1.1.2 空间向量的数量积运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

1．1.2　空间向量的数量积运算 课程标准 素养解读 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法 2．掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律 3．可以用数量积证明垂直，求解角度和长度 1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养 2．借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养 [情境引入] 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所作的功W＝f×s＝|f||s|cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念． [知识梳理] [知识点一]　空间向量数量积的概念　 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 2．数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 1.空间向量的数量积运算为什么不满足结合律？ [提示]　数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 3．空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　∠AOB　叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b. [知识点二]　空间向量的数量积的性质　 两个向 量数量 积的性 质　　 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a||b| 若a与b反向，则a·b＝－|a||b| 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a||b| 2.(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a，b〉不一定是锐角． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.( √ ) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．( × ) (3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.( √ ) (4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.( × ) 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：B　[对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．] 3．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝， 则cos〈a，b〉＝　________　. 解析：将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝， 再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝. 答案： 　　　数量积的计算 [例1]　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·； (4)·. [思路点拨]　计算两向量的数量积首先确定两向量的夹角，要注意向量的方向及夹角的范围． [解]　(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－)＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝cos 60°－cos 60°＝0. 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． [变式训练] 1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝　________　. (2)如图，在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝　________　. (1)解析：·＝(＋)· ＝(·＋·) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 答案：a2 (2)解析：∵＝＋＝＋(＋) ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋，∴·(＋＋) ＝·(＋＋) ＝2＋2＋2＝×22＋×32＋×12＝. 答案： 　　　利用数量积证明空间的垂直关系 [例2]　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. [思路点拨]　证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． [解]　如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ， 又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|. 又＝(＋) ＝ ＝(a＋b＋c)，＝c－b. ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴⊥，即OG⊥BC. 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题． (2)用已知向量表示所证向量． (3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0. (4)将向量问题回归到几何问题． [变式训练] 2.如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD， ∠BAC＝60°.求证：BD⊥平面ADC. 证明：不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝. ·＝(－)·＝·－·， 由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60°＝××＝1，∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC. 　　　用数量积求角度 [例3]　如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． [思路点拨]　求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围是[0，π]，注意角度的转化． [解]　∵＝－，∴·＝·－·＝||·||·cos〈，〉－||·||·cos〈，〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16. ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为. 利用向量数量积求夹角问题的思路 1．求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小； ④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小． [变式训练] 3.如图，已知直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴＝b＋c，＝－c＋b－a，∴·＝－c2＋b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D. (2)∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|. ∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝. ∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为. 　　　利用数量积求距离 [例4]　如图，已知▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，若PA＝6，则PC的长为　________　. [思路点拨]　求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，利用公式|a|＝求解即可． [解析]　∵＝＋＋， ∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.∴PC＝7. [答案]　7 1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算． 2．用数量积求两点间距离的步骤： (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a·a＝|a|2，求|a|； (4)|a|即为所求距离． [变式训练] 4.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长． 解：因为＝＋＋， 所以＝(＋＋)2 ＝2＋2＋＋2(·＋·＋·)． 因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°， 所以＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23. 因为＝||2，所以||2＝23， 则||＝，即AC1＝. [当堂达标] 1.在如图所示的正方体中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 解析：A　[A，B，C，D四个选项中各组向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°.] 2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　) A. B. C．－　　 D．0 解析：D　[·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－||||＝0，∴⊥，∴cos〈，〉＝0.] 3．在△ABC中，∠B＝90°，＝(1，－2)，＝(3，λ)，则λ＝　________　. 解析：在△ABC中，＝(1，－2)，＝(3，λ)，＝－＝(2，λ＋2) 又∠B＝90°，∴⊥，∴·＝0，即2－2(λ＋2)＝0，解得λ＝－1. 答案：－1 4.如图，在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.记＝a，＝b，＝c. (1)求的模； (2)求与夹角的余弦值． 解：(1)由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60 °， ∴a·b＝b·c＝c·a＝1×1×cos 60°＝. 又∵BD1＝＋＋＝－a＋c＋b， ∴2＝(b＋c－a)2＝b2＋c2＋a2＋2b·c－2b·a－2c·a＝1＋1＋1－1＝2， ∴||＝， 即的模为. (2)∵＝＋＝a＋b，∴2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3， ∴||＝，∴·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝a·b＋a·c－a2＋b2＋b·c－a·b＝1，∴cos〈BD1，〉＝＝＝，即与夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$