2.4.1 圆的标准方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．4　圆的方程 2．4.1　圆的标准方程 课程标准 素养解读 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点 2．会根据已知条件求圆的标准方程 3．能准确判断点与圆的位置关系 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养 [情境引入] 《古朗月行》 唐　李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写．如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的方程如何表示？ [知识梳理] [知识点一]　圆的标准方程　 1．圆的定义：平面内到　定点　的距离等于　定长　的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 2．确定圆的基本要素是　圆心　和　半径　，如图所示． 3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是　(x－a)2＋(y－b)2＝r2　. 　当a＝b＝0时，圆的标准方程是什么？ [提示]　当a＝b＝0时，圆的标准方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． [知识点二]　点与圆的位置关系　 设点P到圆心的距离为d，半径为r. d与r的大小 点与圆的位置 d<r 点P在圆内 d＝r 点P在圆上 d>r 点P在圆外 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．( × ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．( √ ) (3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( × ) (4)(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．( × ) 2．已知点A(1，－1)和点B(－1,3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为(　　) A．(x＋2)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋2)2＋(y－4)2＝20 C．x2＋(y－1)2＝5 D．x2＋(y－1)2＝20 解析：C　[因为点A(1，－1)和点B(－1,3)为直径的两端点，所以线段AB的中点M(0,1)即为圆心． 由|AB|＝＝2，则圆的半径r＝＝，故圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝5.] 3．记圆(x＋1)2＋(y－2)2＝2的圆心坐标为(a，b)，半径为r，则a＋b＋r＝　_________　 解析：∵(x＋1)2＋(y－2)2＝2， ∴　∴a＋b＋r＝＋1. 答案：＋1 　 　　求圆的标准方程 [例1]　求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程． [思路点拨]　法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程． [解]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|. ∴＝， 解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)， kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)， 即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得 即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 　确定圆的方程的方法： 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． [变式训练] 1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (3)过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切，并且圆心在直线y＝－2x上． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)∵圆心在y＝－2x上，设圆心为(a，－2a)， 设圆心到直线x－y－1＝0的距离为r， ∴r＝，　① 又圆过点P(2，－1)，∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2，　② 由①②得或 ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338. 　 　　点与圆的位置关系 [例2]　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内　　　　 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 (2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是　__________　. [思路点拨]　(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径，然后利用P到圆心的距离和圆的半径的大小关系确定点与圆的位置关系；(2)首先确定圆心和半径，利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解． [解析]　(1)因为(m2)2＋52＝m4＋25>24，所以点P在圆外． (2)由题意知 解得0≤a<1. 答案：(1)B　(2)[0,1) 　点与圆的位置关系及其应用 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比较，二是代入圆的标准方程，判断与r2的大小关系．通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数的值或参数的取值范围． [变式训练] 2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　) A．a<－1或a>1 B．－1<a<1 C．0<a<1 D．a＝±1 解析：B　[由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，故－1<a<1.] 　　　与圆有关的最值问题 [例3]　(1)若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． (2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝， ①求x2＋y2的最值．②求的取值范围． [解]　(1)原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. (2)①由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. ②设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率， 由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤，即的取值范围是. 　最值问题的常见类型及解法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题． (4)求圆外一点到圆的最大距离和最小距离， 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值． [变式训练] 3．(1)若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． (2)已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值. 解：(1)P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2. (2)因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2， 因此表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离． 因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4， 所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示． 而|AC|＝＝，所以的最大值为|AC|＋r＝＋2， 最小值为|AC|－r＝－2. [当堂达标] 1．以点A(1,2)为圆心，两平行线x－y＋1＝0与2x－2y＋7＝0之间的距离为半径的圆的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ B．(x－1)2＋(y－2)2＝ C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ D．(x－1)2＋(y－2)2＝ 解析：B　[直线方程2x－2y＋7＝0可化为x－y＋＝0，则两条平行线之间的距离d＝＝，即圆的半径r＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝.] 2．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析：D　[∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，|AB|＝＝5为半径，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.] 3．与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为　________________　. 解析：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 4．求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程. 解：法一：(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 法二：(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 学科网（北京）股份有限公司 $$