3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为(　　 ) A．16　　　 B．8 C．2　　　 D．1 解析：C　[由题意＝，得m＝1，所以虚轴长为2.] 2．若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　 ) A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：D　[若0<k<5，则5－k>0,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为4，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理，方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴长为，虚半轴长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等．故选D.] 3．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　 ) A. B．2 C. D． 解析：C　[设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0.由可得P. 由F1(－c,0)及|PF1|＝|OP|，得＝×，化简可得3a2＝c2，即e＝.] 4．(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 解析：AD 　[双曲线C的一个焦点为F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上， 所以＝.因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．] 5．(多选)关于双曲线C1：－＝1与双曲线C2：－＝1，下列说法正确的是(　　 ) A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点 C．它们的离心率相等 D．它们的焦距相等 解析：AD　[双曲线C1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 双曲线C1的顶点坐标为(±，0)，双曲线C2的顶点坐标为(0，±)，故B错误； 双曲线C1的离心率为e1＝＝＝＝，双曲线C2的离心率为e2＝＝＝＝，e1≠e2，故C不正确； 双曲线C1的焦距为2c1＝2，双曲线C2的焦距为2c2＝2，故D正确．] 6．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于　________　. 解析：双曲线－＝1的一个焦点坐标是(5,0)，一条渐近线的方程为y＝x， 因此焦点到渐近线的距离d＝＝4. 答案：4 7．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作x轴的垂线l，l在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于A，B两点．若点A是线段FB的中点，则双曲线的离心率为　________　. 解析：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x， 由解得或，又A在第一象限，故A. 由解得∴B. ∵F(c,0)，点A是线段FB的中点， ∴＝，∴c＝2b， ∴a＝＝c， ∴e＝＝. 答案： 8．已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小． 解：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1， 所以a＝3，b＝4，c＝5， 所以焦点坐标F1(－5,0)，F2(5,0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x. (2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6， cos ∠F1PF2＝ ＝ ＝＝0，则∠F1PF2＝90°. [能力提升练] 9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A. B. C．(1,2] D．[2，＋∞) 解析：A　[因为点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝5|PF2|，所以4|PF2|＝2a，即|PF2|＝，则|PF1|＝，在双曲线中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即3a≥2c，则≤，即e≤.又双曲线的离心率大于1，所以1＜e≤.] 10．(多选)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F1(2，0)，点A坐标为(0,1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF1的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为(　　 ) A. B．2 C. D．3 解析：ABC　[由右焦点为F1(2，0)，点A的坐标为(0,1)，|AF1|＝＝5，△APF1的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得|PA|＋|PF1|的最小值不小于 9，又F2为双曲线的左焦点，可得|PF1|＝|PF2|＋2a，|PA|＋|PF1|＝|PA|＋|PF2|＋2a， 当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值5＋2a，所以5＋2a≥9，即a≥2，因为c＝2，可得e＝≤.故选ABC.] 11．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，定点Q(0,2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|＋|PQ|的最小值等于　__________　. 解析：结合题意，绘制图象如图所示． 根据双曲线的性质可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，得到|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，而Q(0,2 )，F2(2,0)，所以|QF2|＝＝4，所以|PF1|＋|PQ|的最小值为6. 答案：6 12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)． (1)求双曲线的方程； (2)若点M(a,0)为x轴上一定点，P为双曲线右支上一点，求线段PM长的最小值． 解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等， 所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6， 所以双曲线方程为x2－y2＝6. (2)设P(x，y)(x≥)，|PM|＝＝(x≥)， 令f(x)＝2x2－2ax＋a2－6＝22＋－6(x≥)． ①当≤，即a≤2时，当x＝时，f(x)min＝(－a)2，|PM|min＝|－a|； ②当>，即a>2时，当x＝时，f(x)min＝－6，|PM|min＝. [素养培优练] 13．(多选)把方程＋y|y|＝1表示的曲线作为函数y＝f(x)的图象，则下列结论正确的有(　　 ) A．函数f(x)的图象不经过第三象限 B．函数f(x)在R上单调递增 C．函数f(x)的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1 D．函数g(x)＝2f(x)＋x不存在零点 解析：ACD　[由题意，方程＋y|y|＝1， 当x≥0，y≥0时，＋y2＝1，表示椭圆在第一象限的部分； 当x>0，y<0时，－y2＝1，表示双曲线在第四象限的部分； 当x<0，y>0时，＋y2＝1，表示双曲线在第二象限的部分； 当x<0，y<0时，－－y2＝1，此时不成立，舍去，其图象如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；由函数的图象可得，该函数在R上为单调递减函数，所以B不正确； 由图象可得，函数f(x)的图象上的点P到原点的距离的最小的点在x≥0，y≥0的图象上， 设点P(x，y)，则点P满足x≥0，y≥0时，＋y2＝1，即y2＝1－， 则|PO|＝＝＝， 当x＝0时，|PO|min＝1，所以C正确； 令g(x)＝0，可得2f(x)＋x＝0，即f(x)＝－x， 则函数g(x)＝2f(x)＋x的零点，即为函数y＝f(x)与y＝－x的交点， 又由直线y＝－x为双曲线－y2＝1和＋y2＝1的渐近线， 所以直线y＝－x与函数y＝f(x)没有交点，即函数g(x)＝2f(x)＋x不存在零点， 所以D是正确的．故选ACD.] 14．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，M，N是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，P为双曲线C上的一动点，若kPM·kPN＝4，则双曲线C的离心率为　__________　. 解析：由题意，设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，所以kPM·kPN＝·＝，因为－＝1，－＝1， 所以两式相减可得＋＝0，即＝，因为kPM·kPN＝4，所以＝4，则e＝＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$