1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．已知a ＝ (1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　) A．(2，－4,2)　　　　 B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 解析：A　[b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．] 2．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A．90°　　 B．60° C．45°　　 D．30° 解析：A　[a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)， a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)．] 3．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[AB的中点M，所以＝，故|CM|＝||＝＝.] 4．(多选)点A(n，n－1,2n)，B(1，－n，n)，则 ||的可能取值为(　　) A. B. C．1 D．2 解析：BCD　[因为＝(1－n,1－2n，－n)， 所以||2＝(1－n)2＋(1－2n)2＋n2＝62＋，当n＝时，||的最小值为.所以的可能取值有，1,2.] 5．(多选)对于任意非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，以下说法错误的有(　　) A．若a⊥b，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 B．若a∥b，则＝＝ C．cos〈a，b〉＝ D．若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量 解析：BD　[对于A选项，因为a⊥b，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，A选项正确；对于B选项，若x2＝0，且y2≠0，z2≠0，若a∥b，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos〈a，b〉＝，C选项正确；对于D选项，若x1＝y1＝z1＝1，则|a|＝＝，此时，a不是单位向量，D选项错误．] 6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标是　________　. 解析：设M(0，y,0)． 由||＝||得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2＋(1－0)2， 解得y＝－1，所以M(0，－1,0)． 答案：(0，－1,0) 7．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝　________　. 解析：设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或 答案：或 8．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行． (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，所以2a－b＝(3,2，－2)，又c＝，所以2a－b＝－2c，所以(2a－b)∥c. (2)因为a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，所以ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－. [能力提升练] 9．(多选)已知空间向量a＝(－2，－1,1)，b＝(3,4,5)，则下列结论正确的是(　　) A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝|b| C．a⊥(5a＋6b) D．a在b上的投影向量为 解析：BCD　[易知2a＋b＝(－1,2,7)，显然≠≠，故A错误；易知|a|＝＝，|b|＝＝5，则5|a|＝|b|，故B正确； 易知5a＋6b＝(8,19,35)，则a·(5a＋6b)＝－2×8＋(－1)×19＋1×35＝0，故C正确； a在b上的投影向量为·b＝×(3,4,5)＝，故D正确．] 10．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是　________　. 解析：由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)． 所以|b－a|＝＝＝. 所以当t＝时，|b－a|的最小值为. 答案： 11．已知向量a＝(2,1,0)，b＝(－1,0,2)，若向量a＋kb与2a＋3b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是　________　. 解析：因为a＝(2,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a＋kb＝(2－k,1,2k)，2a＋3b＝(1,2,6)．因为向量a＋kb与2a＋3b的夹角为锐角，所以(a＋kb)·(2a＋3b)＝2－k＋2＋12k＝11k＋4＞0，解得k＞－.当(a＋kb)∥(2a＋3b)时，＝＝，解得k＝，所以实数k的取值范围为. 答案： 12．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ 与的夹角为120°，求λ的值． 解：∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，∴＋λ＝(1，－λ，λ)， ∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，|＋λ|＝＝，||＝. ∴cos 120°＝＝－，∴λ2＝.又<0，∴λ＝－. [素养培优练] 13．(多选)已知四棱柱ABCD ­A1B1C1D1为正方体．则下列结论正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是120° D．正方体ABCD ­A1B1C1D1的体积为|··| 解析：ABC　[不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 则各点坐标为A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)． 因为＋＋＝(0,0，－1)＋(－1,0,0)＋(0,1,0)＝(－1,1，－1)， 所以(＋＋)2＝|＋＋|2＝3；32＝32＝3||2＝3×12＝3.故A正确． 因为＝(－1,1，－1)，－＝＝(0,1,1)，所以·(－)＝0＋1－1＝0.故B正确．因为＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，所以·＝0＋0－1＝－1，||＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝＝－， 所以向量与向量的夹角是120°，故C正确．因为AB⊥AA1，所以·＝0，所以|··|＝|0·|＝0.故D错误．故选ABC.] 14．已知a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1.已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1,4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2,1)． (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)根据上述定义，计算(×)·的绝对值的值； (3)求四棱锥P­ABCD的体积，说明(×)·的绝对值的值与四棱锥P­ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义． 解：(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0，·＝－4＋4＋0＝0， ∴AB⊥AP，AD⊥AP. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥平面ABCD. (2)|(×)·|＝|4＋32＋0－0＋4＋8|＝48. (3)∵cos〈，〉＝＝＝， ∴sin 〈，〉＝＝， ∴VP­ABCD＝S▱ABCD·PA＝·||·||sin〈，〉·||＝××2××＝16. ∴(×)·的绝对值是四棱锥P­ABCD体积的3倍． 猜想：(×)·的绝对值的几何意义是以AB，AD，AP为邻边的直四棱柱的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$