2.1.1 倾斜角与斜率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 第二章 直线与圆的方程 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第二章 直线与圆的方程 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念 2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2．通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝eq \f(上升高度,水平距离)＝eq \f(DB,AD).k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的倾斜角 　 定义 当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，　x轴正向　与直线l 　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为　0°　 记法 α 图示 范围 0°≤α<180° 作用 (1)表示平面直角坐标系内一条直线的　倾斜程度　 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的　倾斜角　，二者缺一不可 1.图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点二]　直线的斜率　 定义(α为直 线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的　正切值　叫做这条直线的斜率 α＝90° 直线斜率不存在 记法 常用小写字母k表示，即k＝　tan α　 范围 　R　 作用 用实数反映了平面直角坐标系内直线的　倾斜程度　 [知识点三]　直线的斜率公式　 　如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么直线的斜率公式：k＝eq \f(y2－y1,x2－x1). 2.所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．( × ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.( × ) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α.( × ) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．( √ ) 2．直线x＝eq \r(3)的倾斜角为(　　) A．0°　　　　　　　 B．60° C．90° D．180° 解析：C　[∵直线x＝eq \r(3)的斜率不存在，∴倾斜角为90°.] 3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 　直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α＋90°0°<α<90°，,α－90°90°≤α<180°.)) 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [变式训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.] 斜率的计算 [例2]　(1)已知直线l过点A(－1，eq \r(3))，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是eq \f(2π,3)，则m＝(　　) A．－2eq \r(3)　 B．0 C．2eq \r(3)　　 D．4eq \r(3) (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° [思路点拨]　(1)根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值． (2)由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角． [解析]　(1)设直线l的斜率为k，则k＝eq \f(m－\r(3),2＋1)＝ taneq \f(2π,3)＝－eq \r(3)，故m＝－2eq \r(3).故选A. (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的斜率为eq \f(3－0,－2－1)＝－1， 故该直线的倾斜角为135°，故选C. [答案]　(1)A　(2)C 　直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(其中x1≠x2)进行计算． [变式训练] 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：(1)kMN＝eq \f(m－1－1,m＋1－2m)＝1，解得m＝eq \f(3,2). (2)直线l的倾斜角为90°，即直线l平行于y轴，所以m＋1＝2m，解得m＝1. 直线倾斜角与斜率的综合 [例3]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [思路点拨] 作图eq \o(――――――――――――――→,\s\up17(直线与线段有公共点)) 倾斜角介于直线PB 与PA的倾斜角之间eq \o(――→,\s\up17(求斜率))求斜率范围及倾斜角范围 [解]　如图所示，由题意可知kPA＝eq \f(4－0,－3－1)＝－1，kPB＝eq \f(2－0,3－1)＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在． 3.eq \f(y2－y1,x2－x1)的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题． [变式训练] 3．(1)设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3 ]∪[1，＋∞) B. [－3,1] C．[－1,3] D．以上都不对 (2)已知点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，则2a－b＝　____　. 解析：(1)如图所示，直线PB，PA的斜率分别为kPB＝1，kPA＝－3， 结合图形可知k≥1或k≤－3.故选A. (2)三点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上， ∴kAB＝kBC，∴eq \f(－1－1,0－1)＝eq \f(－1－b,0－a)，整理得2a－b＝1.故答案为1. 答案：(1)A　(2)1 [当堂达标] 1．(多选)在下列四个说法中，错误的有(　　) A．在平面直角坐标系内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是[0，π) C．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α 解析：ACD　[对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，所以A错误；对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是[0，π)，所以B正确；对于C：一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线y＝x的斜率为1＝tan eq \f(5π,4)，但它的倾斜角为eq \f(π,4)，所以C错误；对于D：一条直线的倾斜角为α时，它的斜率为tan α或不存在，所以D错误．] 2．过点A(－eq \r(3)，eq \r(2))与点B(－eq \r(2)，eq \r(3))的直线的倾斜角为(　　) A．45°　　　　　 B．135° C．45°或135° D．60° 解析：A　[kAB＝eq \f(\r(3)－\r(2),－\r(2)－－\r(3))＝eq \f(\r(3)－\r(2),\r(3)－\r(2))＝1，故直线的倾斜角为45°.] 3．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　________　.(其中m≥1) 解析：当m＝1时，倾斜角α＝90°，当m>1时，tan α＝eq \f(3－2,m－1)>0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°. 答案：(0°，90°] 4．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 解：如图所示． ∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)， ∴k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°. $$