2.4.2 圆的一般方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6,3　　　　　 B．－4,6,3 C．－4，－6,3 D．4，－6，－3 解析：D　[由题意得，－＝－2，－＝3，＝4，解得D＝4，E＝－6，F＝－3.] 2．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 C．x2＋y2－4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　[易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.] 3．曲线x2＋y2＋2x－2y＝0关于(　　) A．直线x＝轴对称 B．直线y＝－x轴对称 C．点(－2，)中心对称 D．点(－，0)中心对称 解析：B　[原方程可化为(x＋)2＋(y－)2＝4，表示以(－，)为圆心，半径长为2的圆．又圆过原点，故原点与圆心的连线方程为y＝－x，圆关于此直线轴对称，故应选B.] 4．与圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0同圆心，且过点(1，－1)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2－2x＋4y－4＝0 B．x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 C．x2＋y2＋2x－4y－4＝0 D．x2＋y2＋2x－4y＋4＝0 解析：B　[设所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，由该圆过点(1，－1)，得m＝4， 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋4＝0.] 5．(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0,1)，则实数a的取值可为(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 解析：AB　[圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦AB的中点为M(0,1)，故M点在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a，即a<3.故选AB.] 6．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程为______________． 解析：设动圆圆心为(x，y)，由题意得整理得x－2y－1＝0. 答案：x－2y－1＝0(x≠1) 7．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为的动点M的轨迹方程是x2＋y2＋2x－3＝0”，则该“阿氏圆”的半径是　_____　. 解析：因为x2＋y2＋2x－3＝0，所以(x＋1)2＋y2＝4，所以半径为2. 答案：2 8．已知直线l在y轴上的截距为－2，且垂直于直线x－2y－1＝0. (1)求直线l的方程； (2)设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程． 解：(1)设直线l的方程为y＝kx－2. ∵直线x－2y－1＝0的斜率为，所以直线l的斜率k＝－2. 则直线l的方程为y＝－2x－2. (2)设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)． 由于△OAB是直角三角形， 所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为|AB|； 由A(－1,0)，B(0，－2)得C，|AB|＝； 故解得 则圆C的一般方程为x2＋y2＋x＋2y＝0. [能力提升练] 9．已知圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，－3] C. D． 解析：A　[由x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0，得(x－a)2＋(y＋2a)2＝9，所以圆心坐标为(a，－2a)，半径为3， 因为圆x2＋y2－2ax＋4ay＋5a2－9＝0上所有点都在第二象限， 所以解得a＜－3.] 10．由曲线x2＋y2＝2|x|＋2y围成的图形的面积为(　　) A．2π B．3π C．2π＋3 D．3π＋2 解析：D　[由题知，当x≥0时，曲线为x2＋y2＝2x＋2y， 即(x－1)2＋(y－1)2＝2， 当x＜0时，曲线为x2＋y2＝－2x＋2y，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2，画出曲线x2＋y2＝2|x|＋2y如图，由图知，所求面积为两个圆的面积减去重叠部分的面积．又两圆的半径均为r＝，两圆关于y轴对称，故所求面积为2πr2－2·＝3π＋2.] 11．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是　________　. 解析：直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，S△ABC＝×|AB|×＝×2×＝3－. 答案：3－ 12．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4,5)， ∴|PQ|＝＝2， kPQ＝＝. (2)∵圆心C的坐标为(2,7)， ∴|QC|＝＝4， 圆的半径是2，点Q在圆外， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. [素养培优练] 13．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，点B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上任一点，点P为AB的中点，若点M满足|MA|2＋|MO|2＝58，则线段PM的长度可能为(　　) A．2　　 B．4 C．6　　 D．8 解析：BC　[设P(x，y)，点P为AB的中点，所以B(2x＋4,2y)，代入圆C：(x－2)2＋y2＝4， 可得(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4，整理得点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝1. 设M(x，y)，则(x＋4)2＋y2＋x2＋y2＝58，∴(x＋2)2＋y2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值，即3≤|PM|≤7.故选BC.] 14．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是　___________　；又若·＝0，此时△MAB的面积为___________________． 解析：A(－2,0)，B(2,0)，设M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得 ＝2， 整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0；以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4， 联立解得|y|＝. 即M点的纵坐标的绝对值为. ∴此时△MAB的面积为S＝×4×＝. 答案：3x2＋3y2－20x＋12＝0　 学科网（北京）股份有限公司 $$