21.2解一元二次方程（配方法）（知识梳理+知识框架+习题精练）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2解一元二次方程 ——配方法 一、知识梳理 1、直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用 的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝ ； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝ ． 方程x2＝p的解的情况： 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． 2、配方法 （1）将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 ． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到 ； ③方程两边同时加上 的平方； ④把左边配成一个 ，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程 ． 二、知识精练 一、单选题 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 4．一元二次方程配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 7．对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 二、填空题 9．方程的根是 ． 10．关于x的一元二次方程的解是 ． 11．将配方成的形式，则 ． 12．如果方程 可以配方成 ，那么 ． 13．若将一元二次方程化为的形式，则 ． 三、解答题 14．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 16．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 运用直接开方法即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 3．A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，当时，才有意义，那么把原方程两边同时开平方可得，即，当时，无意义，即此时方程无解，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程就是把方程左边整理成完全平方式的形式，再用完全平方公式进行分解因式． 【详解】解： ， 移项得：， 等式两边同时加， 可得： 整理得：． 故选： C． 5．D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查的是配方法的应用，依据题意，利用配方法把原式化为的形式即可判断得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 9．， 【分析】此题考查了解一元二次方程的方法：直接利用开平法求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10．， 【分析】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法．移项可得，再用直接开平方法求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 11． 【分析】本题考查配方法，将方程进行配方即可解答． 【详解】解：将配方，得， ∴． 故答案为： 12． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把方程配方成，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵方程 可以配方成 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．40 【分析】本题主要考查了配方法，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方确定m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故答案为：40． 14．(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 15．(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 16．(1) (2)①5；②14或16 【分析】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解、三角形的三边的关系、同底数幂的乘法等知识点，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）先利用“配方法”求出、；①由得到，即，进而完成解答；②由三角形三边的关系可得，，即，则可得z可以为5、7，即有可以为14、16问题得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，； ①∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵，， ∴，解得：，即n的值为5； ②∵三边长是、、， ∴， ∵，， ∴， ∵z奇数， ∴z以为5、7， ∴可以为14、16．即△ABC的周长为：14或16． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$