2.2.1 直线的点斜式方程-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.了解直线方程的点斜式的推导过程 2．掌握直线方程的点斜式并会应用 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念 通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养 [情境引入] 笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”． 笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的．依照这种思想他创立了“解析几何学”． 我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P0(x0，y0)和斜率k就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点的坐标(x，y)与点P0的坐标(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的点斜式方程和斜截式方程　 点斜式 斜截式 已知 条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距　b　 图示 方程形式 y－y0＝　k(x－x0)　 　y＝kx＋b　 适用条件 斜率存在 1.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． [知识点二]　根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直　 　对于直线l1：y＝k1x＋b1, l2：y＝k2x＋b2， l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2; l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 2.截距是距离吗？为什么？ [提示]　截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)y轴所在直线方程为y＝0.( × ) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．( √ ) (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．( × ) (4)直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( × ) 2．方程y－y0＝k(x－x0)(　　) A．可以表示任何直线 B．不能表示过原点的直线 C．不能表示与y轴垂直的直线 D．不能表示与x轴垂直的直线 解析：D　[因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线．] 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1　　　　　　 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析：D　[由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，故选D.] 直线的点斜式方程 [例1]　已知点A(3,3)和直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2).求： (1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程； (2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程． [解]　因为直线l：y＝eq \f(3,4)x－eq \f(5,2)，所以该直线的斜率k＝eq \f(3,4). (1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y－3＝eq \f(3,4)(x－3)． (2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－eq \f(4,3)(x－3)． 　利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程； (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． [变式训练] 1．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行． 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)； (2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y－3＝x－2； (3)y＝－1. 直线的斜截式方程 [例2]　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(0，－2)，且与直线y＝3x－5垂直； (2)与直线y＝－2x＋3平行，与直线y＝4x－2在y轴上的截距相同． [思路点拨]　写出直线的斜率及在y轴上的截距，用斜截式写出直线方程． [解]　(1)因为直线y＝3x－5的斜率为3，且所求直线与该直线垂直，所以所求直线的斜率为－eq \f(1,3). 又直线过点(0，－2)，由直线方程的斜截式，得y＝－eq \f(1,3)x－2，即x＋3y＋6＝0. (2)直线y＝－2x＋3的斜率为－2，直线y＝4x－2在y轴上的截距为－2. 由题意知，所求直线的斜率为－2，在y轴上的截距也为－2.由直线方程的斜截式，得y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0. 　斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截式方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一． [变式训练] 2．已知斜率为－eq \f(4,3)的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程． 解：设l：y＝－eq \f(4,3)x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0， 得x＝eq \f(3,4)b. 由题意，得eq \f(1,2)·|b|·|eq \f(3,4)b|＝6，∴b2＝16， ∴b＝±4. 故直线l的方程为y＝－eq \f(4,3)x±4. 两直线平行与垂直的应用 [例3]　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？ [思路点拨] [解]　(1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2， ∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,2a≠2，))解得a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行． (2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4， ∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8). 故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直． 　两条直线平行和垂直的判定 (1)平行的判定． (2)垂直的判定． [变式训练] 3．(1)经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的斜截式方程为 _______________________． (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为__________________． (1)解析：由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2，所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. 答案：y＝2x－1 (2)解析：设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 所以kBC·kAD＝－1，所以eq \f(2＋3,0－3)·kAD＝－1，解得kAD＝eq \f(3,5).所以BC边上的高所在直线的方程是y－0＝eq \f(3,5)(x＋5)． 即y＝eq \f(3,5)x＋3. 答案：y＝eq \f(3,5)x＋3 [当堂达标] 1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：C　[直线方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.故选C.] 2．直线y＋2＝eq \f(\r(3),3)(x－4eq \r(3))的倾斜角及在y轴上的截距分别是(　　) A.eq \f(π,6)，6　　　　　　 B.eq \f(π,6)，－6 C.eq \f(π,3)，6 D．eq \f(π,3)，－6 解析：B　[由直线y＋2＝eq \f(\r(3),3)(x－4eq \r(3)) 可得其斜率为k＝eq \f(\r(3),3)， 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝eq \f(\r(3),3). 因为θ∈[0，π)，所以θ＝eq \f(π,6)，即倾斜角为eq \f(π,6). 当x＝0时，y＋2＝eq \f(\r(3),3)×(－4eq \r(3))＝－4， 得y＝－6，所以直线在y轴上的截距为－6.] 3．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为　________　. 解析：直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)． 答案：y－1＝－(x－2) 4．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 解：直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的斜率k＝eq \r(3)， 则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°. 所以直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－eq \r(3). 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－eq \r(3)(x－3)． $$