3.3.2 抛物线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　 ) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y 解析：C　[设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，依题意得x＝，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，∴2|y|＝2p＝8，p＝4. ∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.] 2．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是(　　 ) A．(－m，－n)　　　　 B．(m，－n) C．(－m，n) D．(－n，－m) 解析：B　[由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上．故选B.] 3．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　 ) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 解析：B　[当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.] 4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：B　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由直线AB的斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，与抛物线方程y2＝8x联立得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以|AB|＝×＝×＝2.] 5．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是(　　 ) A．p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2 解析：ABC　[如图所示，作AC⊥准线于C，AM⊥x轴于M，BE⊥准线于E. 直线的斜率为，故tan ∠AFM＝，∠AFM＝，|AF|＝4，故|MF|＝2， |AM|＝. A，代入抛物线得到p＝2；|NF|＝|FM|＝2，故△AMF≌△DNF，故F为AD中点；∠BDE＝，故|DB|＝2|BE|＝2|BF|；|BD|＝2|BF|，|BD|＋|BF|＝|DF|＝|AF|＝4，故|BF|＝；故选ABC.] 6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为　___________　. 解析：根据题意，抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，设A＝(m，n)，则|AF|＝m＋1＝5，∴m＝4， ∴n＝±4，∴S△AOF＝×1×4＝2. 答案：2 7.如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高5 m，水面宽度AB＝12 m．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体的货物欲从桥下中央经过，已知长方体货物总宽6 m，若要使船只顺利通过该桥，则长方体货物的顶部离水面的距离应低于　______　m. 解析：以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 设抛物线方程为x2＝my(m<0)，根据题意知点B(6，－5)在抛物线上． ∴36＝－5 m，∴m＝－， ∴x2＝－y.可设C(3，－5)，过C作AB的垂线，交抛物线于D(3，y0)，则9＝－y0，∴y0＝－. ∴长方体货物的顶部离水面的距离应低于5－＝(m)． 答案： 8.已知抛物线E的顶点在原点，焦点F在y轴正半轴上，抛物线上一点P(m,4)到其准线的距离为5，过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2＋(y－1)2＝1交于A、C、D、B四点． (1)求抛物线E的方程； (2)探究|AC|·|BD|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)由题意，设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)， 因为抛物线上一点P(m,4)到其准线的距离为5， 所以4＋＝5，解得p＝2， 所以抛物线的方程为x2＝4y. (2)由(1)知，抛物线的焦点为F(0,1)，恰好为圆x2＋(y－1)2＝1的圆心， 设直线l的方程为y＝kx＋1，设A(x1，y1)，B(x2，y2), 因为过点F的直线l依次与抛物线E及圆x2＋(y－1)2＝1交于A、C、D、B四点， 根据抛物线的定义可得，|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1， 则|AC|·|BD|＝(|AF|－1)·(|BF|－1)＝y1y2， 由得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4， 因此|AC|·|BD|＝y1y2＝·＝＝1， 即|AC|·|BD|为定值． [能力提升练] 9．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　 ) A.　　 B．3 C.　　 D. 解析：A　[由题意，设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线的准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝，故选A.] 10．(2023·新课标Ⅱ，10)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 解析：AC　[直线y＝－(x－1)与x轴的交点为(1,0)可知，抛物线的焦点的坐标为(1,0)，所以p＝2，故A正确；由kMN＝－可知直线MN的倾斜角为120°，所以|MN|＝＝，故B错误；过点M作准线l的垂线，交l于点M′，过点N作准线l的垂线，交l于点N′，并取MN的中点为P，过点P作准线l的垂线，交l于点P′，连接MP′、NP′，由抛物线的定义知MF＝MM′，NF＝NN′，所以|MN|＝|MM′|＋|NN′|，所以由梯形的中位线可知PP′＝(|MM′|＋|NN′|)＝|MN|，所以PP′＝MP＝PN，所以以MN为直径的圆与l相切，故C正确，由图观察可知，△OMN显然不是等腰三角形，故D错误．] 11．已知抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限内的一点A(3，b)到抛物线焦点F的距离为4，若P为抛物线准线上任意一点，则当△PAF的周长最小时，点P到直线AF的距离为　______　. 解析：由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为4，因此有3＋＝4，解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x，从而A(3,2)．当△PAF的周长最小即|PA|＋|PF|的值最小时，设F关于准线的对称点为F1，则F1(－3，0)，连接AF1，则AF1与准线的交点即为使得|PA|＋|PF|的值最小的点P，此时可求得P.又因为kAF＝＝，所以直线AF的方程为y－0＝(x－1)，即x－y－＝0，故点P到直线AF的距离d＝＝. 答案： 12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的一点M(2，a)到抛物线的焦点F的距离是3. (1)求抛物线C的方程； (2)已知过点F的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与C的准线l交于点D，且线段AB的中点为N，设|DN|＝λ|AB|，求实数λ的取值范围． 解：(1)根据抛物线的定义有|MF|＝2＋＝3，p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)F(1,0)，抛物线的准线为x＝－1，依题意可知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为x＝my＋1. 由消去x得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝1， 所以N(2m2＋1,2m)． 因为DN垂直平分AB， 所以直线DN的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，即mx＋y－2m3－3m＝0， 令x＝－1，得－m＋y－2m3－3m＝0，即y＝2m3＋4m，则D(－1,2m3＋4m)． 又|DN|＝λ|AB|， 则λ2＝ ＝ ＝ ＝ ＝(1＋m2)＝＋m2≥， 所以λ≥，即实数λ的取值范围为. [素养培优练] 13．(多选)已知F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，直线l经过点F并交抛物线于A，B两点，则下列说法正确的是(　　) A．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 B．若＝2，则直线AB的斜率k＝3 C．弦AB的中点M的轨迹为一条抛物线，其方程为y2＝2px－p2 D．若p＝4，则|AF|＋4|BF|的最小值为18 解析：AD　[由抛物线的方程可得焦点F，准线方程为x＝－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M， 对于A，利用焦点弦的性质可得|AB|＝x1＋x2＋p，而AB的中点M到准线的距离d＝－＝(x1＋x2＋p)＝|AB|， ∴以AB为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确； 对于B，设直线AB的方程为x＝my＋，当直线AB的斜率k＝＞0时，联立整理可得y2－2mpy－p2＝0，可得y1＋y2＝2mp，y1y2＝－p2， ∵＝2，∴y1＝－2y2，解得y2＝－2mp，y1＝4mp，∴－8m2p2＝－p2，解得m2＝， ∴k＝＝2，因此B不正确； 对于C，设M(x，y)，结合A，B选项可得y＝＝mp，x＝＝＋＝m2p＋，消去m整理可得y2＝px－，因此C错误； 对于D，若p＝4，则抛物线C：y2＝8x，不妨设x1＞x2＞0，则x1x2＝＝4，∴|AF|＋4|BF|＝x1＋4x2＋10＝＋4x2＋10≥4×2＋10＝18，当且仅当x2＝1，x1＝4时取等号，因此D正确．] 14.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为　__________　. 解析：由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F.当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得k2＝2px，整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0，所以x1＋x2＝p＋，x1x2＝.所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2p>2p.综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短． 又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3， ∴抛物线方程为y2＝3x. 答案：y2＝3x 学科网（北京）股份有限公司 $$