1.1.2 空间向量的数量积运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 解析：A　[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，则a，b同向，当a与b反向时，不能成立．] 2．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列命题正确的是(　　) A．(a·b)c－(c·a)b＝0 B．|a|＝ C．a2b＝b2a D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：BD　[因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．] 3．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60°　 B．30° C．135°　 D．45° 解析：D　[∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－1cos〈a，b〉＝0， ∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.] 4．(多选)定义空间两个非零向量的一种运算：a⊗b＝|a||b|sin〈a，b〉，则关于上述空间向量运算的结论恒成立的有(　　) A．λ(a⊗b)＝(λa)⊗b B．a⊗b＝b⊗a C．若a⊗b＝0，则a⊥b D．|a⊗b|≤|a||b| 解析：BD　[对于A，若λ为负数，可知λ(a⊗b)＝－(λa)⊗b，故A错误；对于B，由定义知B正确；对于C，若a⊗b＝0，则sin〈a，b〉＝0，则a，b共线，故C错误；对于D，由定义知|a⊗b|＝|a||b|·|sin〈a，b〉|≤|a||b|，故D正确．] 5．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　) A．钝角三角形　　 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析：B　[·＝(－)(－) ＝·－·－·＋||2 ＝||2>0，则cos B>0，所以B是锐角，同理D，C都是锐角，故△BCD是锐角三角形，故选B.] 6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝　____________　. 解析：|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，所以|2a－3b|＝. 答案： 7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n， 则λ＝　________　. 解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0， 所以18＋(λ＋1)·3×4×cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－. 答案：－ 8.已知四面体OABC的所有棱长均为1.求： (1)·； (2)(＋)·(＋)； (3)|＋＋|. 解：(1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2) ＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1. (3)|＋＋|＝ ＝＝. [能力提升练] 9．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　) A．30°　 B．45° C．60°　 D．90° 解析：C　[根据∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1， 所以cos〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.] 10．(多选)在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图①，这是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图②所示．这就是说，图②中有AE＝BE＝CE＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则(　　) A．||＝ B.＋＋＋＝0 C.·＝0 D.·＝8 解析：BCD　[由题意得E是正四面体ABCD外接球的球心． 如图所示，设点O是顶点A在底面的射影，连接BO，则AO是正四面体ABCD的高，点E在AO上，OB是△BCD的外接圆半径， 取CD的中点G，AB的中点F，连接AG，BG，GF，则O在BG上，E在FG上， 则OB＝BG＝××4＝， AO＝＝. 因为BE2＝(AO－AE)2＋BO2，即AE2＝(AO－AE)2＋OB2，则AE2＝2＋2， 解得AE＝. 对于A，||＝AE＝，故A错误； 对于B，因为AG＝BG＝×4＝2，FG⊥AB，EG⊥CD， 所以EF＝＝＝，EG＝＝＝， 则EF＝EG，又＋＝2，＋＝2， 则＋＝－(＋)， 所以＋＋＋＝0，故B正确； 对于C，因为AE⊥底面BCD，BC⊂底面BCD，所以AE⊥BC，所以·＝0，故C正确； 对于D，因为cos〈，〉＝cos〈，〉＝＝，所以·＝||||cos〈，〉＝4××＝8，故D正确．] 11．已知正三棱柱ABC－DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝　________　. 解析：设＝m，则＝m＝m，∵M为BC的中点，∴＝＋＝＋m， 又∵＝＋，·＝0， ∴·＝(＋)·＝·＋m·＝·＋m·＝－＋4m＝0， 解得m＝. 答案： 12.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°. (1)设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度； (2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值． 解：(1)＝＋＝＋－ ＝a＋c－b. 又a·b＝|a||b|cos ∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，同理可得a·c＝b·c＝， 则||＝ ＝＝. (2)∵＝a＋b， ∴||＝＝＝， ∵·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c－a·b＋b·a＋c·b－b2＝1， ∴cos〈，〉＝＝＝.则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. [素养培优练] 13．(多选)在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　　) A．四边形ABC1D1的面积为||·|| B.与的夹角为60° C．(＋＋)2＝32 D.·(－)＝0 解析：ACD　[如图，由AB⊥平面BB1C1C得AB⊥BC1，所以四边形ABC1D1的面积为||||，故A正确；∵△ACD1是等边三角形， ∴∠AD1C＝60°，又∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与的夹角为120°，故B错误； 由向量加法的运算法则可以得到＋＋＝，∵＝3，∴(＋＋)2＝32，故C正确；由向量运算可得－＝，∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，D1B1⊥平面AA1C1C，∴D1B1⊥A1C，∴·＝0，故D正确．] 14．已知在正四面体D­ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为　________　. 解析：如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心， ∴AG＝AM，∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$