2.3.1 两条直线的交点坐标&2.3.2 两点间的距离-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 2．3.2　两点间的距离 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 　 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 3．掌握两点间距离公式并会应用 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养 2. 通过两点间距离的学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养 [情境引入] 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线的交点　 1．两直线的交点 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l1，l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 点A在直线l1上 A1a＋B1b＋C1＝0 直线l1与l2的交点是A eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0, A2a＋B2b＋C2＝0)) 2.两直线的位置关系 方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0, A2x＋B2y＋C2＝0))的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 [知识点二]　两点间的距离公式　 1．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12). 2．两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2). ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝　|x2－x1|　. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝　|y2－y1|　. 　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)的形式？ [提示]　可以，原因是eq \r(x2－x12＋y2－y12)＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( √ ) (2)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.( × ) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( × ) (4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1) 解析：C　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))得交点坐标为(1,2)，故选C.] 3．已知A(3,7)，B(2,5)，则A，B两点间的距离为(　　) A．5　　 B.eq \r(5) C．3　　 D.eq \r(29) 解析：B　[由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝eq \r(3－22＋7－52)＝eq \r(5).] 两直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，,4x－12y＋8＝0))有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线的斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，)) 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 　经过两条直线交点的直线方程 [例2]　(1)求经过点P(1,0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程； (2)无论实数a取何值，方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点，试求该定点． [思路点拨]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，再将点P(1,0)的坐标代入求出λ，即得所求直线方程． (2)将直线方程改写为－x－y－1＋a(x＋2)＝0.解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－y－1＝0,x＋2＝0))，得直线所过定点． [解]　(1)设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0. ∵点P(1,0)在直线上，∴1－2＋λ(3＋2)＝0. ∴λ＝eq \f(1,5).∴所求方程为x＋2y－2＋eq \f(1,5)(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0. (2)由(a－1)x－y＋2a－1＝0，得－x－y－1＋a(x＋2)＝0.所以已知直线恒过直线－x－y－1＝0与直线x＋2＝0的交点． 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－y－1＝0，,x＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.)) 所以方程(a－1)x－y＋2a－1＝0表示的直线恒过定点(－2,1)． 　利用直线系方程求直线的方程 经过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(它不能表示直线l2)．反之，当直线的方程写为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0时，直线一定过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点． [变式训练] 2．已知直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0　　　　 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析：B　[解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋8＝0，,x－y－1＝0))得交点为(－1，－2)．又直线l经过原点，由两点式得其方程为eq \f(y－0,－2－0)＝eq \f(x－0,－1－0)，即2x－y＝0.] 　两点间距离公式的应用 [例3]　已知△ABC三个顶点的坐标为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [解]　法一：∵|AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12) ＝2eq \r(13)， |AC|＝eq \r(1＋32＋7－12) ＝2eq \r(13)， 又|BC|＝eq \r(1－32＋7＋32) ＝2eq \r(26)， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝eq \f(7－1,1－－3)＝eq \f(3,2)，kAB＝eq \f(－3－1,3－－3)＝－eq \f(2,3)， 则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝eq \r(1＋32＋7－12)＝2eq \r(13)， |AB|＝eq \r(3＋32＋－3－12)＝2eq \r(13)， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形． 1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． 2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理． [变式训练] 3．若等腰三角形ABC的顶点A(3,0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5,4)，求等腰△ABC的腰长． 解：因为|AD|＝eq \r(5－32＋4－02)＝2eq \r(5). 在Rt△ABD中，由勾股定理，得|AB|＝eq \r(|AD|2＋|BD|2)＝eq \r(20＋4)＝2eq \r(6). 所以等腰△ABC的腰长为2eq \r(6). 坐标法及其应用 [例4]　如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点． 求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. [思路点拨]　建立适当的平面直角坐标系，设出各顶点的坐标，应用两点间的距离公式证明． [证明]　如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(－b,0)，C(b,0)，D(m,0)(－b<m<b)． 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2， |AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m) ＝b2－m2， ∴|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， ∴|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 　坐标法及其应用 1．坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算； (2)如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 2．利用坐标法解平面几何问题常见的步骤： (1)建立平面直角坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． [变式训练] 4．已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．∵正三角形ABC的边长为a， ∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a)). 设P(x，y)，由两点间的距离公式，得 |PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋y2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋y2 ＝3x2＋3y2－eq \r(3)ay＋eq \f(5a2,4)＝3x2＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),6)a))2＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝eq \f(\r(3),6)a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a)). [当堂达标] 1．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是(　　) A．(5,2) B．(2,3) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) D．(5,9) 解析：B　[(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0可化为k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即直线恒过定点(2,3)．] 2．已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交点坐标为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　) A．20 B．－4 C．0 D．24 解析：B　[已知直线l1的斜率为－eq \f(a,4)，直线l2的斜率为eq \f(2,5).由两直线垂直，可知－eq \f(a,4)×eq \f(2,5)＝－1，解得a＝10.将交点(1，c)的坐标代入直线l1的方程中，得c＝－2.将交点(1，－2)的坐标代入直线l2的方程中，得b＝－12.所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.] 3．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq \f(|AC|,|CB|)＝　________　. 解析：由两点间的距离公式，得|AC|＝eq \r([3－－1]2＋4－02)＝4eq \r(2)， |CB|＝eq \r(3－52＋4－62)＝2eq \r(2)，故eq \f(|AC|,|CB|)＝eq \f(4\r(2),2\r(2))＝2. 答案：2 4．已知点A(－1,2)，B(2，eq \r(7))，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解：设所求点P(x,0)，由|PA|＝|PB|，得 eq \r(x＋12＋0－22)＝ eq \r(x－22＋0－\r(7)2)， 即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1. 所以所求点P坐标为(1,0)，|PA|＝eq \r(1＋12＋0－22)＝2eq \r(2). $$