1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分别为AC，AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为(　　) A．－　 B．－ C.　　 D. 解析：D　[以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 令PA＝2，则P(0,0,0)，B(0,2,0)， M(1,0,1)，N(1,1,0)， 则＝(1,1,0)，＝(1，－2,1)， 设异面直线PN和BM所成角为θ， 则cos θ＝＝.] 2．如图，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，E是CC1的中点，则点A到直线D1E的距离为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[建立如图所示的空间直角坐标系，连接AD1， 则D1(0,0,2)，E(0,2,1)，A(2,0,0)， 所以＝(0,2，－1)，＝(2,0，－2)， 所以点A到直线D1E的距离为 ||2－＝＝.] 3．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：A　[取AB的中点D，连接CD，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 可得A(1,0,0)，A1(1,0,3)，故＝(0,0,3)，而B1(－1,0,3)，C1(0，，3)，C(0，，0)．设平面AB1C1的法向量为m＝(a，b，c)， 则即令a＝3，得b＝－，c＝2，所以m＝(3，－，2)，cos〈m，〉＝＝.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°，故选A.] 4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　) A. B. C. D. 解析：A　[建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，∴＝， ＝(a，a,0)，＝(a,0，a)． 设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)． ∴点A1到平面MBD的距离d＝＝＝a.] 5．(多选)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　) A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 解析：BC　[如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系． 设AB＝2，则AA1＝2，∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1，2)，C(0,1,2)，B1(，0,0)，∴＝(0,2，－2)．底面ABC的其中一个法向量为m＝(0,0,2)，∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为 |cos〈m，〉|＝＝＝， ∴A错，B对. ∵A1B1的中点K的坐标为， ∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为 ＝， ∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 |cos〈，〉|＝＝＝，故C对，D错；故选BC.] 6．攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖之分．如图属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则侧面与底面的夹角为　________　. 解析：设正四棱锥P­ABCD底面的边长为a，斜高为h′，连接AC，BD交于点O，连接OP.则4×ah′＝2a2，则h′＝a， ∴PO＝＝.以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则P，B，C，∴＝，＝. 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 ⇒令y＝，则m＝(，，)，显然平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，∴cos〈m，n〉＝＝＝，∴侧面与底面的夹角的余弦值为，又夹角的范围为，∴所求夹角的大小为. 答案： 7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　__________　. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系D­xyz， 则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0，2,4)，F(2，4,4)，N(4,2,4)． ∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)， ＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)， ∴＝，＝， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 则 解得 取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)． 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离． ∵＝(0,4,0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝＝. 答案： 8.如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. (1)求SC与平面ASD所成角的余弦值； (2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，S(0,0,2)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，＝(2,2，－2)，∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝(0,2,0)，设SC与平面ASD所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，故cos θ＝，即SC与平面ASD所成角的余弦值为. (2)平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，∵＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)，设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⇒令z＝1，可得平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1,1)，设平面SAB和平面SCD的夹角为α，则cos α＝＝，即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为. [能力提升练] 9．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．若正四棱锥P­ABCD的高为3，AB＝3，点E满足＝2，则点D到平面AEC的距离为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[如图，连接BD，设AC与BD相交于点O，连接PO， 故以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 又由题意可得AB＝3，PO＝3， 所以OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝3， 所以O(0,0,0)，A(3,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)， C(－3,0,0)，D(0，－3,0)， 不妨设E(x，y，z)，又因为＝2，所以(x，y，z－3)＝2(－x,3－y，－z)， 即x＝－2x，y＝6－2y，z－3＝－2z，解得x＝0，y＝2，z＝1，即E(0,2,1)， 所以＝(－3，－3,0)，＝(6,0,0)， ＝(－3,2,1)． 设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0， 即取y＝1，得m＝(0,1，－2)， 所以点D到平面AEC的距离d＝＝＝.] 10．(多选)正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有(　　) A．AD与BC所成的角为30° B．AC与BD所成的角为90° C．BC与面ACD所成角的正弦值为 D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是 解析：BD　[取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD， ∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，故平面ABD⊥平面BCD， 而平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，故AO⊥平面BCD. ∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设OC＝1，则A(0,0,1)，B(0，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， ∴＝(0,1,1)，＝(0.1，－1)，＝(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(0,2,0)． ∵cos〈，〉＝＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]， 故〈，〉＝，∴异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误； ∵·＝0，∴AC⊥BD，故B正确；设平面ACD的法向量为t＝(x，y，z)， 则取z＝1，得x＝1，y＝1， ∴t＝(1,1,1)， 设BC与平面ACD所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈，t〉|＝＝＝，故C错误；易知平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)， 设平面ABC的法向量为m＝(x′，y′，z′)，则取x′＝1， 得y′＝－1，z′＝1，∴m＝(1，－1,1)，设两个平面的夹角为α(α为锐角)，则cos α＝|cos〈m，n〉|＝＝，故sin α＝，故tan α＝.∴平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是，故D正确．] [素养培优练] 11．两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面的夹角．由正方体的四个顶点所确定的平面统称为该正方体的“表截面”．则在正方体中，两个不重合的“表截面”的夹角大小不可能为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：A　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD和平面ADD1A1的夹角为90°，D选项不合题意． 平面BDD1B1和平面ADD1A1的夹角为45°，B选项不合题意． 设正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C(0,1,0)，∴＝(0,1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(1,0,0)， 设平面ABC1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则令x1＝1， 可得m＝(1,0,1)． 设平面A1BCD1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则令y2＝1，可得n＝(0,1,1)， 设平面ABC1D1与平面A1BCD1的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， 由于0°≤θ≤90°，所以θ＝60°，所以C选项不合题意．平面ABCD与平面A1B1C1D1的夹角为0°.由图可知两个不重合的“表截面”的夹角的大小不可能为30°，A符合题意．] 12．一副标准规格的三角板按图①方式摆放构成平面四边形ABDC，BD＝2a(a＞0)，E为CD的中点．将△ABC沿BC折起至△PBC的位置，连接PE，PD，使得PE＝BD，如图②. (1)证明：平面PBC⊥平面BCD； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 解：(1)证明：取BC的中点O，连接OP，OE，如图． 在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠BCD＝30°，则BC＝2a， 又PO为Rt△PBC斜边BC上的中线，所以OP＝a， 因为E为CD的中点，所以OE＝a，OE∥BD， 于是OE⊥BC， 由PE＝BD，得PE＝2a，即有OP2＋OE2＝4a2＝PE2，因此OP⊥OE， 又OP⊥BC，BC∩OE＝O，BC，OE⊂平面BCD，所以OP⊥平面BCD，又OP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面BCD. (2)由(1)知，OP⊥OE，OP⊥BC，OE⊥BC， 故以O为坐标原点，分别以OE，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0，－a,0)，C(0，a,0)，P(0,0，a)，D(2a，－a,0)， 则＝(0，a，a)，＝(－2a，a，a)，＝(2a，－2a,0)． 设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令y＝1，得m＝(，1,1)． 设直线PB与平面PCD所成角为θ， 则sin θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝， 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$