祥物，则购买个使用材料生产的吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过3000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元； 【小问2详解】 设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物， 依题意，得：， 解得：． ∴m的最大值为10， 答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物． 19. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． （2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； （3）当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒 （2）或15秒 （3）秒或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意已知，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，然后利用时间、路程、速度的关系求解即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点P、Q分别沿运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即，因为Q、P点的速度已知，的长度已知，用t可分别表示的长，即可求得时间t； （3）当时，点P向点C运动，使是等腰三角形，可分三种情况，即；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴ ∴P从B运动到C，即：，， ∴，解得：， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：若点P、Q分别沿运动时，，，， ∴，解得：（秒）； 若点P返回时，，， ∴，解得：（秒）． 故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等； 【小问3详解】 解：如图：当时，作于H，则，， ∵， ∵， ∴，解得： 秒； 当时，， ∵， ∴，解得（秒）； 当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴方程无实根， 综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形． 20. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 【答案】任务一：D； （1）如图， 证明：∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）∵四边形是“垂等四边形”， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由上已证， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； 任务三：连接，分别交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形是“垂等四边形”． 【解析】 【分析】任务一：根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质分析即可； 任务二：（1）由，得到，再由直角三角形斜边中线得到，则，再由角的和差证明即可； （2）由三角形中位线得到，由直角三角形斜边中线得到，结合“垂等四边形”得，故，即可证明为菱形，由三角形中位线得到，那么，而，则，由，得到； 任务三：连接，分别交于点，先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，则，根据得到，设，则，由于点为中点，则，故，即可证明． 【详解】任务一： 解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意； B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意； C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意； D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意， 故选：D； 任务二：略 任务三：略 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深大附中2024-2025学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 说明：1．全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记． 3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分） 4．考试结束，请将答题卡上交． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是( )． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 B. 两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形 C. 矩形的对角线相等且互相垂直 D. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于 6. 某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（ ） A. ①②③ B. ②④ C. ②④⑤ D. ③④⑤ 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 分解因式的结果是_____________． 10. 用换元法解分式方程：，若设，则，原方程可化成关于y的整式方程是__________． 11. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是______． 12. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为__________． 13. 如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，． 有以下结论： ①当，时，能得到形状唯一的． ②当，时，不能得到形状唯一的． ③当，时，不能得到形状唯一的． ④当，时，能得到形状唯一的． 其中正确结论的序号是__________． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组，并将解集在数轴上表示． 15. 先化简，再求值，从、3、中选择一个合适的值代入． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 17. 在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F． （1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线． （2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF． 18. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍． （1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？ 19. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． （1）当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． （2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； （3）当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 20. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $