2.2.3 直线的一般式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　) A．2x＋y－1＝0　　　　 B．x－2y＋7＝0 C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0 解析：B　[设直线方程式是：x－2y＋c＝0，因为直线过点(－1，3)，所以－1－6＋c＝0，解得c＝7，故所求直线方程是x－2y＋7＝0.] 2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0通过的象限为(　　) A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四 解析：A　[因为ab<0，bc<0，所以ac>0，①若a>0则c>0，b<0，直线ax＋by＋c＝0通过第一、二、三象限．②若a<0则c<0，b>0，直线ax＋by＋c＝0通过第一、二、三象限．] 3．已知直线x＋my＋6＝0和(m－2)x＋3y＋2m＝0互相平行，则实数m的值为(　　) A．－1或3 B．－1 C．－3 D．1或－3 解析：B　[当m＝0或m＝2时，显然两直线不平行．由题意知＝≠，解得m＝－1.经检验，当m＝－1时，两直线平行，符合题意．] 4．(多选)直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是(　　) 解析：BC　[l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，在A中，由l1知a>0，b<0，则－b>0，与l2的图象不符；在B中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符；在C中，由l1知a<0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符；在D中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象不符. 故选BC.] 5．(多选)已知直线l：x－2y－2＝0，则(　　) A．直线x－2y－1＝0与直线l平行 B．直线x－2y＋1＝0与直线l平行 C．直线2x＋y－2＝0与直线l垂直 D．直线x＋2y－1＝0与直线l垂直 解析：ABC　[直线l：x－2y－2＝0的斜率为，纵截距为－1，直线x－2y－1＝0的斜率为，纵截距为－，直线x－2y＋1＝0的斜率为，纵截距为，都与直线l的斜率相等，纵截距不相等，故都与直线l平行．故A，B正确．直线2x＋y－2＝0的斜率为－2，与直线l的斜率乘积为－1，故直线2x＋y－2＝0与直线l垂直．直线x＋2y－1＝0的斜率为－，与直线l的斜率的乘积不是－1，故直线x＋2y－1＝0与直线l不垂直，故C正确，D错误．] 6．不论m为何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点　________　. 解析：直线方程可化为m(x＋2)＝x＋y－1.令解得 所以直线恒过定点(－2,3)． 答案：(－2,3) 7．在x轴上的截距为－2，倾斜角的正弦值为的直线方程为________________． 解析：设直线的倾斜角为θ，则sin θ＝， 因为θ∈(0，π)，所以tan θ＝±，故k＝±， 所求的直线方程为y＝±(x＋2)，即为12x＋5y＋24＝0或12x－5y＋24＝0. 答案：12x＋5y＋24＝0或12x－5y＋24＝0 8．已知直线l：y＝4x和定点P(6,4)，点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当△OMQ的面积最小时点Q的坐标． 解：如图，因为点Q在y＝4x上，故可设点Q的坐标为(t,4t)(t>0)， 所以PQ所在的直线方程为y－4＝·(x－6)，所以点M的坐标为， 所以△OMQ的面积为S＝··4t，去分母，得10t2－St＋S＝0， 所以Δ＝S2－4×10S≥0，所以S≥40，即Smin＝40，此时t＝2,4t＝8， 所以当△OMQ的面积最小时，点Q的坐标为(2,8)． [能力提升练] 9．(多选)下列说法正确的是(　　) A．点(2,0)关于直线y＝x＋1的对称点为(－1,3) B．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝ C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0或x－y＝0 D．直线x－y－4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8 解析：ACD　[点(2,0)与(－1,3)的中点为，满足直线y＝x＋1，并且两点的斜率为－1， 所以点(2,0)关于直线y＝x＋1的对称点为(－1,3)，所以A正确；当x1≠x2，y1≠y2时，过(x1，y1)，(x2，y2)，两点的直线方程为＝，所以B不正确；经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0或x－y＝0，所以C正确；直线x－y－4＝0，当x＝0时，y＝－4，当y＝0时，x＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，所以D正确；故选ACD.] 10．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax＋(a－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．－3 D．3 解析：C　[如图所示，由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，△ABC的重心为 ，即(1,1)．因为BC⊥AB，所以三角形ABC为直角三角形，所以外心为斜边AC的中点，即， 所以可得△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0. 因为ax＋(a－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行，所以＝≠，解得a＝－3.] 11．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝　_______　. (2)若直线l的斜率为1，则m＝　_______　. 解析：(1)由直线l在x轴上的截距为－3，即直线过点(－3,0)，代入方程得(m2－2m－3)×(－3)－(2m2＋m－1)×0＋6－2m＝0，即3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－， 经检验可知m＝3时，直线方程为x＝0，不合题意(舍去)，所以m＝－. (2)由直线的斜率为1，即直线方程中x，y的斜率互为相反数，且不为0， 所以(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝0，解得m＝－2或m＝－1，当m＝－1时，2m2＋m－1＝0，不合题意(舍去)，所以m＝－2. 答案：(1)－　(2)－2 12．已知△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高所在的直线方程为x＋y－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0. (1)求顶点A的坐标； (2)求过E点且在x轴、y轴上的截距相等的直线l的方程． 解：(1)由已知得kAB＝1， ∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0. 由解得 ∴A的坐标为(1,2)． (2)设E(x0，y0)，则C(2x0－3,2y0－4)， 则解得 ∵直线l在x轴、y轴上的截距相等， ∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx， 把点E(4,1)代入，得1＝4k，解得k＝， 此时直线l的方程为x－4y＝0. 当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1， 把点E(4,1)代入，得＋＝1，解得a＝5， 此时直线l的方程为x＋y－5＝0. ∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0. [素养培优练] 13．已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都通过A(2,1)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程的一般式为　__________　. 解析：由题意得 所以(a1，b1)，(a2，b2)都在直线2x＋y＋1＝0上． 又两点确定一条直线，所以所求直线的方程为2x＋y＋1＝0. 答案：2x＋y＋1＝0 14．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为　______　. 解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)．由动点P(a，b)在线段AB上可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，所以a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋.因为0≤b≤1， 所以当b＝时ab取得最大值. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$