2.5 矩 形 暑假巩固同步练习2024-2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固 一、矩形的性质 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） 1. A.6 B.3 C.2 D.1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于（　　） 2. A.4 B.5 C.6 D.7 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　） 3. A.50° B.45° C.40° D.35° 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OE＝2，∠BAO＝60°，则BD的长为 　 　． 4. 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，取AD中点M，连接AF，GM，AF，GM交于点H，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则AH＝　 　． 5. 如图，在矩形ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点D作DF⊥BE，交BE的延长线于F，连接AF，CF． 6.（1）求证：AE＝AB； （2）求证：AF⊥CF； （3）若AB＝6，BC＝8，求CF的长． 如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 7. 二、矩形中的动点问题 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，AC＝16，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） 1. A.5 B.4.8 C.1.2 D.2.4 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（　　） 2. A.AM＜6 B.AM＜12 C.AM＜12 D.AM＜6 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　） 3. A. B. C. D. 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________． 4. 如图，已知长方形ABCD的边长AB＝30cm，BC＝24cm，点E在边AB上，AE＝9cm，如果点P从点B出发在线段BC上以4cm/s的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD上从点C向点D运动，则当点Q的运动速度为　 　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 5. 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 6.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点G是边AD上一动点，连接BG，若点H为BG的中点，连接AH，连接EH并延长交边CD于点F，过点A作AP⊥BG，垂足为点M，交EF于点P． 7.求证：AH＝HG； 三、用定义判定矩形 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（　　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.AD＝AB D.BC＝CD 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　 　时，活动框架是矩形． 4. 如图，在▱ABCD中，请添加一个条件：　 　，使得▱ABCD成为矩形． 5. 如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点． 6.（1）求证：OE＝OF； （2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形． 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 7. 四、用对角线判定矩形 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定它为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B.AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC C.AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO D.AO＝BO＝CO＝DO 在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD．如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　） A.AB＝BC B.AC与BD互相平分 C.AC⊥BD D.AB⊥BD 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) 3. A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　                                                   　． 如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是　               　． 5. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 6.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 五、矩形的判定综合 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） 1. A.AB＝BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠1＝∠2 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　） 2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(　　) 3. A.AB＝CD B.OA＝OC，OB＝OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD＝BC 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　 ． 四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，则AB：AC＝　 　． 如图，四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnC nDn． 6.（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； （2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnC nDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长． 如图，在▱ABCD中，点E，F为对角线BD所在直线上两点，其中点E在DB的延长线上，点F在BD的延长线上． 7.（1）若BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）添加一个条件，使四边形AFCE为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 六、动点中的矩形判定问题 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 1. A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 5. 如图，点M是平行四边形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一个动点，作PE∥MB，PF∥MC，分别交MC于点E，交MB于点F，如果AB∶AD＝1∶2，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由． 6. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A，C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． 7.（1）OE与OF相等吗？证明你的结论； （2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明． 七、矩形的性质和判定的综合 1.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 2.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　） ①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变． A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFGS平行四边形ABCD．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 4.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是　  　.（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为________________． 6.如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长． 7.在数学活动课上，小明给同组的伙伴出了如下框图中的解答题． 小星和小红分别给出了自己的证明思路． 根据上面的信息，解决问题： （1）请分别对小星、小红的证明思路是否可行作出判断； （2）请给出框图中解答题的证明过程． 湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形的性质 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） 1. A.6 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE，△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD的面积． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO； 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD， ∵AB＝CD＝2，AD＝BC＝3， ∴S△BCDBC•CD＝3，故S阴影＝3． 故选：B． 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于（　　） 2. A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】由矩形的性质得出OA＝OB＝OD＝OC，证明△ODC，△AOB都是等边三角形即可解决问题． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OD＝OC， ∵CE垂直平分OD， ∴CO＝CD， ∴OC＝OD＝CD， ∵△OCD，△AOB都是等边三角形， ∴OB＝AB＝OD＝4，OE＝DECD＝2， ∴BE＝OB+OE＝4+2＝6， 故选：C． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果∠ADB＝25°，那么∠AOB的度数为（　　） 3. A.50° B.45° C.40° D.35° 【答案】A 【解析】根据矩形的性质证得OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OAAC，ODBD，AC＝BD， ∴OA＝OD， ∵∠ADB＝25°， ∴∠OAD＝∠ODA＝25°， ∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA＝50°． 故选：A． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OE＝2，∠BAO＝60°，则BD的长为 　 　． 4. 【答案】8 【解析】先由矩形的性质得出OA＝OB及AB＝2OE，从而得出∠BAO＝∠ABO＝60°，再推出∠ADB＝30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求解． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OD，∠DAB＝90°， ∴∠BAO＝∠ABO＝60°， ∴∠DAO＝∠ADO＝30°， 又∵OE⊥AD， ∴OE是Rt△ABD的中位线， ∴AB＝2OE＝4， ∴BD＝2AB＝8． 故答案为：8． 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，取AD中点M，连接AF，GM，AF，GM交于点H，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则AH＝　 　． 5. 【答案】 【解析】延长AD交EF于点N，先证四边形DGFN为矩形得DN＝FG＝2，GD＝FN＝CG﹣CD＝2，然后在Rt△AFN中由勾股定理求出，再证△GFH和△MAH全等得FH＝AH，进而可求出AH的值． 延长AD交EF于点N，如图所示： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，BC＝EF＝4，CD＝CE＝2， ∴∠ADC＝∠CGF＝∠GFE＝90°，AD＝BC＝EF＝CG＝4，CD＝AB＝CE＝FG＝2， ∴∠GDN＝∠CGF＝∠GFE＝90°，GD＝CG－CD＝4－2＝2， ∴四边形DGFN为矩形， ∴DN＝FG＝2，GD＝FN＝2， 在Rt△AFN中，AN＝AD+DN＝4+2＝6，FN＝2， 由勾股定理得， ∵∠ADC＝∠CGF＝90°， ∴FG⊥CG，AD⊥CG， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠MAH， 又∵M是AD的中点， ∴， ∴GF＝AM＝2， 在△GFH和△MAH中， ， ∴△GFH和△MAH（AAS）， ∴FH＝AH， ∴AHAF2． 故答案为：． 如图，在矩形ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点D作DF⊥BE，交BE的延长线于F，连接AF，CF． 6.（1）求证：AE＝AB； （2）求证：AF⊥CF； （3）若AB＝6，BC＝8，求CF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE. （2）证明：连接AC，BD，交于点O，连接OF，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD＝OA＝OD， ∵∠BFD＝90°， ∴OFBD， ∴OF＝OB， ∴OF＝OA＝OC， ∴∠OFA＝∠OAF，∠OFC＝∠OCF， ∴∠OFA+∠OFC＝∠OAF+∠OCF， ∵∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF＝180°， ∴∠AFC＝90°， ∴AF⊥CF. （3）解：∵∠DEF＝∠AEB＝45°，∠EFD＝90°， ∴∠EDF＝∠DEF＝45°， ∴FE＝FD， ∵∠AEF＝180°－∠DEF＝135°，∠CDF＝∠ADC+∠EDF＝135°， ∴∠AEF＝∠CDF， ∵CD＝AB， ∴CD＝AE， ∴△CDF≌△AEF（SAS）， ∴FC＝FA， ∵AF⊥CF， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∴FCAC， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∴CF＝5． 如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．证明：△BOF≌△DOE． 7. 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵O是BD的中点， ∴OB＝OD， 又∵∠EOD＝∠FOB＝90°， ∴△BOF≌△DOE（ASA）． 二、矩形中的动点问题 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，AC＝16，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　） 1. A.5 B.4.8 C.1.2 D.2.4 【答案】B 【解析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长． 连接AP，如图所示： ∵∠BAC＝90°，AB＝12，AC＝16， ∴BC20， ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP，EF与AP互相平分， ∵是的中点， ∴为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即⊥时，最短，同样也最短， ∴当⊥时，， ∴最短时，＝9.6， ∴当最短时，． 故选：B． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B，C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（　　） 2. A.AM＜6 B.AM＜12 C.AM＜12 D.AM＜6 【答案】D 【解析】证明四边形AEPF是矩形，得EF＝AP，再由直角三角形斜边上的中线性质得AMEFPA，然后求出PA的最小值可得AM的最小值，又由AP＜AC，即可求得AM的取值范围． 如图，连接PA， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12， ∴BC13， ∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP， ∵M为EF中点， ∴AMEFPA， 当PA⊥CB时，PA， ∴AM的最小值为， ∵PA＜AC， ∴PA＜12， ∴AM＜6， ∴AM＜6， 故选：D． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为（　　） 3. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接AD、EF，由勾股定理求出BC的长，再证四边形DEAF是矩形，得EF＝AD，然后由垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 如图，连接AD、EF， ∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝12， ∴BC13， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEA＝∠DFA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DEAF是矩形， ∴EF＝AD，GF＝GE， 当AD⊥BC时，AD的值最小，则EF的值最小， 此时，△ABC的面积BA•ACBC×AD， ∴AD， ∴EF的最小值为， ∴GF的最小值， 故选：B． 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________． 4. 【答案】 【解析】如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K， 在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∵DG平分∠ADC， ∴DG垂直平分EH， ∴PE=PH， ∴的周长为PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF， ∴当点F，P，H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF， ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴AE=DE=DH=3，AF=4， ∴EF=5， ∵FK⊥CD， ∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°， ∴四边形ADKF为矩形， ∴DK=AF=4，FK=AD=6， ∴HK=1， ∴， ∴FH+EF=，即的周长最小值为． 如图，已知长方形ABCD的边长AB＝30cm，BC＝24cm，点E在边AB上，AE＝9cm，如果点P从点B出发在线段BC上以4cm/s的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD上从点C向点D运动，则当点Q的运动速度为　 　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等． 5. 【答案】4或7． 【解析】分别利用：①当EB＝PC时，△BPE≌△CQP，②当BP＝CP时，△BEP≌△CQP，进而求出即可． ①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP， ∵AB＝30cm，AE＝9cm， ∴BE＝21cm， ∴PC＝21cm， ∵CB＝24cm， ∴BP＝3cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以4cm/s的速度向点C向运动， ∴时间为：3÷4（s）， ∴点Q的运动速度为34（cm/s）； ②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP， 设x秒时，BP＝CP， 由题意得：4x＝24﹣4x， 解得：x＝3， ∴21÷3＝7（cm/s）； 故答案为：4或7． 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 6.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠FBC； ∵EF∥BC， ∴∠OFB＝∠FBC＝∠ABF， ∴△OBF为等腰三角形， ∴OB＝OF， 同理：OB＝OE， ∴OE＝OF； （2）解：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点时，理由如下： ∵四边形BFAE为矩形， ∴∠AEB为直角， ∴△AEB为直角三角形； ∵四边形BFAE为矩形， ∴OA＝OB＝OE＝OF， 在Rt△AEB中，OE＝OA＝OB， ∴O为斜边AB的中点， 答：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点． 如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点G是边AD上一动点，连接BG，若点H为BG的中点，连接AH，连接EH并延长交边CD于点F，过点A作AP⊥BG，垂足为点M，交EF于点P． 7.求证：AH＝HG； 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AB∥CD， ∵E是矩形ABCD边AB的中点，点H为BG的中点， ∴EH∥BC， ∵连接EH并延长交边CD于点F， ∴F是矩形ABCD边CD的中点， ∴AEABCD＝DF， ∴四边形AEFD是矩形， ∴EF∥AD， 又E是AB中点， H是BG的中点， ∵∠BAD＝90°， ∴AHBG＝HG； 三、用定义判定矩形 已知，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是（　　） A.AB＝BC B.AD＝BC C.AD＝AB D.BC＝CD 【答案】B 已经得到四边形ABCD的一个内角为90°，然后得到该四边形为平行四边形即可． 【解析】条件为AD＝BC， 理由是：∵∠A＝∠B＝90°， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD为矩形． 故选：B． 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 【答案】C 【解析】 当∠C＝90°时，即可判定△BCD≌△BED（HL），依据BC＝AD，AB＝CD，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据∠C＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形． 当∠A＝90°或∠EBD＝∠ADB或∠DBC＝30°时，不能得到四边形ABCD为矩形； 当∠C＝90°时，∵BE⊥DE， ∴∠C＝∠E＝90°， 又∵BD＝BD，CD＝ED， ∴△BCD≌△BED（HL）， ∴BC＝BE， 又∵AD＝EB， ∴BC＝AD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故选：C． 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 【答案】A 【解析】 首先根据题意能得到平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可． ∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当有一个角是直角时该四边形是矩形， 故选：A． 如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　 　时，活动框架是矩形． 4. 【答案】90°． 【解析】根据矩形的判定方法即可求解． 根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°． 故答案为：90°． 如图，在▱ABCD中，请添加一个条件：　 　，使得▱ABCD成为矩形． 5. 【答案】∠A=90° 【解析】根据矩形的判定定理即可得出结论． ∵一个角是90°的平行四边形是矩形， ∴添加∠A＝90°． 故答案为：∠A＝90°． 如图，AD和BC相交于点O，∠ABO＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E、F分别是AO、DO的中点． 6.（1）求证：OE＝OF； （2）当∠A＝30°时，求证：四边形BECF是矩形． 【答案】证明：（1）∵∠ABO＝∠DCO＝90°， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠D， 在△AOB与△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴AO＝DO， ∵点E、F分别是AO、DO的中点， ∴， ∴OE＝OF. （2）∵OB＝OC，OE＝OF， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵∠A＝30°， ∴， ∵OE＝OF， ∴， ∴∠EBF＝90°， ∴四边形BECF是矩形． 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 7. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形． 四、用对角线判定矩形 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定它为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B.AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC C.AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO D.AO＝BO＝CO＝DO 【答案】D 根据已知条件逐一判断即可得出结论． 【解析】A、∵AO＝CO、BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形．故A错误． B、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝DC， 故B错误． C、∵AB∥CD、AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，AO＝CO， 故C错误． D、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AO＝BO＝CO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：D． 在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD．如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　） A.AB＝BC B.AC与BD互相平分 C.AC⊥BD D.AB⊥BD 【答案】B 【解析】 根据对角线相等的平行四边形是矩形判断． ∵在四边形ABCD中，AC与BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形， 故选：B． 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是(　　) 3. A.AB＝CD B.AD＝BC C.AB＝BC D.AC＝BD 【答案】D 【解析】可添加AC＝BD，∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，∴四边形ABCD是矩形，故选D. 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是　                                                   　． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【解析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）得到矩形ABCD可得到答案． ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是　               　． 5. 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 添加的条件是AC＝BD（答案不唯一）， 理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 6.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 【答案】解：（1）∵两组对边分别平行， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形； （2）这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形. 故答案为：等于；对角线相等的平行四边形为矩形． 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，AD＝BC，AB＝CD， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴AE＝EB＝CF＝FD， ∵AG＝CH， ∴BH＝DG， ∴△AGE≌△CHF（SAS），△BEH≌△DFG（SAS）， ∴EH＝GF，EG＝HF， ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴EF＝AD， ∵GH＝AD， ∴EF＝GH， ∴平行四边形EHFG是矩形． 五、矩形的判定综合 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　） 1. A.AB＝BC B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠1＝∠2 【答案】C 【解析】根据矩形的判定定理逐一判断即可． A．添加AB＝BC，不能判断平行四边形ABCD为矩形，不符合题意； B．添加AC⊥BD，不能判断平行四边形ABCD为矩形，不符合题意； C．添加AC＝BD，可判断平行四边形ABCD为矩形，符合题意； D．添加∠1＝∠2，不能判断平行四边形ABCD为矩形，不符合题意． 故选：C． 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　） 2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO． ∵C△ABO＝C△CBO，∴AB＝BC． 根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO＝∠ADO． ∵∠DAO＝∠CBO，∴∠ADO＝∠DAO． ∴AO＝OD． ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO， ∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴新四边形是矩形．符合条件． 所以①②④符合条件． 故选：C． 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是(　　) 3. A.AB＝CD B.OA＝OC，OB＝OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD＝BC 【答案】B 【解析】A.由AB＝DC，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确； C．由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误； D．由AB∥CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误． 故选B. 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　 ． 【答案】任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°） 【解析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件． 若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是： AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形） ∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°） 四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，∠AOB＝60°，则AB：AC＝　 　． 【答案】1：2． 【解析】求出AC＝BD，根据矩形的判定得出即可，求出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO，即可得出答案． 解： ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形； ∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝BOAC， ∴AB：AC＝1：2， 故答案为：1：2． 如图，四边形ABCD中，AC＝6，BD＝8且AC⊥BD．顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnC nDn． 6.（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； （2）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积； （3）写出四边形AnBnC nDn的面积； （4）求四边形A5B5C5D5的周长． 【答案】（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点， ∴A1D1是△ABD的中位线， ∴A1D1∥BD，A1D1BD， 同理：B1C1∥BD，B1C1BD， ∴A1D1∥B1C1，A1D1＝B1C1BD， ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形． ∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1， ∴A1B1⊥A1D1，即∠B1A1D1＝90°， ∴四边形A1B1C1D1是矩形； （2）解：由三角形的中位线的性质知，B1C1BD＝4，B1A1AC＝3， 得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6； （3）解：由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 故四边形AnBnC nDn的面积为； （4）解：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积 ＝（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2 即：12＝（矩形A5B5C5D5的周长）2：142 ∴矩形A5B5C5D5的周长． 如图，在▱ABCD中，点E，F为对角线BD所在直线上两点，其中点E在DB的延长线上，点F在BD的延长线上． 7.（1）若BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）添加一个条件，使四边形AFCE为矩形．直接写出添加的这个条件，不需要说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CDE， ∵BE＝DF， ∴BE+BD＝DF+BD， 即DE＝BF， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED， ∴AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：添加条件为∠AFC＝90°（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知，四边形AECF是平行四边形， ∵∠AFC＝90°， ∴平行四边形AFCE为矩形． 六、动点中的矩形判定问题 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 1. A.当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝4 s D.当CD＝PM时，t＝4 s或6 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝10 cm，BC＝8 cm， ∴AP＝（10－t）cm，CM＝（8－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即10－t＝t， 解得t＝5， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝8－t， 解得t＝4， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即8－t＝t， 解得t＝4， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝10－t， 又∵BM＝t， ∴10－tt， 解得t＝6， 综上，当CD＝PM时，t＝4 s或6 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 【答案】D 【解析】 根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时，OF的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定解答即可． 对于A，∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是矩形，故A正确，不符合题意． 对于B，∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线． ∴， 又∵点E是AB的中点， ∴CD＝AB＝2AE． ∴CD＝4OF，即，故B正确，不符合题意． 对于C，当点E与点D重合时，OF的值最大． ∵AD＝BC＝8， ∴AE的最大值是8． ∴，即线段OF长度的最大值是4，故C正确，不符合题意． 对于D，∵OF∥AB，∴当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN=∠BEN＞60°， ∴△OFN不是等边三角形，故D错误，符合题意. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝8 cm，BC＝6 cm， ∴AP＝（8－t）cm，CM＝（6－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即8－t＝t， 解得t＝4， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝6－t， 解得t＝3， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即6－t＝t， 解得t＝3， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝8－t， 又∵BM＝t， ∴8－tt， 解得t＝5， 综上，当CD＝PM时，t＝3 s或5 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 故选：D． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 4. 【答案】6 【解析】由矩形的判定可得出8－0.5t＝5，则可得出答案． 设运动时间为t秒， ∵点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动， ∴PC＝0.5t， ∵AB∥CD，AB⊥AD，四边形ABPD是矩形， ∴AB＝DP， ∴8－0.5t＝5， ∴t＝6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 5. 【答案】3 【解析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可． 当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形， 此时AB＝DP＝4 cm，CD＝5 cm， 在Rt△DPC中，CP（cm）， 所以3秒后四边形ABPD是矩形. 如图，点M是平行四边形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一个动点，作PE∥MB，PF∥MC，分别交MC于点E，交MB于点F，如果AB∶AD＝1∶2，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由． 6. 【答案】解 四边形PEMF为矩形， ∵PE∥MB，PF∥MC， ∴四边形PEMF为平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵M是边AD的中点， ∴AM＝DMAD， ∵AB∶AD＝1∶2， ∴AB＝CD＝AM＝DM， ∴∠ABM＝∠AMB，∠DMC＝∠DCM， ∵AD∥CB， ∴∠CBM＝∠AMB，∠DMC＝∠BCM， ∴∠CBM＝∠ABM∠ABC，∠DCM＝∠BCM∠DCB， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， ∴∠MBC+∠MCB＝90°， ∴∠BMC＝90°， ∴平行四边形PEMF为矩形． 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A，C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． 7.（1）OE与OF相等吗？证明你的结论； （2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明． 【答案】解（1）OE＝OF，证明如下： ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD， ∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴OE＝OC，OC＝OF， ∴OE＝OF． （2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下： ∵AO＝CO，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECA+∠ACF∠BCD， ∴∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 七、矩形的性质和判定的综合 1.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】C 【解析】A．对角线相等的四边形是矩形，不正确； B．对角线互相平分的四边形是矩形，不正确； C．矩形的对角线相等且互相平分，正确； D．矩形的对角线互相垂直且平分，不正确. 2.为了研究特殊的四边形，老师制作了一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，右手握住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察这个变化过程和所得到的四边形，下列说法正确的是（　　） ①四边形ABCD由平行四边形变为矩形；②B，D两点之间的距离不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变． A.①② B.①④ C.①②④ D.①③④ 【答案】B 【解析】根据在框架变动过程中，四边形的长度不变，BC边上的高，AC，BD的长度不断变化解答即可． ①由有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此时四边形ABCD由平行四边形变为矩形， 故①正确； ②B，D两点之间的距离不断变化， 故②错误； ③由底BC不变，高不断变化可知，四边形ABCD的面积不断变化， 故③错误； ④由四边形的边长不变可知四边形ABCD的周长不变， 故④正确． 所以正确的说法有①④． 3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFGS平行四边形ABCD．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①证明四边形DEBF是平行四边形即可；②根据AG∥DB且AG＝DB可证四边形ADBG是平行四边形，结合AD⊥BD可证四边形ADBG是矩形；③连接DG，若FG＝AB，可证GD＝GF，显然不成立；④先证明S△BFG＝S△BFC＝S△BFD，然后结合平行四边形的性质即可求解． ①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE∥BF，故①正确； ②∵AG∥DB且AG＝DB， ∴四边形ADBG是平行四边形， ∵AD⊥BD， ∴四边形ADBG是矩形，故②正确； ③连接DG， ∵四边形ADBG是矩形， ∴DG过点E，AB＝GD． 若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确； ④∵四边形ADBG是矩形， ∴AD＝BG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴BG＝BC， ∴S△BFG＝S△BFC． ∵F为边CD的中点， ∴S△BFC＝S△BFD， ∴S△BFG＝S△BFC＝S△BFD， ∴S△BFGS△BCDS□ABCD，故④正确． 4.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是　  　.（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 【答案】①④ 【解析】由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠B＝∠C＝45°，由∠BED＝∠CFD＝90°，得∠EDB＝∠B＝∠C＝∠FDC＝45°，则∠EDF＝90°，所以DGEF，可判断①正确；连接AD，AH，因为BC＝4，所以AH＝BH＝CH＝2，由AD≥AH，得AD≥2，再证明四边形AEDF是矩形，则AD＝EF，所以EF≥2，则EF的最小值为2，可判断②错误；可求得S△DEFBE（4－BE）(BE－2)2+2，可知S△DEF的大小随BE的变化而变化，可判断③错误；连接FH，EH，可证明△HAF≌△HBE，得∠AHF＝∠BHE，推导出∠EHF＝∠AHB＝90°，则HGEF，所以DG＝HG，可判断④正确，于是得到问题的答案． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴∠EDB＝∠B＝∠C＝∠FDC＝45°， ∴∠EDF＝180°－∠EDB－∠FDC＝90°， ∵点G是EF的中点， ∴DGEF， 故①正确； 连接AD，AH， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点H是BC的中点， ∴BC4，AH⊥BC，BH＝CH， ∴AH＝BH＝CHBC＝2， ∵AD≥AH， ∴AD≥2， ∵∠AED＝∠AFD＝∠EDF＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴AD＝EF， ∴EF≥2， ∴EF的最小值为2， 故②错误； ∵∠EDF＝90°，BE＝DE，DF＝AE＝4－BE， ∴S△DEFDE•DFBE（4－BE）(BE－2)2+2， ∴S△DEF的大小随BE的变化而变化， 故③错误； 连接FH，EH， ∵∠HAF＝∠HAB∠BAC＝45°， ∴∠HAF＝∠B， ∵AF＝DE，BE＝DE， ∴AF＝BE， 在△HAF和△HBE中， ， ∴△HAF≌△HBE（SAS）， ∴∠AHF＝∠BHE， ∴∠EHF＝∠AHF+∠AHE＝∠BHE+∠AHE＝∠AHB＝90°， ∴HGEF， ∴DG＝HG， ∴△DGH是等腰三角形， 故④正确， 故答案为①④． 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为________________． 【答案】DF＝DE且DF⊥DE 【解析】如图，连接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD， ∴AD＝BD＝CD，∠C＝∠BAD＝45°， ∵PF⊥AB，PE⊥AC， ∴∠AFP＝∠AEP＝∠EAF＝90°， ∴四边形AFPE是矩形，∠C＝∠EPC＝45°， ∴PE＝AF，PE＝CE， ∴AF＝CE， 在△ADF和△CDE中，AD=CD，∠FAD=∠C，AF=CE， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC， ∴∠FDE＝∠ADC＝90°， 故答案为DF＝DE且DF⊥DE. 6.如图，在▱ABCD中，O为线段AD的中点，延长BO交CD的延长线于点E，连接AE，BD，∠BDC＝90°． （1）求证：四边形ABDE是矩形； （2）连接OC，若AB＝2，，求OC的长． 【答案】（1）证明 ∵O为AD的中点， ∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAO＝∠EDO， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（ASA）， ∴AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴平行四边形ABDE是矩形. （2）解 如图，过点O作OF⊥DE于点F， ∵四边形ABDE是矩形， ∴DE＝AB＝2，ODAD，OB＝OEBE，AD＝BE， ∴OD＝OE， ∵OF⊥DE， ∴DF＝EFDE＝1， ∴OF为△BDE的中位线， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝2， ∴CF＝CD+DF＝3， 在Rt△OCF中，由勾股定理得OC， 即OC的长为． 7.在数学活动课上，小明给同组的伙伴出了如下框图中的解答题． 小星和小红分别给出了自己的证明思路． 根据上面的信息，解决问题： （1）请分别对小星、小红的证明思路是否可行作出判断； （2）请给出框图中解答题的证明过程． 【答案】（1）解　小星：利用矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”来证明，正确， 小红：利用定理“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，正确. （2）证明 小星的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵AF＝CE， ∴AB－AF＝CD－CE， 即BF＝DE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵BE⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 小红的思路： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AD＝CB，∠A＝∠C， ∵BE⊥CD， ∴BE⊥AB， ∴∠BED＝∠EBF＝∠BEC＝90°， 在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠DFA＝∠BEC＝90°， ∴∠BED＝∠EBF＝∠DFB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$