（新课衔接）专题05 除得尽吗（知识梳理+预习检测）-2025-2026学年四升五数学暑假衔接培优讲义（北师大版）

暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的临近，小学阶段的学习即将迈入新的台阶。从四年级升入五年级，不仅是知识量的增加，更是逻辑思维和解决问题能力的重要培养期。数学作为一门兼具严谨性与创造性的学科，其知识体系的连贯性尤为关键。为了帮助同学们在暑假期间扎实巩固已学内容、平稳衔接五年级的新知识，我们特别编写了这本《四升五数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（小数除法、轴对称和平移）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排30-40分钟专注学习，先独立完成练习，再结合解析反思纠错，逐步形成“复习—预习—内化”的高效学习闭环。 教育家波利亚曾说：“学习数学的唯一正确方法是发现式学习。”希望这本讲义能成为同学们探索数学的指南针，让暑假的学习既有脚踏实地的积累，又有思维跃动的乐趣。愿大家在秋日校园重逢时，带着满满的信心与热情，迎接五年级的智慧挑战！​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年四升五数学暑假衔接培优讲义 专题05 除得尽吗（知识梳理+预习检测） 1、循环小数的意义、循环节的概念及循环小数的简便写法。 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字一次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 写法：简写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位数字和末位数字上面各标一个圆点。 2、根据需要，我们可以用“四舍五入”法对循环小数取近似值。 3、生活中的很多用除法计算的问题，商是循环小数，我们需要根据生活实际取商的近似值。 一、选择题 1．淘气说下面的数中有一个是循环小数，你认为（    ）是循环小数。 A．48.634… B．48.6363 C．48.3333… D．6363 2．下面4个数中，最大的数是（    ）。 A． B． C． D．2.84 3．循环小数2.316316…用简便形式写作（    ）。 A． B． C． D． 4．下边是一个没有算完的除法竖式，它的商应该是（    ）。 A．1.8 B．1.88 C．1.888… D．无法确定 5．6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是（    ）。 A．1 B．4 C．5 D．7 二、填空题 6．7.5656…是（ ）小数，用简便记法写作（ ）。 7．3.971971971…这个循环小数还可以记作（ ），保留两位小数，近似值是（ ）。 8．循环小数3.8959595…，将它四舍五入保留两位小数约是（ ），它的小数部分第25位上的数字是（ ）。 9．毛泽东的诗词总是给人以力量和希望。在《卜算子·咏梅》中有一句“已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏”。“一丈”等于我们现在的3.33…米，用简便方法可以记为（ ）米，那么“百丈”约等于（ ）米（保留整数）。 10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 8.02（ ）8.02÷0.97    1.2÷1.1（ ）1.2    5.4×0.87（ ）0.87 5.4（ ）     5.76÷0.1（ ）5.76×0.1    81.9÷0.3（ ）200 三、计算题 11．列竖式计算，带※的要验算。 2.08÷1.6＝    ※6.3÷0.45＝    34÷2.7＝（结果用循环小数表示） 四、解答题 12．飞鱼3时游196km章鱼5时游131km；鲨鱼6时游241km，算算它们的速度分别是每时多少千米？ 13．它们的速度分别是每分多少千米？哪些是循环小数？（结果保留两位小数） 14．循环小数一直都是令人着迷的主题，它那暗藏无限玄机的奥妙与不可言说的神奇规律和巧合，让无数人都“前仆后继”、废寝忘食地探讨……。 （1）已知1÷B＝0.0909…，2÷B＝0.1818…，3÷B＝0.2727…，则8÷B＝（    ）。 （2）1÷7，商的小数点后面第51位上的数字是几？商的小数部分的前51个数的和是多少？ 15．周末妈妈带笑笑买水果，一共花了100元，菠萝的单价模糊看不清了。请你帮笑笑算一算。 名称 梨 苹果 樱桃 草莓 菠萝 单价/千克 15.5元/千克 14元/千克 40元/千克 21.5元/千克 元/千克 （1）妈妈先买了2千克菠萝，花了26.4元，菠萝每千克多少元？ （2）妈妈想用余下的钱买苹果，能买多少千克？（得数保留两位小数） （3）请你再提出一个数学问题，并尝试解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假衔接培优讲义 编者的话​​ 亲爱的同学们、家长们： 随着2025-2026学年的临近，小学阶段的学习即将迈入新的台阶。从四年级升入五年级，不仅是知识量的增加，更是逻辑思维和解决问题能力的重要培养期。数学作为一门兼具严谨性与创造性的学科，其知识体系的连贯性尤为关键。为了帮助同学们在暑假期间扎实巩固已学内容、平稳衔接五年级的新知识，我们特别编写了这本《四升五数学暑假衔接培优讲义》。 本讲义以“夯实基础、拓展思维、前瞻预习”为目标，分为两大部分： ​​知识梳理：系统梳理前两个单元的核心知识点（小数除法、轴对称和平移）。 ​​预习检测：围绕前两个单元内容，以课时为小阶段进行自我检测，作为学生预习后自我测评的同步练习。让同学们提前熟悉新知识，减少开学后的适应压力。 书中习题兼顾基础性与挑战性，既有对课本知识的精准覆盖，也有贴近生活实际的综合应用题，旨在培养数学建模能力和创新思维。建议同学们每天安排30-40分钟专注学习，先独立完成练习，再结合解析反思纠错，逐步形成“复习—预习—内化”的高效学习闭环。 教育家波利亚曾说：“学习数学的唯一正确方法是发现式学习。”希望这本讲义能成为同学们探索数学的指南针，让暑假的学习既有脚踏实地的积累，又有思维跃动的乐趣。愿大家在秋日校园重逢时，带着满满的信心与热情，迎接五年级的智慧挑战！​​ 玩转数学教研之家 2025年7月 2025-2026学年四升五数学暑假衔接培优讲义 专题05 除得尽吗（知识梳理+预习检测） 1、循环小数的意义、循环节的概念及循环小数的简便写法。 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字一次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 写法：简写循环小数时，可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位数字和末位数字上面各标一个圆点。 2、根据需要，我们可以用“四舍五入”法对循环小数取近似值。 3、生活中的很多用除法计算的问题，商是循环小数，我们需要根据生活实际取商的近似值。 一、选择题 1．淘气说下面的数中有一个是循环小数，你认为（    ）是循环小数。 A．48.634… B．48.6363 C．48.3333… D．6363 【答案】C 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的数位是有限的，无限小数的数位是无限的，无限小数分两种：一种是循环小数，即一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；另一种是无限不循环小数，即无限不循环小数指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。 【解答】A． 48.634…是无限不循环小数； B． 48.6363是有限小数； C． 48.3333…是循环小数； D． 6363是整数。 根据分析可知，48.3333…是循环小数。 故答案为：C 2．下面4个数中，最大的数是（    ）。 A． B． C． D．2.84 【答案】A 【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时，看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止，循环小数可以多写出一个循环节，再比较。 【解答】2.＝2.8888…… 2.＝2.8484…… 2.8＝2.8444…… 2.84＜2.8444……＜2.8484……＜2.8888…… 所以最大的数是2.。 故答案为：A 3．循环小数2.316316…用简便形式写作（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数是循环小数；依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节；循环小数的简便写法：是将第一个循环节以后的数字全部去掉，再在第一个循环节的第一个数字和最后一个数字上面分别点上一个点，据此解答。 【解答】循环小数2.316316…的循环节是316，用简便形式写作。 故答案为：A 4．下边是一个没有算完的除法竖式，它的商应该是（    ）。 A．1.8 B．1.88 C．1.888… D．无法确定 【答案】C 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 观察除法竖式，被除数和除数的小数点同时向右移动了一位，变成除数是整数的小数除法，被除数的个位上落下8，即余数是8；十分位上也落下8，即余数是8；说明余数8会重复出现，那么商的十分位上的数字会重复循环，据此得出它的商。 【解答】从没有算完的除法竖式中可知，余数8连续重复出现了两次，那么商的百分位以后的数字与十分位上的数字相同，所以它的商应该是1.888…。 故答案为：C 5．6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是（    ）。 A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】6.1457145714…看它的循环节是几位小数，根据“周期问题”，用2024除以循环节，如果能整除，则是循环节的末尾上的数字，如果有余数，余数是几，就从循环节的首位数出几位，该位数的数字就是第2024位数的数字，据此解答。 【解答】6.1457145714…的循环节是1457，4位数字循环。 2024÷4＝506，底2024位上的数字是7。 6.1457145714…的小数部分第2024位上的数字是7。 故答案为：D 二、填空题 6．7.5656…是（ ）小数，用简便记法写作（ ）。 【答案】循环 【分析】（1）一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 （2）循环小数的简便写法：写循环小数，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【解答】7.5656…从十分位开始5和6依次不断重复出现，所以7.5656…是循环小数。 7.5656…的循环节是56，所以7.5656…用简便记法写作。 7．3.971971971…这个循环小数还可以记作（ ），保留两位小数，近似值是（ ）。 【答案】 3.97 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【解答】3.971971971…＝≈3.97 3.971971971…这个循环小数还可以记作，保留两位小数，近似值是3.97。 8．循环小数3.8959595…，将它四舍五入保留两位小数约是（ ），它的小数部分第25位上的数字是（ ）。 【答案】3.90 5 【分析】根据保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一；通过对循环小数3.8959595…的分析，可以发现该小数点后面从第2位数字开始循环，循环节是95，求第25位上的数字是什么，即用25－1，再用减出的差除以2，得出的商如果余数是1，就代表循环节中的第1个数字，没有余数，就代表是循环节中最后一个数字；据此解答。 【解答】（25－1）÷2 ＝24÷2 ＝12 循环小数3.8959595…，将它四舍五入保留两位小数约是3.90，它的小数部分第25位上的数字是5。 9．毛泽东的诗词总是给人以力量和希望。在《卜算子·咏梅》中有一句“已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏”。“一丈”等于我们现在的3.33…米，用简便方法可以记为（ ）米，那么“百丈”约等于（ ）米（保留整数）。 【答案】 333 【分析】已知“一丈”等于我们现在的3.33…米，小数部分不断重复出现“3”，那么3.33…是循环小数，“3”是循环节，据此把它改写成简便记法。 求“百丈”约等于多少米，用“一丈”相当于的米数乘100，即可求解。 【解答】3.33…＝ 3.33…×100≈333（米） “一丈”等于我们现在的3.33…米，用简便方法可以记为（）米，那么“百丈”约等于（333）米。 10．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 8.02（ ）8.02÷0.97    1.2÷1.1（ ）1.2    5.4×0.87（ ）0.87 5.4（ ）     5.76÷0.1（ ）5.76×0.1    81.9÷0.3（ ）200 【答案】＜ ＜ ＞ ＜ ＞ ＞ 【分析】（1）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （2）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； （3）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； （4）先把循环小数的简写形式改写成无限小数形式，然后根据小数大小的比较方法进行比较； （5）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （6）先根据除数是小数的小数除法计算法则算出81.9÷0.3的商，再比较大小即可。 【解答】（1）0.97＜1，所以8.02＜8.02÷0.97； （2）1.1＞1，所以1.2÷1.1＜1.2； （3）5.4＞1，所以5.4×0.87＞0.87； （4）＝5.444… 5.4＜5.444…，所以5.4＜； （5）0.1＜1，则5.76÷0.1＞5.76，5.76×0.1＜5.76； 所以5.76÷0.1＞5.76×0.1； （6）81.9÷0.3＝273 273＞200，所以81.9÷0.3＞200。 三、计算题 11．列竖式计算，带※的要验算。 2.08÷1.6＝    ※6.3÷0.45＝    34÷2.7＝（结果用循环小数表示） 【答案】1.3；14； 【分析】除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 除法的验算用乘法；被除数÷除数＝商，被除数＝商×除数； 循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【解答】2.08÷1.6＝1.3                6.3÷0.45＝14                      验算： 34÷2.7＝ 四、解答题 12．飞鱼3时游196km章鱼5时游131km；鲨鱼6时游241km，算算它们的速度分别是每时多少千米？ 【答案】飞鱼速度是千米；章鱼的速度是26.2千米；鲨鱼的速度是千米 【分析】已知：速度＝路程÷时间，已知飞鱼、章鱼、鲨鱼的游的距离和时间，分别用它们的游距离÷时间，求出飞鱼、章鱼、鲨鱼的速度。 【解答】飞鱼的速度： 196÷3＝ （千米） 章鱼的速度： 131÷5＝26.2（千米） 鲨鱼的速度： 241÷6＝ （千米） 答：飞鱼的速度是千米，章鱼的速度是26.2千米，鲨鱼的速度是千米。 【点评】本题考查速度、时间和距离三者的关系，根据三者关系进行解答 13．它们的速度分别是每分多少千米？哪些是循环小数？（结果保留两位小数） 【答案】1.86千米；1.69千米；2.82千米；它们都是循环小数 【分析】根据速度＝路程÷时间，代入数据计算即可得到它们的速度，然后将结果保留两位小数。一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。可据此判断。 【解答】（千米/分） （千米/分） （千米/分） 答：旗鱼的速度每分1.86千米，斑马的速度是每分1.69千米，雨燕的速度是每分2.82千米，结果全都是循环小数。 14．循环小数一直都是令人着迷的主题，它那暗藏无限玄机的奥妙与不可言说的神奇规律和巧合，让无数人都“前仆后继”、废寝忘食地探讨……。 （1）已知1÷B＝0.0909…，2÷B＝0.1818…，3÷B＝0.2727…，则8÷B＝（    ）。 （2）1÷7，商的小数点后面第51位上的数字是几？商的小数部分的前51个数的和是多少？ 【答案】（1）0.7272… （2）2；223 【分析】（1）根据题意：1÷B＝0.0909…，2÷B＝0.1818…，3÷B＝0.2727…；被除数分别扩大到原来的2，3，4，5，…倍，它的循环节09也分别扩大到原来的2，3，4，5，…倍，据此解答； （2）1÷7是循环小数，1÷7＝0.142857142857…，循环节是142857，6个数字，看51 里面有几个这样的周期，最后根据余数来确定所求的数字。如果周期正好是整数且没有余数，所求的数字就是循环节的最后一个数字；如果有余数，余数是几，所求的数字就是循环节中从前往后的第几个数字； 一组循环节的和是1＋4＋2＋8＋5＋7＝27；共几组，就用几乘27，余数是几，再加上几个数字的和，即可。 【解答】（1）0.9×8＝72 8÷B＝0.7272… 已知1÷B＝0.0909…，2÷B＝0.1818…，3÷B＝0.2727…，则8÷B＝0.7272…。 （2）1÷7＝0.142857142857… 循环节是142857，6个数字。 51÷6＝8……3 商的小数点后面第51位上的数字是2； （1＋4＋2＋8＋5＋7）×8＋1＋4＋2 ＝（5＋2＋8＋5＋7）×8＋1＋4＋2 ＝（7＋8＋5＋7）×8＋1＋4＋2 ＝（15＋5＋7）×8＋1＋4＋2 ＝（20＋7）×8＋1＋4＋2 ＝27×8＋1＋4＋2 ＝216＋1＋4＋2 ＝217＋4＋2 ＝221＋2 ＝223 答：商的小数点后面第51位上的数字是2，商的小数部分的前51个数的和是223。 15．周末妈妈带笑笑买水果，一共花了100元，菠萝的单价模糊看不清了。请你帮笑笑算一算。 名称 梨 苹果 樱桃 草莓 菠萝 单价/千克 15.5元/千克 14元/千克 40元/千克 21.5元/千克 元/千克 （1）妈妈先买了2千克菠萝，花了26.4元，菠萝每千克多少元？ （2）妈妈想用余下的钱买苹果，能买多少千克？（得数保留两位小数） （3）请你再提出一个数学问题，并尝试解答。 【答案】（1）13.2元；（2）5.26千克；（3）（答案不唯一）买1千克苹果和1千克梨一共需要多少钱？29.5元 【分析】（1）根据总价÷数量＝单价，用26.4÷2可求出菠萝每千克多少元。 （2）先用100元减去买菠萝的钱数求出余下的钱数；再根据总价÷单价＝数量，用余下的钱数除14求出余下的钱能买多少千克苹果。结果用“四舍五入”法求商的近似数。 （3）（答案不唯一）不防提问买1千克苹果和1千克梨一共需要多少钱？用苹果的单价加上梨的单价即可解答。 【解答】（1）26.4÷2＝13.2（元） 答：菠萝每千克13.2元。 （2）100－26.4＝73.6（元） 73.6÷14≈5.26（千克） 答：能买5.26千克。 （3）（答案不唯一）买1千克苹果和1千克梨一共需要多少钱？ 14＋15.5＝29.5（元） 答：买1千克苹果和1千克梨一共需要29.5元。 学科网（北京）股份有限公司 $$