1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 课程标准 素养解读 1.学会空间直角坐标系的建立方法，掌握空间向量的坐标表示 2．会判断两向量平行或垂直 3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式 1.会判断两向量平行或垂直；培养数学抽象、直观想象的素养 2．通过空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的应用达到培养数学运算的素养 [情境引入] 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….” 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． [知识梳理] [知识点一]　空间向量的坐标运算　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝　(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　 减法 a－b＝　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　 数乘 λa＝　(λa1，λa2，λa3)，λ∈R　 数量积 a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 1.若向量＝(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定．A点与原点重合是，不与原点重合则不是． [知识点二]　空间向量的平行与垂直　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb ⇔(λ∈R) 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔　a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　(a，b均为非零向量) 2.已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，能否用＝＝表示a∥b的条件？为什么？ [提示]　不能．无法保证b1b2b3≠0，故不能用＝＝表示a∥b的条件． [知识点三]　空间向量的夹角与长度问题　 　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 模 |a|＝＝　　 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ ＝ [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b>0，则〈a，b〉为锐角．( × ) (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒＝＝.( × ) (3)若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．( √ ) (4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则＝(0,1，－1)．( √ ) 2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析：D　[a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2,1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；|a|＝＝6，故选D.] 3．已知a＝(1，－2,4)，b＝(－2,4，x)． (1)当a⊥b时，x＝　____________　. (2)当a∥b时，x＝　____________　. 解析：(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝. (2)由a∥b得＝＝，解得x＝－8. 答案：(1)　(2)－8 　　　空间向量的坐标运算 [例1]　已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)． (1)求＋，－2，·. (2)若点M满足＝＋，求点M的坐标； (3)若p＝，q＝，求(p＋q)·(p－q)． [思路点拨]　先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解． 解：(1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)，所以＝(－3,5，－4)，＝(－1,0,9)． 所以＋＝(－4,5,5)，又＝(－4,5,5)，＝(3，－5，4)，所以－2＝(－10,15，－3)，又＝(－3,5，－4)，＝(1,0，－9)，所以·＝－3＋0＋36＝33. (2)由(1)知，＝＋＝(－3,5，－4)＋(1,0，－9)＝， 若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)， 于是解得 故M. (3)由(1)知，p＝＝(－1,0,9)，q＝＝(－4,5,5)． (方法1)(p＋q)·(p－q)＝|p|2－|q|2＝82－66＝16. (方法2)p＋q＝(－5,5,14)，p－q＝(3，－5,4)，所以(p＋q)·(p－q)＝－15－25＋56＝16. 空间向量的坐标运算注意以下几点： (1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标． (2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a ± b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 [变式训练] 1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求： (1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)； (5)(a＋b)·(a－b)． 解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14. (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. 　 　　利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 [例2]　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)．设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [思路点拨]　(1)根据c∥，设c＝λ，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值； (2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． 解：(1)∵＝(－2，－1,2)且c∥， ∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c|＝＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－. 向量平行与垂直问题主要有两种题型： (1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． [变式训练] 2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：(1)由a∥b，得 (λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)， ∴解得∴实数λ＝，m＝3. (2)∵|a|＝，且a⊥c， ∴ 化简，得解得λ＝－1.因此，a＝(0,1，－2)． 　　　空间向量夹角与长度的计算 [例3]　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． (1)求证EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． [思路点拨]　根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，利用数量积、夹角、模长公式计算即可． [解]　(1)证明：如图所示，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D­xyz，易知E，F， C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)， G，H. ∵＝－＝， ＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)， ∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. (2)由(1)易知＝－(0,1,1)＝， ＝， ∴||＝，||＝， ·＝×0＋×＋×(－1)＝， ∴cos〈，〉＝＝， 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. (3)由(1)知F，H， ∴＝， ∴||＝2＋2＋2＝. 即FH的长为. 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题． [变式训练] 3.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点． (1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的长； (3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值． 解：(1)证明：设＝p，＝q，＝r. 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°. ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0. ∴⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知＝(q＋r－p) ∴|MN|2＝||2＝(q＋r－p)2 ＝[q2＋r2＋p2＋2(p·r－p·q－r·p)] ＝ ＝×2a2＝. ∴||＝a，∴MN的长为a.] (3)设向量与的夹角为θ. ∵＝(＋)＝(q＋r), ＝－＝q－p， ∴·＝(q＋r)· ＝ ＝ ＝＝. 又∵||＝||＝a， ∴·＝||·||cos θ＝a×a×cos θ＝. ∴cos θ＝.∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为. [当堂达标] 1．已知空间中有三点A(1，－1,2)，B(3,0，－1)，C(2,3，－3)，则向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[由已知可得＝(2,1，－3)， ＝(1，－3,2)， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－. 又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.] 2．(多选)已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝　　　　　 B．x＝ C．y＝－ D．y＝－4 解析：BD　[因为a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4.] 3．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为　________　. 解析：a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝，|b|＝， ∴cos〈a，b〉＝＝－. ∴sin〈a，b〉＝＝. 因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为 |a||b|sin〈a，b〉＝××＝6. 答案：6 4．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值． 解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)， a－3b＝(7，－4，－16)． (1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝＝，解得k＝－. (2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0， 解得k＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$