1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　空间中直线、平面的垂直 课程标准 素养解读 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直．(重点) 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点) 借助对向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养 [情境引入] 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ [知识梳理] [知识点]　空间中直线、平面垂直的向量表示 　 位置关系 向量表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2＝0 线面垂直 设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R，使得μ＝λn 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 　若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？ [提示]　垂直． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( × ) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( √ ) (3)两个平面垂直，则其中一个平面内的直线的方向向量与另一个平面内的直线的方向向量垂直．( × ) (4)若两平面α，β的法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β互相垂直．( √ ) 2．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：B　[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a， ∴l⊥α.] 3．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　) A．2　　 B．－5 C．4　　 D．－2 解析：B　[因为α⊥β，所以－2－8－2k＝0，解得k＝－5. ] 　 　　应用向量法证明线线垂直 [例1]　如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. [思路点拨]　只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. [证明]　(方法1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,1,0)，C(a，1,0)，于是F. ∵E在BC上，∴设E(m,1,0)，∴＝(m,1，－1)， ＝. ∵·＝0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF. (方法2)因为点E在边BC上，可设＝λ， 于是·＝(＋＋)·(＋)＝(＋＋λ)·(＋) ＝(·＋·＋·＋·＋λ·＋λ·)＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， 因此⊥. 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 　利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直； (2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． [变式训练] 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，B1(1,1,1)． (1)∵＝(－1，－1,1)，＝(－1,1,0)， ∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴⊥，即BD1⊥AC. (2)∵＝(－1，－1,1)，＝， ∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0， ∴⊥，即BD1⊥EB1. 　　　应用向量法证明线面垂直 [例2]　如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD. [思路点拨]　法一：通过证明⊥，⊥，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 法二：证明与平面A1BD的法向量平行． [证明]　法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC. 因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1. 取B1C1的中点O1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1，1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)．所以＝(1,2，－)，＝(－1,2，)，＝(－2,1,0)． 因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0. ·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0. 所以⊥，⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD. 又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD. 法二：建系同方法一． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 令x＝1得平面A1BD的一个法向量为n＝(1,2，－)， 又＝(1,2，－)，所以n＝，即∥n. 所以AB1⊥平面A1BD. 1．坐标法证明线面垂直的两种思路 法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量； (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决． [变式训练] 2.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC. 证明：依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D­xyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0，1,0)，B1(1,1,2)， 于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)， ∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0, ·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0， 故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA， 又CP∩CA＝C，且CP⊂平面PAC，CA⊂平面PAC. 故PB1⊥平面PAC. 　　　应用向量法证明面面垂直 [例3]　如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. [思路点拨]　要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0. [解]　由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0，2,0)，C1(0,2,1)，E， 则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)， ＝. 设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)． 则⇒ 令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1,1,0)． 设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 则⇒ 令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 1．利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． [变式训练] 3.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点． 证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1. [证明]　如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)， C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)， 因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1,1,0)， 所以＝(－2,2,0)，＝(1,1,0)，＝(0,0，)， 因为·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0， 所以⊥，⊥，所以BC⊥AD，BC⊥AA1， 又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. [当堂达标] 1．直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(－3,6，－9)，则(　　) A．l⊂α　　　　　　 B．l∥α C．l⊥α D．l与α相交 解析：C　[∵直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(－3,6，－9)，∴a＝－n，∴a∥n，∴l⊥α.故选C.] 2．若直线l的方向向量是a＝(1,0，－2)，平面β的法向量是b＝(－1,0,2)，则直线l与β的位置关系是　__________　. 解析：因为a＝－b，a∥b，所以l⊥β. 答案：l⊥β 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD. 证明：如图，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D(0，0,0)，B1(1,1,1)，E，＝(1,1,1)，＝，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)， 则令z＝－2，则y＝1，x＝1， ∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD. 学科网（北京）股份有限公司 $$