2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线平行与斜率之间的关系　 　设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都　不存在　 图示 1.如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． [知识点二]　两条直线垂直与斜率之间的关系 　 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率　不存在　，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 图示 2.如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ [提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( × ) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.( × ) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( × ) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( √ ) 2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－eq \f(1,2)，则l1与l2(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：B　[∵k1·k2＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，∴l1⊥l2.] 3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝　________　. 解析：∵kl2＝eq \f(2－1,0－1)＝－1，l1∥l2，∴kl1＝eq \f(4－1,－3－m)＝－1， ∴m＝0. 答案：0 两条直线平行的判定 [例1]　判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [思路点拨]　斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论． [解]　(1)k1＝eq \f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq \f(－1－4,－1－3)＝eq \f(5,4)， k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝eq \f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝eq \f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq \f(0－3,2－－1)＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝eq \f(3－1,－1－0)＝－2≠－1， 则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 　判断两直线是否平行的步骤 [变式训练] 1．下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有　________　.(填序号) ①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； ③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，eq \r(3))，N(－2，－2eq \r(3))； ④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6)． 解析：①∵kAB＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5)，kCD＝eq \f(－7＋3,8－3)＝－eq \f(4,5)， ∴kAB＝kCD，∴l1∥l2. ②∵kl2＝eq \f(2－1,2－1)＝1≠kl1＝2，∴l1不平行于l2. ③∵kl1＝tan 60°＝eq \r(3)，kl2＝eq \f(\r(3)＋2\r(3),1＋2)＝eq \r(3)，∴kl1＝kl2， ∵l1与l2不重合，∴l1∥l2. ④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2. 答案：①③④ 　两条直线垂直关系的判定 [例2]　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． [思路点拨]　(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条直线的斜率是否为0，若为0，则垂直． (2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解． [解]　(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知直线l2的斜率k2一定存在，直线l1的斜率可能不存在． 当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意． 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，得k1＝eq \f(3－a,a－2－3)＝eq \f(3－a,a－5)，k2＝eq \f(a－2－3,－1－2)＝eq \f(a－5,－3). 由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即eq \f(3－a,a－5)×eq \f(a－5,－3)＝－1，解得a＝0.综上所述，a的值为0或5. 　使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． [变式训练] 2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．若l1⊥l2，求a的值． 解：设直线l2的斜率为k2，则k2＝eq \f(2－a＋2,1－－2)＝－eq \f(a,3). ①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－eq \f(4,3)，不符合题意； ②当a＝0时，l2的斜率为0，此时直线l1的斜率k1＝－eq \f(1,2)，不符合题意； ③当a≠4且a≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝eq \f(2－a,a－4). 由k1·k2＝－1，得－eq \f(a,3)·eq \f(2－a,a－4)＝－1，解得a＝3或a＝－4. ∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2. 两直线平行与垂直的综合应用 [例3]　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状． [解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图： 由斜率公式可得 kAB＝eq \f(5－3,2－－4)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－－4)＝－3， kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行．又kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1，∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形． (1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定． (2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形． (3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查． [变式训练] 3．已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点的坐标．(A，B，C，D按逆时针方向排列) 解：①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)， 由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)． ②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)． 设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝eq \f(b－2,a－1)，kAB＝eq \f(b＋1,a－6). 由AD∥BC，得kAD＝kBC， 即eq \f(b－2,a－1)＝－3；① 由AB⊥BC，得kAB·kBC＝－1， 即eq \f(b＋1,a－6)·(－3)＝－1.② 由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11,5)，)) 故Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5))). 综上所述，A点的坐标为(1，－1)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，－\f(11,5))). [当堂达标] 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若直线l1与l2的倾斜角相等，则l1∥l2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1 C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定垂直于x轴 D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行 解析：CD　[对A，两直线的倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线的斜率不存在，则直线一定垂直于x轴，正确；对D，若两条直线的斜率不相等，则两条直线一定不平行， D正确．] 2．过点(eq \r(3)，eq \r(6))，(0,3)的直线与过点(eq \r(6)，eq \r(2))，(2,0)的直线的位置关系为(　　) A．垂直　　　　　 B．平行 C．重合 D．以上都不正确 解析：A　[k1＝eq \f(3－\r(6),0－\r(3))＝－eq \r(3)＋eq \r(2)， k2＝eq \f(0－\r(2),2－\r(6))＝－eq \f(1,\r(2)－\r(3))， ∵k1k2＝－1，∴两直线垂直．故选A.] 3．若经过点M(m,3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是　________　. 解析：由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥l，所以kMN＝eq \f(m－3,2－m)＝eq \f(1,4)，解得m＝eq \f(14,5). 答案：eq \f(14,5) 4．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： (1)倾斜角为135°； (2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行． 解：(1)由kAB＝eq \f(m－3,2m2)＝tan 135°＝－1， 解得m＝－eq \f(3,2)或m＝1. (2)由kAB＝eq \f(m－3,2m2)，且eq \f(－7－2,0－3)＝3， 得eq \f(m－3,2m2)＝－eq \f(1,3)，解得m＝eq \f(3,2)或m＝－3. (3)令eq \f(m－3,2m2)＝eq \f(9＋3,－4－2)＝－2，解得m＝eq \f(3,4)或m＝－1. $$