2.2.3 直线的一般式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 　 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.掌握直线的一般式方程 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化 通过学习直线方程五种形式的相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养 [情境引入] 问题：由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形． (1)斜率是1，经过点A(1,8)； (2)在x轴和y轴上的截距分别是－7,7； (3)经过两点P1(－1,6)，P2(2,9)； (4)在y轴上的截距是7，倾斜角是45°. 提示：(1)y－8＝x－1；(2)eq \f(x,－7)＋eq \f(y,7)＝1；(3)eq \f(y－6,9－6)＝eq \f(x＋1,2＋1)；(4)y＝x＋7.如果我们在同一个平面直角坐标系中画出这4条直线，你会惊奇地发现：这4条直线是重合的．事实上，它们的方程都可以化简为x－y＋7＝0.这样前几种直线方程就有了统一的形式，这就是本节我们要学习的直线的一般式方程． [知识梳理] [知识点一]　直线的一般式方程　 1．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线方程的一般式． 2．直线方程一般式的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 1.当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－eq \f(C,B)，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－eq \f(C,A)，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． [知识点二]　直线的一般式方程与其他形式的互化　 2.任何直线方程都能表示为一般式吗？ [提示]　能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( √ ) (2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点．( √ ) (3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( × ) (4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( × ) 2．在直角坐标系中，直线x＋eq \r(3)y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° 　 B．60° C．150°　　 D．120° 解析：C　[直线斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，所以倾斜角为150°，故选C.] 3．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　________　. 解析：由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 直线的一般式方程 [例1]　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是eq \r(3)，且经过点A(5,3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1. [思路点拨]　先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，化为一般式方程为eq \r(3)x－y＋3－5eq \r(3)＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2， 化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由两点式方程可知， 所求直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－－1,2－－1)， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可得，所求直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 　直线的一般式方程的特征 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． [变式训练] 1．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程． (1)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直； (2)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (3)经过C(1，－5)，D(3，－1)两点． 解：(1)因为直线l经过点B(－2,0)，且与x轴垂直， 所以直线l的方程为x＝－2，化成一般式为x＋2＝0. (2)由直线l的斜率为－4，在y轴上截距为7，得直线的斜截式方程为y＝－4x＋7，化成一般式为4x＋y－7＝0. (3)由直线l经过C(1，－5)，D(3，－1)两点，得直线的两点式方程为eq \f(y＋5,－1＋5)＝eq \f(x－1,3－1)，整理得2x－y－7＝0. 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直 [例2]　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [思路点拨]　利用在一般式方程下，两直线平行或垂直的条件求解． [解]　法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0， l2：mx＋3y－2＝0知： ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2，需eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2). 解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3. (2)由题意知，直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－eq \f(3,2)时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－eq \f(a＋2,1－a)，k2＝－eq \f(a－1,2a＋3). 当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,1－a)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a－1,2a＋3)))＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3. (2)由题意知直线l1⊥l2， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1， 将a＝±1代入方程，均满足题意． 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系． (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. [变式训练] 2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 解：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0. 将点(－1,3)的坐标代入上式得m＝－9. ∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0. 将点(－1,3)的坐标代入上式得n＝13. ∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0. 与含参数的一般式方程有关的问题 [例3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． [思路点拨]　(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0. [解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理得y－eq \f(3,5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))， ∴直线l的斜率为a，且过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))， 而点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限内， 故不论a为何值，直线l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立，必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－1＝0，,5y－3＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).)) 即l过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))). 以下同法一． (2)直线OA的斜率为k＝eq \f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3. 如图所示，要使直线l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3. 　直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对任意参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点． [变式训练] 3．(1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足　________　. (2)已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线．当m＝　____________　时，直线的倾斜角为45°；当m＝　____________　时，直线在x轴上的截距为1. 解析：(1)若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0. 解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋5m＋6＝0，,m2＋3m＝0，))得m＝－3，所以m≠－3时，方程表示一条直线． (2)因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1， 所以－eq \f(2m2＋m－3,m2－m)＝1， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－m≠0，,2m2＋m－3＝－m2－m，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠0且m≠1，,m＝－1或m＝1.))所以m＝－1. 因为已知直线在x轴上的截距为1，令y＝0， 得x＝eq \f(4m－1,2m2＋m－3)， 所以eq \f(4m－1,2m2＋m－3)＝1， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2m2＋m－3≠0，,4m－1＝2m2＋m－3，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m≠1且m≠－\f(3,2)，,m＝－\f(1,2)或m＝2.)) 所以m＝－eq \f(1,2)或m＝2. 答案：(1)m≠－3　(2)－1　－eq \f(1,2)或2 [当堂达标] 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　 ) A．A≠0　　　　　　　 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.] 2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－1＝0 D．2x＋y－2＝0 解析：D　[设与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为2x＋y＋C＝0，将点(1,0)的坐标代入，得2×1＋0＋C＝0，解得C＝－2，所以过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为2x＋y－2＝0.] 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2) B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C．直线eq \r(3)x＋y＋1＝0的倾斜角为60° D．过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0 解析：ABD　[y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；eq \r(3)x＋y＋1＝0可化为y＝－eq \r(3)x－1，则该直线的斜率为－eq \r(3)，即倾斜角为120°，故C错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的斜率为k，因为直线x－2y＋3＝0的斜率为eq \f(1,2)，所以k·eq \f(1,2)＝－1，解得k＝－2，则过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0，故D正确．故选ABD] 4．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2，由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. $$