第2章 常用逻辑用语（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第一章 集合（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 2.命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 4.已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（　　） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 6.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 7.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 8.已知、、、，则“”是“”的（ ）注：表示、之间的较大者. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值可以是（　　） A．-2 B． C．0 D．3 10.已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：，，则：，. B.“”是“”的必要条件. C. “，”是“”成立的充分不必要条件. D. “”是“关于的方程有实根的充分不必要条件. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知命题，.则p的否定是 . 13.设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题真q假，则实数的取值范围为___________ 14.已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 16.已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17.命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 18.在①，，②存在集合，非空集合，使得，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数的范围. 问题：求解实数的范围，使得命题：，，命题：__________有且只有一个真命题. 19.已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列四个命题： ①没有一个无理数不是实数； ②空集是任何一个非空集合的真子集； ③； ④至少存在一个整数x，使得是整数． 其中是真命题的为（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【分析】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题. 【解析】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确； 因为，故③正确； 取，则是整数，故④正确. 故选：A. 2.命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析可得答案． 【解析】命题为存在量词命题，则命题“，”的否定，， 故选：D. 3.对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【解析】对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 4.已知，若集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件定义即得. 【解析】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5.下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（　　） A．所有正方形都是菱形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【分析】要判定存在量词命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使成立即可；如果在集合M中，使成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题. 【解析】A，所有正方形都是菱形为全称量词命题，故A错误； B，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故B错误； C，至少有一个实数，使为存在量词命题， 当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D，，使为存在量词命题， 而恒成立，该命题为假命题，故D错误； 故选：C. 6.已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用命题的真假，通过求解即可； 【解析】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 7.命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【解析】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 故选：D 8.已知、、、，则“”是“”的（ ）注：表示、之间的较大者. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件定义即得. 【解析】充分性：取，，则成立， 但，充分性不成立； 必要性：设，则，， 从而可得，必要性成立. 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知“方程至多有一个解”为假命题，则实数的取值可以是（　　） A．-2 B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据命题的真假得出结论． 【解析】由题可知“方程至少有两个解”为真命题， ， ， ， 综上且． 故选：AD 10.已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件.现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABD 【分析】根据充分条件、必要条件定义即得. 【解析】由题意，，但⇏，故①②正确，③错误； 所以，根据等价关系知：且⇏，故④正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：，，则：，. B.“”是“”的必要条件. C. “，”是“”成立的充分不必要条件. D. “”是“关于的方程有实根的充分不必要条件. 【答案】ACD 【分析】根据全程量词命题的否定以及充分条件、必要条件定义即得. 【解析】由命题：，是全称量词命题，则：，，故A正确； 如，但是，也不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 由时一定有，当时，，但是， 因此“”是“”成立的充分不必要条件，故C正确； 如，但是，所以不一定能推出， 关于的方程有实根，所以“”是“关于的方程有实根”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知命题，.则p的否定是 . 【答案】， 【分析】根据题意，由全称命题的否定方法分析可得答案． 【解析】根据题意，命题，，是全称命题， 则的否定是，． 故答案为：，． 13.设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：若命题真q假，则实数的取值范围为___________ 【答案】或. 【分析】根据命题的真假得出结论． 【解析】若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或. 14.已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是___________ 【答案】 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【解析】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知两个命题：二次函数的图象与轴有两个不同的交点；关于的不等式恒成立．若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或. 【分析】根据命题的真假得出结论． 【解析】若命题为真命题，则，解得或， 若命题为真命题，则，即， 若真假，则，可得或， 若假真，则，此时，. 综上所述，或. 16.已知集合，． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】从集合角度理解必要不充分条件与充分不必要条件即得。 【解析】（1）因为“”是“”的必要不充分条件，可得A是B的真子集，则满足，解得，所以实数a的取值范围为． （2）因为“”是“”的充分不必要条件，可得B是A的真子集．①当，即时，此时，符合题意；②当，即时，则满足，即，解得．综上可得，实数a的取值范围为． 17.命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【解析】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 18.在①，，②存在集合，非空集合，使得，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数的范围. 问题：求解实数的范围，使得命题：，，命题：__________有且只有一个真命题. 【答案】见解析 【分析】利用命题的真假进行等价转换即可求得答案． 【解析】选条件①， 由命题为真，可得在上恒成立， ∵，∴，∴. 由命题为真，则方程有解， ∴ ，∴. 又命题，有且只有一个真命题， ∴ 或， ∴实数的范围为或. 选条件②， 由命题为真，可得在上恒成立， ∵，∴，∴. 由命题为真，可得或， 又为非空集合，∴ ， ∴或， 又命题，有且只有一个真命题， ∴ 或， ∴实数的范围为，或. 19.已知命题，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据一元二次不等式所对应的方程的判别式即可求解； （2）讨论是否是空集，以及是的真子集列不等式组，解不等式组即可求解. 【解析】（1）因为命题：，为真命题， 所以方程的， 解得：，即. （2）又因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 当时，应满足，解得.此时是的真子集，故满足题意. 当时，应满足，解得. 因为是的真子集， 所以且不能同时取等号，解得：， 综上实数的取值范围为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$