21.1一元二次方程（知识梳理+知识框架+习题精练）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.1一元二次方程 一、知识梳理 1、一元二次方程的概念 （1）定义等号两边都是整式，只含有一个 （一元），并且未知数的最高次数是 二次）的方程，叫做 注意：一元二次方程的“三要素” 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般形式 一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是叫做 ,a是叫做 ;bx是一次项,b是一次项系数;c是叫做 （2）一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0. （3）特殊形式 二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况: 3 、一元二次方程的解( 根) （1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的叫做 .如x=2和x=5 都是方程的解(根). （2）一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等 （3）判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法 二、习题精选 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 4．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 5．关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 6．若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 7．若a是一元二次方程的一个实数根，则的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 8．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 二、填空题 9．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 10．一元二次方程的一次项系数是 ． 11．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 12．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为 ． 三、解答题 13．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 14．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 15．已知实数是的根，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断选项． 【详解】解：选项A：方程为整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 选项B：方程中含分式，分母含未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项C：方程含两个未知数和，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项D：方程化简后为，是一元一次方程，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项即可． 【详解】解：A．方程中，若，则二次项消失，不一定是二次方程，排除； B．方程含有两个未知数和，属于二元方程，排除； C．方程含有分式，不是整式方程，排除； D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及其解的定义．熟练掌握一元二次方程的一般式，以及相应基本概念是解题关键． 将原方程化为一般形式，确定各项系数，并验证各选项的正确性． 【详解】将原方程化为一般形式：． A、当时，左边，成立，选项A正确； B、一次项系数为，选项B错误； C、常数项为1，选项C正确； D、当时，左边，成立，选项D正确． 故选：B． 4．B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，将a代入方程得到，再将所求代数式变形为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个实数根， ∴代入方程得：， 移项得：． 所求代数式为， 可变形为：． 将代入，得： ． 故选D． 8．B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 9．1 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 10． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的含义． 将代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解是能使得等式两边相等的值． 把代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值． 【详解】解：把代入方程得：， 解方程得． 故答案为：． 13．(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 14．(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 15．． 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$