2.5.1 直线与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离 2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系 3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养 [情境引入] “海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊．在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着迷人的风采． 这个过程中，月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系：相交、相切和相离． 在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们根据用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系． [知识梳理] [知识点一]　直线与圆有三种位置关系　 位置关系 交点个数 相交 有　两个　公共点 相切 只有　一个　公共点 相离 　没有　公共点 [知识点二]　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断　 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 　两　个 　一　个 　零　个 判 定 方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2)) d　＜　r d　＝　r d　＞　r 判 定 方法 代数法： 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0, x－a2＋y－b2＝r2)) 消元得到一元二次方程，利用判别式Δ判断 Δ　＞　0 Δ　＝　0 Δ　＜　0 　用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？ [提示]　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×” )． (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( × ) (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．( √ ) (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．( √ ) (4)过半径外端的直线与圆相切．( × ) 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．相切 C．相离 D．无法判断 解析：B　[圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝eq \f(|－5|,\r(32＋42))＝1.∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.] 3．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于　____________　. 解析：由已知圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝eq \f(|3＋2|,\r(5))＝eq \r(5)，则弦长＝2eq \r(r2－d2)＝4eq \r(5). 答案：4eq \r(5) 直线与圆的位置关系的判断 [例1]　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0. 当m为何值时，直线与圆 (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ [思路点拨]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断． [解]　(方法1)将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理， 得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. Δ＝4m(3m＋4)，(1)当Δ>0，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0，即－eq \f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． (方法2)已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq \f(|m－2|,\r(1＋m2)). (1)当d<2，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2，即－eq \f(4,3)<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面： 一是点到直线的距离与半径大小的关系； 二是直线与圆的公共点的个数； 三是两方程组成的方程组解的个数． 因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择． [变式训练] 1．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”是“直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：C　[若点(a，b)在圆x2＋y2＝1内，则 a2＋b2<1， 则圆心O到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))>1， 则直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离． 反之直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离，则圆心O到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))>1，即a2＋b2<1，则点(a，b)在圆x2＋y2＝1内． 所以“点(a，b)在圆x2＋y2＝1内”是“直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1相离”的充分必要条件．] 圆的切线方程 [例2]　(1)求过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程． (2)求过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程． [解]　(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2), kPC＝eq \f(1,2)， ∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0. (2)∵P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外， ∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条． 当斜率存在时，设切线的斜率为k， 则切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0， ∴eq \f(|k－2＋3－2k|,\r(k2＋1))＝1，∴k＝0，∴切线方程为y＝3， 当斜率不存在时，切线方程为x＝2. 综上，所求的切线方程为x＝2或y＝3. 1．点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2．点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解． [变式训练] 2．(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为　__________________________　. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1　　 B．2eq \r(2) C.eq \r(7)　　 D．3 解析：(1)根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0， 即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2,0)， 直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)， 则P在直线l上且MP与直线l垂直． kMP＝eq \f(2－0,－1＋2)＝2，则有－eq \f(a,b)＝－eq \f(1,2)，则有b＝2a， 又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2， 则直线l的方程为x＋2y－3＝0. (2)圆心C(3,0)到y＝x＋1的距离d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq \r(2). 所以切线长的最小值l＝eq \r(d2－r2)＝eq \r(7). 答案：(1)x＋2y－3＝0　(2)C 直线与圆的相交问题 [例3]　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长． [思路点拨]　法一：求圆心、半径eq \o(――→,\s\up17(勾股定理)) 利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形求解 法二：求交点坐标eq \o(――→,\s\up17(利用两点间距离公式))求弦长 [解]　法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5， 其圆心坐标为(0,1)，半径r＝eq \r(5). 点(0,1)到直线l的距离为d＝eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)， l＝2eq \r(r2－d2)＝eq \r(10)，所以截得的弦长为eq \r(10). 法二：设直线l与圆C交于A、B两点． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))得交点A(1,3)，B(2,0)， 所以弦AB的长为|AB|＝eq \r(2－12＋0－32)＝eq \r(10). 　求弦长常用的三种方法： (1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))2＋d2＝r2解题． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． (3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系求得弦长l＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]). [变式训练] 3．(1)直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为　________　. (2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程． (1)解析：x2＋y2－4x－4y－1＝0可变为(x－2)2＋(y－2)2＝9，故圆心坐标为(2,2)，半径为3.圆心到直线x－y＋2＝0的距离是eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，故弦长的一半是eq \r(9－2)＝eq \r(7)，所以弦长为2eq \r(7). 答案：2eq \r(7) (2)解：将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离 d＝eq \r(25－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2)＝3. ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)， 即kx－y＋4k＝0. 由点到直线的距离公式，得3＝eq \f(|－k－2＋4k|,\r(1＋k2))， 解得k＝－eq \f(5,12)，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0. [当堂达标] 1．(多选)在同一直角坐标系中，直线y＝ax＋a2与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置不可能为(　　) 解析：ABD　[由题意，可得a2>0，直线y＝ax＋a2显然过点(0，a2)，故ABD均不可能．] 2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　 B．2eq \r(3) C.eq \f(1,2)　　 D.eq \f(1,3) 解析：B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为eq \r(5)，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq \f(|1＋2－1|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，直线m被圆M截得的弦长等于2eq \r(\r(5)2－\r(2)2)＝2eq \r(3).故选B.] 3．若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为______________． 解析：由题意，得kOP＝eq \f(2－0,1－0)＝2，则该圆在点P处的切线的斜率为－eq \f(1,2)，所以所求切线方程为y－2＝－eq \f(1,2)(x－1)， 即x＋2y－5＝0. 答案：x＋2y－5＝0 4．已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－eq \r(3))，且圆心C在直线y＝x上． (1)求圆C的方程； (2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))的直线l截圆所得弦长为2eq \r(3)，求直线l的方程． 解：(1)由AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，AB的斜率为eq \r(3)，可得AB垂直平分线方程为2eq \r(3)x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，故圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4. (2)当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))， ∴直线l的方程为y－eq \f(\r(3),3)＝k(x－1)，即kx－y＋eq \f(\r(3),3)－k＝0，则圆心(0,0)到直线的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2eq \r(3)，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))))2＋(eq \r(3))2＝4，解得k＝－eq \f(\r(3),3)， 则直线l的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3). 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意． ∴直线l的方程为x＝1或y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3). $$