1.2 空间向量基本定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

1．2　空间向量基本定理 第一章 空间向量与立体几何 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 　 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 下一页 上一页 返回导航 第一章 空间向量与立体几何 创新教程 五维课堂 数学 选择性必修 第一册 课程标准 素养解读 1.掌握空间向量基本定理 2．了解空间向量正交分解的含义 3．会用空间向量基本定理解决有关问题 1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养 2．借助基底的判断及应用提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养 [情境引入] 我们所在的教室即是一个三维立体图，如果以教室的一个墙角为始点，沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量．这三个空间向量是不共面的，那么是否可以用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ [知识梳理] [知识点一]　空间向量基本定理　 1．如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 1.零向量能不能作为一个基向量？ [提示]　不能．因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面． 2．构成空间的基底是唯一的吗？ [提示]　不唯一，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 2．基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量． [知识点二]　空间向量的正交分解　 　单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk， 使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)空间向量的基底是唯一的．( × ) (2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．( √ ) (3)已知A，B，M，N是空间四点，若eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(BM,\s\up16(→))，eq \o(BN,\s\up16(→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．( √ ) 2．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x}　　 B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}. 解析：BCD　[如图所示，令a＝eq \o(AB,\s\up16(→))，b＝eq \o(AA1,\s\up16(→))，c＝eq \o(AD,\s\up16(→))，则x＝eq \o(AB1,\s\up16(→))，y＝eq \o(AD1,\s\up16(→))，z＝eq \o(AC,\s\up16(→))，a＋b＋c＝eq \o(AC1,\s\up16(→)). 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选BCD.] 3．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是　______________　. 解析：若x≠0，则a＝－eq \f(y,x)b－eq \f(z,x)c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0. 答案：x＝y＝z＝0 基底的判断 [例1]　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \o(OA,\s\up16(→))＝e1＋2e2－e3，eq \o(OB,\s\up16(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \o(OC,\s\up16(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))}能否作为空间的一个基底． [思路点拨]　假设eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))共面，利用eq \o(OA,\s\up16(→))＝xeq \o(OB,\s\up16(→))＋yeq \o(OC,\s\up16(→))是否有解求解． [解]　假设eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使eq \o(OA,\s\up16(→))＝xeq \o(OB,\s\up16(→))＋yeq \o(OC,\s\up16(→))成立， ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－3x＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解． 即不存在实数x，y使得eq \o(OA,\s\up16(→))＝xeq \o(OB,\s\up16(→))＋yeq \o(OC,\s\up16(→))，所以eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))不共面． 所以{eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))}能作为空间的一个基底． 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． [变式训练] 1．在空间四点O，A，B，C中，若{eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))}是空间的一个基底，则下列说法不正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：B　[选项A对应的说法是正确的，若四点共线，则向量eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))共面，构不成基底；选项B对应的说法是错误的，若四点共面，则eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))共面，构不成基底；选项C对应的说法是正确的，若四点共面，则eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))共面，构不成基底；选项D对应的说法是正确的，若有三点共线，则这四点共面，故向量eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))构不成基底．] 用基底表示向量 [例2]　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足eq \o(CF,\s\up16(→))＝2eq \o(FB,\s\up16(→)).若eq \o(PA,\s\up16(→))＝a，eq \o(PB,\s\up16(→))＝b，eq \o(PC,\s\up16(→))＝c，则eq \o(FE,\s\up16(→))＝(　　) [思路点拨]　借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来． A.eq \f(1,2)a－eq \f(4,3)b＋eq \f(1,6)c　　　 B.eq \f(1,2)a－eq \f(4,3)b－eq \f(1,6)c C.eq \f(1,2)a－eq \f(7,6)b＋eq \f(1,6)c D.eq \f(1,2)a－eq \f(7,6)b－eq \f(1,6)c [解析]　由题意知eq \o(FE,\s\up16(→))＝eq \o(PE,\s\up16(→))－eq \o(PF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PD,\s\up16(→))－(eq \o(PC,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))) ＝eq \f(1,2)(eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→)))－eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→)))－eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \f(2,3)(eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→)))－eq \f(1,3) eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \f(1,6) eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(PA,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→)))－eq \f(1,3) eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \f(1,6) eq \o(PB,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(PA,\s\up16(→))－eq \f(7,6) eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6) eq \o(PC,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)a－eq \f(7,6)b＋eq \f(1,6)c. [答案]　C 用基底表示向量的步骤 1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． 2．找目标：用确定的基底或已知基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． 3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来． [变式训练] 2.如图，在三棱锥P－ABC中，点D，E，F分别是AB，PA，CD的中点，设eq \o(PA,\s\up16(→))＝a，eq \o(PB,\s\up16(→))＝b，eq \o(PC,\s\up16(→))＝c，则eq \o(EF,\s\up16(→))＝(　　) A.eq \f(1,4)a－eq \f(1,4)b－eq \f(1,2)c B.eq \f(1,4)a－eq \f(1,4)b＋eq \f(1,2)c C.eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b－eq \f(1,2)c D．－eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,2)c 解析：D　[如图，连接DE ∵D，E分别为AB，PA的中点， ∴eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BP,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)b ∴eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(DF,\s\up16(→))－eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up16(→))－eq \o(DE,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(DE,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))－eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(DE,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2)(eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))－eq \f(1,4)(eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))－DE ＝eq \f(1,2)c－eq \f(1,2)a－eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)b＝－eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,2)c.] 　基本定理的运用 [例3]　在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,3)CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． [思路点拨]　选择一个空间基底，将eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(B1C,\s\up16(→))，eq \o(C1G,\s\up16(→))用基向量表示．(1)证明eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(B1C,\s\up16(→))＝0即可；(2)求eq \o(EF,\s\up16(→))与eq \o(C1G,\s\up16(→))夹角的余弦值即可． [解]　(1)证明：设eq \o(DA,\s\up16(→))＝i，eq \o(DC,\s\up16(→))＝j，eq \o(DD1,\s\up16(→))＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． 所以eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(ED,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)k＋eq \f(1,2)(eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)j－eq \f(1,2)k，eq \o(B1C,\s\up16(→))＝eq \o(B1B,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＝－i－k， 所以eq \o(EF,\s\up16(→))·eq \o(B1C,\s\up16(→))＝(eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)j－eq \f(1,2)k)·(－i－k)＝－eq \f(1,2)|i|2＋eq \f(1,2)|k|2＝0，所以EF⊥B1C. (2)eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)i＋eq \f(1,2)j－eq \f(1,2)k，eq \o(C1G,\s\up16(→))＝eq \o(C1C,\s\up16(→))＋eq \o(CG,\s\up16(→)) ＝－k－eq \f(1,3)j， |eq \o(EF,\s\up16(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))2＝eq \f(1,4)|i|2＋eq \f(1,4)|j|2＋eq \f(1,4)|k|2＝3， |eq \o(EF,\s\up16(→))|＝eq \r(3)，|eq \o(C1G,\s\up16(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k－\f(1,3)j))2＝|k|2＋eq \f(1,9)|j|2＝4＋eq \f(4,9)＝eq \f(40,9)，|eq \o(C1G,\s\up16(→))|＝eq \f(2\r(10),3)， ∴cos〈eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(C1G,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(EF,\s\up16(→))·\o(C1G,\s\up16(→)),|\o(EF,\s\up16(→))|·|\o(C1G,\s\up16(→))|) ＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)i＋\f(1,2)j－\f(1,2)k))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－k－\f(1,3)j)),\r(3)×\f(2\r(10),3))＝eq \f(\f(4,3),\f(2\r(30),3))＝eq \f(\r(30),15). ∴EF与C1G所成角的余弦值为eq \f(\r(30),15). 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等． 首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． (1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0； (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线； (3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)． [变式训练] 3.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°. (1)求AC′的长； (2)求eq \o(AC′,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角的余弦值． 解：(1)∵ eq \o(AC′,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA′,\s\up16(→))， ∴|eq \o(AC′,\s\up16(→))|2＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AA1,\s\up16(→)))2＝|eq \o(AB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AD,\s\up16(→))|2＋|eq \o(AA′,\s\up16(→))|2＋2(eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))·eq \o(AA′,\s\up16(→)))＝42＋32＋52＋2×(0＋10＋7.5)＝85.∴|eq \o(AC′,\s\up16(→))|＝eq \r(85) ，即AC′＝eq \r(85). (2)设eq \o(AC′,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角为θ，eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA′,\s\up16(→))＝c，依题意得eq \o(AC′,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝(a＋b＋c)·(a＋b) ＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c ＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋eq \f(15,2)＝eq \f(85,2)， |eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\o(BC,\s\up16(→))))2) ＝eq \r(42＋32＋2×4×3×0)＝5， ∴cos θ＝eq \f(\o(AC′,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC′,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(\f(85,2),\r(85)×5)＝eq \f(\r(85),10)， 即eq \o(AC′,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))的夹角的余弦值为eq \f(\r(85),10). [当堂达标] 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　 ) A．a　　 B．b C．c　　 D．a＋b 解析：C　[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝eq \f(1,4)p＋eq \f(1,4)q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝eq \f(1,2)p－eq \f(1,2)q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝eq \f(3,4)p－eq \f(1,4)q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.] 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且仅有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等 解析：AC　[A正确； B项，空间基底有无数个，错； D项中因为基底不唯一，所以D错； C正确．] 3．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))，向量b＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→))，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　) A.eq \o(OA,\s\up16(→))　　　　 B.eq \o(OB,\s\up16(→)) C.eq \o(OC,\s\up16(→)) D.eq \o(OA,\s\up16(→))或eq \o(OB,\s\up16(→)) 解析：C　[∵eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b且a，b不共线，∴a，b，eq \o(OC,\s\up16(→))共面，∴eq \o(OC,\s\up16(→))与a，b不能构成一组空间基底．对于选项A，由eq \o(OM,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，eq \o(MA,\s\up16(→))，eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(MC,\s\up16(→))共面；对于选项B，D，可知eq \o(MA,\s\up16(→))，eq \o(MB,\s\up16(→))，eq \o(MC,\s\up16(→))共面，故选C.] 4.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，eq \o(OC,\s\up16(→))＝c，则向量eq \o(OD,\s\up16(→))用a，b，c表示为　________　. 解析：∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝－2eq \o(CD,\s\up16(→))， ∴eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝－2(eq \o(OD,\s\up16(→))－eq \o(OC,\s\up16(→)))，∴b－a＝－2(eq \o(OD,\s\up16(→))－c)， ∴eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c. 答案：eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c 5.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \o(MA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(ND,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(A1D,\s\up16(→))，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(AA1,\s\up16(→))＝c，试用a，b，c表示eq \o(MN,\s\up16(→)). 解：如图，连接AN，则eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AN,\s\up16(→)). 由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得 eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝a＋b, eq \o(MA,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)，又eq \o(A1D,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AA1,\s\up16(→))＝b－c，故eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DN,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(ND,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(A1D,\s\up16(→))＝b－eq \f(1,3)(b－c)，所以eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(MA,\s\up16(→))＋eq \o(AN,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)＋b－eq \f(1,3)(b－c)＝eq \f(1,3)(－a＋b＋c). $$