2.2.2 直线的两点式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．直线－＋＝－1在x轴、y轴上的截距分别为(　　) A．2,3　 B．－2,3 C．－2，－3　 D．2，－3 解析：D　[将方程变形为＋＝1，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为2，－3.] 2．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 解析：D　[由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0，令y＝0得x＝27.故选D.] 3．直线l过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 010，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022 解析：C　[直线l的两点式方程为＝，化简得y＝2x＋1，将x＝1 010代入，得b＝2 021.] 4．(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 解析：AC　[当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝x，即x－4y＝0；当直线不过点(0,0)时，可设为＋＝1，把(4,1)代入，可解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0.] 5．(多选)下面说法错误的是(　　) A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 D．经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示 解析：ABC　[经过定点P(x0，y0)且斜率存在的直线才可用方程y－y0＝k(x－x0)表示，所以A错； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程＋＝1表示，所以B错；经过定点A(0，b)且斜率存在的直线才可用方程y＝kx＋b表示，所以C错；当x1≠x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程y－y1＝(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，当x1＝x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程x＝x1，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，因此经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，所以D对．] 6．直线l过点P(－2,3)，且与x轴、y轴分别交于A，B两点．若点P恰为线段AB的中点，则直线l的方程为　________________　. 解析：设A(x,0)，B(0，y)． 因为点P恰为线段AB的中点，所以＝－2，＝3，所以x＝－4，y＝6，即A，B两点的坐标分别为(－4,0)，(0,6)．由直线的两点式方程得＝，整理得3x－2y＋12＝0. 答案：3x－2y＋12＝0 7．设光线l从点A(－4，)出发，经过x轴反射后经过点B，则光线l与x轴的交点坐标为　______　，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为　______　. 解析：点A(－4，)关于x轴的对称点为A′(－4，－)，则直线A′B：y＝x＋与x轴交于点(－1,0)，所以光线与x轴的交点为(－1,0)；由入射角是60°，得折射角是30°，且光线经过(－1,0)，得出折射光线所在直线方程为y＝－x－，所以纵截距为－. 答案：(－1,0)　－ 8．已知直线l过点P(4,1)． (1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程． 解： (1)∵直线l过点P(4,1)，Q(－1,6)，所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. (2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－4)． 令x＝0，得y＝1－4k；令y＝0，得x＝4－， ∴1－4k＝2，解得k＝或k＝－2. ∴直线l的方程为y－1＝(x－4)或y－1 ＝－2(x－4)， 即y＝x或2x＋y－9＝0. [能力提升练] 9．两条直线－＝1与－＝1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的(　　) 解析：B　[两直线的方程分别化为y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率符号相同．] 10．(多选)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程可能为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．2x－y＝0 D．2x＋y＝0 解析：AC　[当直线过原点时，在两坐标轴上的截距都为0，满足题意， 又因为直线过点A(1,2)，所以直线的斜率为＝2，所以直线方程为y＝2x，即2x－y＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，因为点A(1,2)在该直线上，所以＋＝1，解得a＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0.故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.] 11．过点P(1,3)，且与x轴、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线为l，求l直线l的方程． 解：由题意，设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 因为直线l过点P(1,3)，所以＋＝1.① 因为直线l与x轴、y轴正半轴围成的三角形面积等于6，所以ab＝6.② 解①②可得a＝2，b＝6，所以l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0. 12．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件： (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 解：设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)， 若满足条件(1)，则a＋b＋＝12.　 ① 又∵直线过点P，∴＋＝1.　② 由①②可得5a2－32a＋48＝0，解得或 ∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 若满足条件(2)，则ab＝12，③ 由题意得＋＝1，④ 由③④整理得a2－6a＋8＝0，解得或 ∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 综上所述，存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，直线方程为3x＋4y－12＝0. [素养培优练] 13．直线l过点A(2,3)，则直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形面积的最小值为(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：B　[设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l过点A(2,3)，所以＋＝1，即2b＋3a＝ab，所以2b＋3a＝ab≥2，解得ab≥24，当且仅当2b＝3a，即a＝4，b＝6时等号成立， 则直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积S＝ab≥12.] 14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ____________________________________________________； (2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最小值时，直线l对应的方程为　________________　. 解析：(1)①当直线l经过坐标原点时，可得a＋2＝0，解得a＝－2. 所以直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0； ②当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时， 由条件得＝a＋2，解得a＝0，所以直线l的方程为x＋y－2＝0. 综上可得直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. (2)在(a＋1)x＋y－2－a＝0(a>－1)中， 令x＝0，得y＝a＋2；令y＝0，得x＝. 所以M，N(0，a＋2)． 由于a>－1，得a＋2>a＋1>0. 所以S△OMN＝··(a＋2)＝· ＝· ＝ ≥＝2. 当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：(1)x－y＝0或x＋y－2＝0　(2)x＋y－2＝0 学科网（北京）股份有限公司 $$