2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 课程标准 素养解读 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线平行与斜率之间的关系　 　设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都　不存在　 图示 1.如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． [知识点二]　两条直线垂直与斜率之间的关系 　 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率　不存在　，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 图示 2.如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ [提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( × ) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.( × ) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( × ) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( √ ) 2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：B　[∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.] 3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝　________　. 解析：∵kl2＝＝－1，l1∥l2，∴kl1＝＝－1， ∴m＝0. 答案：0 　　　两条直线平行的判定 [例1]　判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [思路点拨]　斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论． [解]　(1)k1＝＝1，k2＝＝， k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 　判断两直线是否平行的步骤 [变式训练] 1．下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有　________　.(填序号) ①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； ③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； ④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6)． 解析：①∵kAB＝＝－，kCD＝＝－， ∴kAB＝kCD，∴l1∥l2. ②∵kl2＝＝1≠kl1＝2，∴l1不平行于l2. ③∵kl1＝tan 60°＝，kl2＝＝，∴kl1＝kl2， ∵l1与l2不重合，∴l1∥l2. ④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2. 答案：①③④ 　　　两条直线垂直关系的判定 [例2]　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． [思路点拨]　(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0，若为0，则垂直． (2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解． [解]　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能不存在． 当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意． 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，得k1＝＝，k2＝＝. 由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即×＝－1，解得a＝0.综上所述，a的值为0或5. 　使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． [变式训练] 2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值． 解：设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－. ①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－，不符合题意； ②当a＝0时，l2的斜率为0，此时直线l1的斜率k1＝－，不符合题意； ③当a≠4且a≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝. 由k1·k2＝－1，得－·＝－1，解得a＝3或a＝－4. ∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 　　　两直线平行与垂直的综合应用 [例3]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． [解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图： 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3， kBC＝＝－， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． (2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． (3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查． [变式训练] 3．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点的坐标．(A，B，C，D按逆时针方向排列) 解：①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)， 由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)． ②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)． 设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝. 由AD∥BC，得kAD＝kBC， 即＝－3；① 由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1， 即·(－3)＝－1.② 由①②得 故A. 综上所述，A点的坐标为(1，－1)或. [当堂达标] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线l1与l2的倾斜角相等，则l1∥l2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定垂直于x轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 解析：CD　[对A，两直线的倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线的斜率不存在，则直线一定垂直于x轴，正确；对D，若两条直线的斜率不相等，则两条直线一定不平行， D正确．] 2．过点(，)，(0,3)的直线与过点(，)，(2,0)的直线的位置关系为(　　) A．垂直　　　　　 B．平行 C．重合 D．以上都不正确 解析：A　[k1＝＝－＋， k2＝＝－， ∵k1k2＝－1，∴两直线垂直．故选A.] 3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是　________　. 解析：由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥l，所以kMN＝＝，解得m＝. 答案： 4．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解：(1)由kAB＝＝tan 135°＝－1， 解得m＝－或m＝1. (2)由kAB＝，且＝3， 得＝－，解得m＝或m＝－3. (3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$