2.2.1 直线的点斜式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的点斜式的推导过程 2．掌握直线方程的点斜式并会应用 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养 [情境引入] 笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”． 笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．依照这种思想他创立了“解析几何学”． 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0，y0)和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0的坐标(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的点斜式方程和斜截式方程　 点斜式 斜截式 已知 条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距　b　 图示 方程形式 y－y0＝　k(x－x0)　 　y＝kx＋b　 适用条件 斜率存在 1.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． [知识点二]　根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直　 　对于直线l1：y＝k1x＋b1, l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2; l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2.截距是距离吗？为什么？ [提示]　截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)y轴所在直线方程为y＝0.( × ) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．( √ ) (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．( × ) (4)直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( × ) 2．方程y－y0＝k(x－x0)(　　) A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线 C．不能表示与y轴垂直的直线 D．不能表示与x轴垂直的直线 解析：D　[因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线．] 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1　　　　　　 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析：D　[由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，故选D.] 　　　直线的点斜式方程 [例1]　已知点A(3,3)和直线l：y＝x－.求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程． [解]　因为直线l：y＝x－，所以该直线的斜率k＝. (1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y－3＝(x－3)． (2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－(x－3)． 　利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程； (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． [变式训练] 1．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行． 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)； (2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y－3＝x－2； (3)y＝－1. 　　　直线的斜截式方程 [例2]　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(0，－2)，且与直线y＝3x－5垂直； (2)与直线y＝－2x＋3平行，与直线y＝4x－2在y轴上的截距相同． [思路点拨]　写出直线的斜率及在y轴上的截距，用斜截式写出直线方程． [解]　(1)因为直线y＝3x－5的斜率为3，且所求直线与该直线垂直，所以所求直线的斜率为－. 又直线过点(0，－2)，由直线方程的斜截式，得y＝－x－2，即x＋3y＋6＝0. (2)直线y＝－2x＋3的斜率为－2，直线y＝4x－2在y轴上的截距为－2. 由题意知，所求直线的斜率为－2，在y轴上的截距也为－2.由直线方程的斜截式，得y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0. 　斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截式方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一． [变式训练] 2．已知斜率为－的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程． 解：设l：y＝－x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0， 得x＝b. 由题意，得·|b|·|b|＝6，∴b2＝16， ∴b＝±4. 故直线l的方程为y＝－x±4. 　　　两直线平行与垂直的应用 [例3]　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ [思路点拨] [解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， ∵l1∥l2，∴解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝. 故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 　两条直线平行和垂直的判定 (1)平行的判定． (2)垂直的判定． [变式训练] 3．(1)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的斜截式方程为 ________________________________________________________________________． (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为__________________________________________________________． (1)解析：由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2，所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 答案：y＝2x－1 (2)解析：设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kBC·kAD＝－1，所以·kAD＝－1，解得kAD＝.所以BC边上的高所在直线的方程是y－0＝(x＋5)． 即y＝x＋3. 答案：y＝x＋3 [当堂达标] 1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：C　[直线方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.故选C.] 2．直线y＋2＝(x－4)的倾斜角及在y轴上的截距分别是(　　) A.，6　　　　　　 B.，－6 C.，6 D．，－6 解析：B　[由直线y＋2＝(x－4) 可得其斜率为k＝， 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝. 因为θ∈[0，π)，所以θ＝，即倾斜角为. 当x＝0时，y＋2＝×(－4)＝－4， 得y＝－6，所以直线在y轴上的截距为－6.] 3．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为　________　. 解析：直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)． 答案：y－1＝－(x－2) 4．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 解：直线y＝x＋的斜率k＝， 则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°. 所以直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－. 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$