1.3.1 空间直角坐标系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 课程标准 素养解读 1.让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程 2．理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系 1.通过空间坐标系的建立及点坐标的表示，培养数学抽象、逻辑推理的素养 2．通过空间坐标系确定点的坐标及应用达到数学运算的学科素养 [情境引入] 如图，在房间(立体空间)内如何确定电灯位置？要确定点在空间内位置，应该需要几个数呢？ 提示：要确定点在空间内位置需要三个数，要确定电灯的位置，测出电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可． [知识梳理] [知识点一]　空间直角坐标系　 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以　i，j，k　的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 坐标轴 　x　轴、　y　轴、　z　轴 坐标原点 点　O　 坐标向量 　i　，　j　，　k　 坐标平面 　Oxy　平面、　Oyz　平面和　Oxz　平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向　x轴　正方向，食指指向　y轴　正方向，如果中指指向　z轴　正方向，则称坐标系为右手直角坐标系 [知识点二]　空间向量的坐标表示　 空间 直角 坐标 系中 A点 坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k为坐标向量，对空间任一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝　xi＋yj＋zk　，则　(x，y，z)　叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作　A(x，y，z)　，其中　x　叫点A的横坐标，　y　叫点A的纵坐标，　z　叫点A的竖坐标 在空间直角坐标系中，给定向量a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝　xi＋yj＋zk　，则　(x，y，z)　叫做a在空间直角坐标系中的坐标，简记作　a＝(x，y，z)　 　若a＝xe1＋ye2＋ze3，则a的坐标一定是(x，y，z)吗？ [提示]　不一定，当e1，e2，e3是单位正交基底时，坐标是(x，y，z)，否则不是． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1) 在空间直角坐标系中，x轴上点的坐标满足x＝0，z＝0.( × ) (2)向量的坐标与点P的坐标一致．( × ) (3) 点(2,0,3)在Oxz平面上．( √ ) 2．下列点在x轴上的是(　　) A．(0.1,0.2,0.3)　　　　 B．(0,0,0.001) C．(5,0,0) D．(0,0.01,0) 解析：C　[x轴上的点的纵坐标和竖坐标都为0.] 3．点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．5 解析：D　[点P(1，－2,5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2,0)，则点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5.] 　　　求空间点的坐标 [例1]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标． [思路点拨]　将各个点在坐标轴上的射影求出，即可写出空间各点的坐标． [解]　(1)显然D(0,0,0)， 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3， 所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)． 因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3，4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3,4,5)． (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)， 则C1C的中点N为， 即N. 坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x轴上 (x,0,0) xOy平面上 (x，y,0) y轴上 (0，y,0) yOz平面上 (0，y，z) z轴上 (0,0，z) xOz平面上 (x,0，z) 坐标原点 (0,0,0) [变式训练] 1.已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为5，侧棱长为13， 建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标． 解：因为|PO|＝＝＝12， 所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)， A，B， C，D. 　　　求对称点的坐标 [例2]　在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． [思路点拨]　求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标． [解]　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)． 1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．” 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或 对称中心 对称点坐标 P(a，b，c) x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为. [变式训练] 2．点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是　________　，关于z轴的对称点是　________　，关于M(1,2,1)的对称点是　__________　. 解析：点P(－3,2，－1)关于平面xOz的对称点是(－3，－2，－1)，关于z轴的对称点是(3，－2，－1)．设点P(－3,2，－1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z)． 则解得 故点P(－3,2，－1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3)． 答案：(－3，－2，－1)　(3，－2，－1)　(5,2,3) 　　　空间向量的坐标表示 [例3]　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系，求向量，，的坐标． [思路点拨]　以点C为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，，分别用，，表示出来，再写出它们的坐标． [解]　法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． ∵＝－＝＋－＝－＋， ∴的坐标为(1，－1,1)， 而＝－＝－＋， ∴的坐标为(1，－1,2)． 又∵＝－，∴的坐标为(－1,1，－2)． 法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1，0,1)， ∴＝(1，－1,1)，＝(1，－1,2)，＝(－1，1，－2)． 建立适当的空间直角坐标系，以各点的坐标表示简单方便． 向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标． [变式训练] 3．设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求1，3的坐标． 解：如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上．∵|P1P2|＝2，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上， ∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)． 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0). 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝， ∴S(0,0，)． ∴＝－＝(1,1，－)， ＝－＝(0，－2,0)． [当堂达标] 1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　) A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0) 解析：C　[点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.] 2.(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4,5,3) B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 解析：ACD　[根据题意知：点B1的坐标为(4,5,3)，A正确；B的坐标为(4,5,0)，C1坐标为(0,5,3)，故点C1关于点B对称的点为(8,5，－3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，C正确；点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，D正确；故选ACD.] 3.如图，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为(4,3,2)，则的坐标为　________　. 解析：如题图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点， 过D的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为的坐标为(4,3,2)，所以A(4,0,0)，C1(0，3,2)，所以＝(－4,3,2)． 答案：(－4,3,2) 4.如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标． 解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1. ∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以写出B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)． ∵V在z轴上，∴V(0,0,3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$