2.5.1 直线与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 课程标准 素养解读 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系 3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采． 这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离． 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们根据用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系． [知识梳理] [知识点一]　直线与圆有三种位置关系　 位置关系 交点个数 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 [知识点二]　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断　 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　两　个 　一　个 　零　个 判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d　＜　r d　＝　r d　＞　r 代数法： 由 消元得到一元二次方程，利用判别式Δ判断 Δ　＞　0 Δ　＝　0 Δ　＜　0 　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×” )． (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × ) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( √ ) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ ) (4)过半径外端的直线与圆相切．( × ) 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析：B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.] 3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于　____________　. 解析：由已知圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4. 答案：4 　　　直线与圆的位置关系的判断 [例1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，直线与圆 (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ [思路点拨]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断． [解]　(方法1)将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理， 得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. Δ＝4m(3m＋4)，(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． (方法2)已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择． [变式训练] 1．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”是“直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[若点(a，b)在圆x2＋y2＝1内，则 a2＋b2<1， 则圆心O到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝>1， 则直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离． 反之直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离，则圆心O到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝>1，即a2＋b2<1，则点(a，b)在圆x2＋y2＝1内． 所以“点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”是“直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”的充分必要条件．] 　　　圆的切线方程 [例2]　(1)求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程． (2)求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程． [解]　(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2), kPC＝， ∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0. (2)∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外， ∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条． 当斜率存在时，设切线的斜率为k， 则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0， ∴＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3， 当斜率不存在时，切线方程为x＝2. 综上，所求的切线方程为x＝2或y＝3. 1．点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2．点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解． [变式训练] 2．(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为　__________________________　. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1　　 B．2 C.　　 D．3 解析：(1)根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0， 即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)， 直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)， 则P在直线l上且MP与直线l垂直． kMP＝＝2，则有－＝－，则有b＝2a， 又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2， 则直线l的方程为x＋2y－3＝0. (2)圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝＝2. 所以切线长的最小值l＝＝. 答案：(1)x＋2y－3＝0　(2)C 　　　直线与圆的相交问题 [例3]　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． [思路点拨]　法一：求圆心、半径 利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形求解 法二：求交点坐标求弦长 [解]　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝. 点(0,1)到直线l的距离为d＝＝， l＝2＝，所以截得的弦长为. 法二：设直线l与圆C交于A、B两点． 由得交点A(1,3)，B(2,0)， 所以弦AB的长为|AB|＝＝. 　求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系2＋d2＝r2解题． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． (3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系求得弦长l＝|x1－x2|＝. [变式训练] 3．(1)直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为　________　. (2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程． (1)解析：x2＋y2－4x－4y－1＝0可变为(x－2)2＋(y－2)2＝9，故圆心坐标为(2,2)，半径为3.圆心到直线x－y＋2＝0的距离是＝，故弦长的一半是＝，所以弦长为2. 答案：2 (2)解：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离 d＝＝3. ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)， 即kx－y＋4k＝0. 由点到直线的距离公式，得3＝， 解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0. [当堂达标] 1．(多选)在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能为(　　) 解析：ABD　[由题意，可得a2>0，直线y＝ax＋a2显然过点(0，a2)，故ABD均不可能．] 2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　 B．2 C.　　 D. 解析：B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.故选B.] 3．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 ________________________________________________________________________． 解析：由题意，得kOP＝＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－，所以所求切线方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 4．已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上． (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l截圆所得弦长为2，求直线l的方程． 解：(1)由AB的中点坐标为，AB的斜率为，可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，故圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4. (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过， ∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，即kx－y＋－k＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2，则有2＋()2＝4，解得k＝－， 则直线l的方程为y＝－x＋. 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意． ∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$