2.3.1 两条直线的交点坐标&2.3.2 两点间的距离-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离 课程标准 素养解读 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 3．掌握两点间距离公式并会应用 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养 2. 通过两点间距离的学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养 [情境引入] 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线的交点　 1．两直线的交点 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l1，l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 点A在直线l1上 A1a＋B1b＋C1＝0 直线l1与l2的交点是A 2.两直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 [知识点二]　两点间的距离公式　 1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 2．两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝　|x2－x1|　. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝　|y2－y1|　. 　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？ [提示]　可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( √ ) (2)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.( × ) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( × ) (4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1) 解析：C　[由得交点坐标为(1,2)，故选C.] 3．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为(　　) A．5　　 B. C．3　　 D. 解析：B　[由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝＝.] 　 　　两直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线的斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：(1)解方程组得 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 　 　　经过两条直线交点的直线方程 [例2]　(1)求经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程； (2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点． [思路点拨]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，再将点P(1,0)的坐标代入求出λ，即得所求直线方程． (2)将直线方程改写为－x－y－1＋a(x＋2)＝0.解方程组，得直线所过定点． [解]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0. ∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0. ∴λ＝.∴所求方程为x＋2y－2＋(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. (2)由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.所以已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交点． 解方程组得 所以方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点(－2,1)． 　利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点． [变式训练] 2．已知直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0　　　　 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析：B　[解方程组得交点为(－1，－2)．又直线l经过原点，由两点式得其方程为＝，即2x－y＝0.] 　　　两点间距离公式的应用 [例3]　已知△ABC三个顶点的坐标为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [解]　法一：∵|AB|＝ ＝2， |AC|＝ ＝2， 又|BC|＝ ＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形． 1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． 2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． [变式训练] 3．若等腰三角形ABC的顶点A(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长． 解：因为|AD|＝＝2. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得|AB|＝＝＝2. 所以等腰△ABC的腰长为2. 　　　坐标法及其应用 [例4]　如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点． 求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. [思路点拨]　建立适当的平面直角坐标系，设出各顶点的坐标，应用两点间的距离公式证明． [证明]　如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(－b,0)，C(b,0)，D(m,0)(－b<m<b)． 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2， |AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m) ＝b2－m2， ∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， ∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 　坐标法及其应用 1．坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立平面直角坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． [变式训练] 4．已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．∵正三角形ABC的边长为a， ∴B，C，A. 设P(x，y)，由两点间的距离公式，得 |PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2 ＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为. [当堂达标] 1．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是(　　) A．(5,2) B．(2,3) C. D．(5,9) 解析：B　[(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0可化为k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，由得即直线恒过定点(2,3)．] 2．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交点坐标为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　) A．20 B．－4 C．0 D．24 解析：B　[已知直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为.由两直线垂直，可知－×＝－1，解得a＝10.将交点(1，c)的坐标代入直线l1的方程中，得c＝－2.将交点(1，－2)的坐标代入直线l2的方程中，得b＝－12.所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.] 3．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则＝　________　. 解析：由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4， |CB|＝＝2，故＝＝2. 答案：2 4．已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求点P(x,0)，由|PA|＝|PB|，得 ＝ ， 即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1. 所以所求点P坐标为(1,0)，|PA|＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$