2.4.2 圆的一般方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．4　圆的方程 2．4.2　圆的一般方程 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 　 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径 2．会在不同条件下求圆的一般方程 1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养 [情境引入] 前面我们已经讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2bx＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式． 请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． [知识梳理] [知识点]　圆的一般方程　 1．(1)圆的一般方程的概念： 当　D2＋E2－4F＞0　时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))　，半径长为　eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)　. 1.所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？ [提示]　不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆． 2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论： ①D2＋E2－4F＞0时表示　圆　. ②D2＋E2－4F＝0时表示点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))). ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． 2.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．( √ ) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．( × ) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ ) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( √ ) 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：D　[－eq \f(D,2)＝2，－eq \f(E,2)＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．] 3．(2023·上海卷，7)已知圆C：x2＋y2－4y－m＝0的面积为π，则m＝　________　. 解析：x2＋(y－2)2＝m＋4，r2＝eq \f(π,π)＝1，由题意m＋4＝1⇒m＝－3. 答案：－3 圆的一般方程的认识 [例1]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数来判断． [解]　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(5)|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m), 半径为eq \r(5)|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)由题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq \f(1,5)， 故m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))). (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq \r(1－5m). 求圆的一般方程 [例2]　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵点A，B，C在圆上， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，)) ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝eq \f(4－3,1＋2)＝eq \f(1,3)，kAC＝eq \f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝eq \f(1,2)|BC|＝5. ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 确定圆的一般方程的主要方法是待定系数法，即列出关于D，E，F的方程组，求D，E，F一般步骤为： (1)根据题意，设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． [变式训练] 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程． 解：圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.)) 又∵圆心在第二象限，∴－eq \f(D,2)＜0，即D＞0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.)) 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 与圆有关的轨迹方程问题 [例3]　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． [思路点拨] (1)设点M的坐标→用P，A坐标表示 点M坐标→求轨迹方程 (2)设点N的坐标→探求点N的几何条件 →建立方程→化简得轨迹方程 [解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点坐标公式得点P坐标为P(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求轨迹方程的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． [变式训练] 3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． [解]　以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.))① ∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq \o\al(2,0)＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． [当堂达标] 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．已知圆x2＋y2－2ax＋2y＋(a－1)2＝0(0＜a＜1)，则原点O在(　　) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 解析：B　[将圆的方程化成标准方程得(x－a)2＋(y－1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0－a)2＋(0－1)2＝a2＋1＞2a，即原点O在圆外．] 3．已知一动点M到点A(－4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是_______________________． 解析：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|， 即eq \r(x＋42＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)， 整理，得x2＋y2－8x＝0.故所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0. 答案：x2＋y2－8x＝0 4．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程． 解：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0D2＋E2－4F>0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，)) 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. $$